債券收益率及風險指標 Duration 的定義

slow_quick · 2023-10-04 17:13:41Z

債券收益率及風險指標 Duration 的定義簡介

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債券收益率

債券與其他金融產品(比如股票等）非常不同的地方是，大部分債券有個固定的到期日（英文 maturity date）。如果不區分利息與本金，債券就是在約定的時間給投資人支付約定的現金流。抽象的說，就是在將來的時間 $T_1, T_2, … ,T_n$ 支付現金流 $C_1, C_2, …, C_n$。

先考慮一個最簡單的隻有一個現金流的情況：隻在到期日 $T$ 支付現金 $C$。假定今天 $T_0$ 買這個債券要付現金 $P$，那麽最簡單的（年化）收益率（英文 yield）$Y$ 可以由下麵公式導出： \[ P (1+Y)^{T-T_0} = C \tag{1}\] 這裏時間的單位是年，$T-T_0$是從今天到到期日是多少“年”（不一定是整數）。這個公式的意思是，今天 $1，1年後就增長到 $$ (1+Y) $，兩年後就增長到 $$ (1+Y)(1+Y)=(1+Y)^2 $（複利，英文 compounding）... 。換句話說，1年後的 $1 今天隻值 $$1/(1+Y)$，2年後的 $1 今天隻值 $$1/(1+Y)^2$，... 。從 $C, T-T_0, P$ 解出 Y: \[ Y=\left(\frac{C}{P}\right)^\frac{1}{T-T_0}-1 \tag{2} \] 另一個公式是從收益率 Y 算出今天的價值 P： \[ P = \frac{C}{(1+Y)^{T-T_0}} \tag{3} \] 這裏 $1/(1+Y)^{T-T_0}$ 稱為折現因子（也翻譯為貼現因子，英文 discount factor），意思是 $T-T_0$ 年後的 $1 折合現在的 $$1/(1+Y)^{T-T_0}$。

在債券有多個現金流的情況下，收益率是由將來的現金流折現之和正好等於今天的價值來定義： \[ P = \frac{C_1}{(1+Y)^{T_1-T_0}}+\frac{C_2}{(1+Y)^{T_2-T_0}} + ... + \frac{C_n}{(1+Y)^{T_n-T_0}} \tag{4} \] 這樣定義的收益率沒有一個簡單的公式能計算，一般要用計算機數值算法解出。

以上收益率的簡單定義隻是為了闡明基本概念。業界對收益率計算的定義有許多規範，首先是美國債券多數是每半年發一次利息（頻率每年2次），收益率的定義中複利頻率跟著改變： \[ P = \frac{C_1}{(1+Y_2/2)^{2(T_1-T_0)}}+\frac{C_2}{(1+Y_2/2)^{2(T_2-T_0)}} + ... + \frac{C_n}{(1+Y_2/2)^{2(T_n-T_0)}} \tag{5} \] 除了美國，其他5眼國家還有日本的債券基本也是每年發息2次，用差不多的收益率公式。大陸國家（意大利除外）多數是每年發息一次，用原來的定義公式。泛泛而談，如果發息頻率是每年 $f$ 次，那麽收益率 $Y_f$ 的定義公式就是 \[ P = \frac{C_1}{(1+Y_f/f)^{f(T_1-T_0)}}+\frac{C_2}{(1+Y_f/f)^{f(T_2-T_0)}} + ... + \frac{C_n}{(1+Y_f/f)^{f(T_n-T_0)}} \] \[ = \sum_{i=1}^n \frac{C_i}{(1+Y_f/f)^{f(T_i-T_0)}} \tag{6} \] 業界還要考慮的是這個從 $T_0$ 到 $T_0$ 究竟怎麽折算成多少年的問題，還有不到半年怎麽折算的問題。這些都超出了本文要闡述的基本概念。

假定現金流還是老樣子但我們把收益率裏的複利頻率增加到無窮大，理論上的收益率公式就變成： \[ P = \sum_{i=1}^n C_i e^{-Y_\infty (T_i-T_0)} \tag{7} \] 這個與茴香豆有多種寫法類似，唬人用的，並不是業界規範裏的。

債券利率風險指標 Duration

債券利率風險指標 Duration 的數學定義非常簡單： \[ \text{Dollar Duration} = -P^\prime(Y) \tag{8} \] \[ \text{Duration} = -\frac{\text{Dollar Duration}}{P(Y)} \tag{9} \] 其中函數 $P(Y)$ 是從收益率 $Y$ 算出價值 $P$ 的公式 ((4)、(5)、(6))，$P^\prime(Y)$ 是 $P$ 關於 $Y$ 的1階導數。大家可以驗證一下，Duration 的單位是“年”。

當債券收益率從 $Y$ 變到 $Y + \Delta Y$ 時，債券價值的變化大約是： \[ \Delta P = P(Y+\Delta Y) - P(Y) \approx P^{\prime}(Y) \times \Delta Y \] 相對原來價值的變化是： \[ \frac{\Delta P}{P} \approx \frac{P^{\prime}(Y) \Delta Y}{P} = -\text{Duration} \times \Delta Y \tag{10} \] 大家可以想象一個蹺蹺板，一邊坐著收益率，離支點距離是 1，另一邊坐著投資的單位貨幣，距離支點是 Duration。收益率增加1%, 價值相對下降約 $\text{Duration} \times 1\% $。反過來，收益率下降1%, 價值相對上升約 $\text{Duration} \times 1\% $。

關於 TLT 是否能鎖住收益率的思辨

我一直強調，收益率是假定持有到期鎖定的年回報率，中途賣掉的話回報非常不確定。買 ETF TLT 的話，它的 tracking index (20+ year US Treasury) 一直在變，收益率是鎖不住的。有網友爭辯說 TLT 的收益率是能鎖住的，因為收益率的變化體現在價錢變化中，統算的話收益率不變。

假定你今天買了 TLT，說好的收益率是每年5.0%，你打算20年後賣掉，期望全程收益率鎖定在5.0%。如果買後20年利率平穩價錢平穩，很好你一直每年收5.0%。但不幸在你要買掉 TLT 的那一天早上，利率（及收益率）突然上漲1%, TLT 價錢跌了16%（注意 TLT 風險一直持續在高位，$\text{Duration} \approx 16\text{year} $，因為一直要維持 20+ year US Treasury）, 賣掉的話虧損平攤到20年，大約每年減0.8%，毛估估實現的收益率大約是4.2%而不是5.0%！

我可以舉許多不確定的例子來說明 TLT 鎖不住收益率。鎖不住收益率的最主要原因是 index rebalance，到期日老變。