趣味數學(一) 風乍起，吹皺一池春水

這陣風，是由一個數學問題引起的。

主席台上有三扇門，主持人事先在每扇門後各放了一個禮品。其中一扇門後是一兩豪華跑車，而另外兩扇後麵各有一頭漂亮的驢。主持人告訴大家：現在隨機抽取一位幸運觀眾，由他隨意選一扇門，門後的禮品就是他的獎品。雖然兩隻驢很漂亮，所有人都更喜歡豪華跑車。

幸運觀眾選好一扇門牌，門尚未打開。主持人在剩下的兩扇門中有意打開了一扇有驢的門，然後問幸運兒，願不願與剩下的門交換。這位觀眾撓撓腦袋，拿不定主意。

聰明的讀者，假如您是那個幸運兒，是換，還是不換？

這的確是一個有意思的問題。有人給當時IQ最高的Marilyn vos Savant寫信請教。Marilyn vos Savant是IQ在吉尼斯的記錄保持者，其IQ高達228分。Marilyn vos Savant信中說，該換，並且解釋說：如不換，他得到跑車的概率是1/3，換以後得到跑車的概率將升至2/3。這封信發表在1990年Parade雜誌的“Ask Marilyn”欄目中。

不料想，這樣一封信，就象一陣風，吹皺了一池春水。或者更準確地說，是掀起了軒然大波。

當時有不少數學家和統計學家加入了聲討Marilyn vos Savant的行列。他們認為Marilyn vos Savant犯了很低級的錯誤，有人甚至要求Marilyn vos Savant為所犯的錯誤向公眾道歉。而事實上，犯錯的不是Marilyn vos Savant，而是他們自己。

為什麽會這樣呢？因為這有悖於大家的直覺。

直覺是什麽呢？一般人的直覺是，既然跑車在剩下的門中，換與不換沒有差別，每個門後有車的概率就都是1/2。

在這裏，直覺是明顯有漏洞的。為什麽呀？

在主持人沒有打開一扇有驢的門以前，幸運觀眾選擇的門後有車的概率是1/3。為什麽在打開一扇有驢的門之後，概率變成了1/2？因為禮品是主持放的，他總能準確地在兩扇門中打開一扇有驢的門呀。假如這個直觀是對的，就會產生下麵的問題：觀眾隨意選定一扇門，門後有車的概率，是1/3。而這時主持人隻要打開另一扇有驢的門（這總是做得到的），觀眾所選門後有驢的概率就成了1/2，而他如果本想打開然後改變主意不打開，那扇門有驢的概率難不成又變回1/3？這是無論如何都難叫人心服口服的。

那麽，為什麽交換以後，有車的概率就從1/3升到2/3呢？這個問題，連當時的大數學家Paul Erdős都難以理解。他也直觀的覺得，換不換都沒有差別。

為什麽有差別呢？這是因為主持人有意而不是隨意打開了那扇有驢的門。

有意打開那扇有驢的門，就提共了有用的信息。想想看，如果他是在沒有打開那扇有驢的門前問要不要換一扇門，答案又會如何？很顯然，這時換不換是一樣的，因為這時還有兩種選擇，他可能選中了那扇有驢的門，也可能選中了那扇有車的門。而現在，主持人幫他把有驢的門排除了。換句話說，主持做了對他有利的事，因此得到跑車的概率升高了。如果觀眾選中了有驢的門，交換必得利。隻有在他選中了有車的門的情況下，交換才吃虧。也就是說，交換使他得到跑車的概率由1/3升到了2/3。再換一種說法，就更容易被接受了：如果交換的話，由於主持人的幫忙，在另外兩扇門中的車，都是他的獎品。

什麽是概率？概率，粗略地講，就是一個未知事件發生的可能性的一個度量。度量的最大值為1，最小值為0。要把概率說清楚，就必須弄清楚什麽是樣本空間，什麽是事件。樣本空間是由一切可能發生的結果個體組成的集合，而事件則是由部分（當然也包函全部）結果個體組成的集合。如果排除樣本空間為無限不可數的情形，可以說，概率為0的事件是不可能發生的事件，而概率為1的事件是必然發生的事件。其它事件的概率則在0和1之間。

要理解車和驢這個問題，有必要弄清楚這裏的樣本空間。我們不妨把三扇門標上號，比如該觀眾選中的是一號，剩下的分別是二號和三號。我們用（X，Y，Z，T）表示：一號門後有X，二號門後有Y，三號門後有Z，主持人打開的是T號門。那麽，所有可能的結果是：

1：（車，驢，驢，二）
2：（車，驢，驢，三）
3：（驢，車，驢，三）
4：（驢，驢，車，二）

其中，（車，驢，驢，二）表示，一號門後有車，二號三號門後是驢，主持人打開的是二號門，而（車，驢，驢，三）則表示，一號門後有車，二號三號門後是驢，主持人打開的是三號門。

所以樣本空間就是　Q　=｛（車，驢，驢，二），（車，驢，驢，三），（驢，車，驢，三），（驢，驢，車，二）｝。雖然我們列出了四種可能的結果，1和2合起來的概率才是1/3。所以交換有利的情形是3和4，它們合起來的概率是2/3。直觀上的1/2，很可能來自誤解，認為四個結果是等可能的。

假如主持隨意（就是他忘掉了自己的放法，或者禮品是別人放的，他不知情。）在兩門當中選擇一扇門，碰巧是一扇有驢的門，結果又會如何？

要弄清楚這個問題，就得了解一點條件概率。條件概率就是在已知部分信息的情況下，原有事件的概率會有一些變化。比方說，在已知今天下大雨的情況下，明天晴天的可能性會小一些。同樣，如果今天豔陽高照，明天晴天的可能性就會大一些。假設有兩個事件，分別稱之為A和B。在不知任何部分信息的情況下，事件A發生的概率為P(A)。而如果事件B已發生，則A再發生的概率為P(A|B)，我們可稱之為：在已知事件B發生的情況下事件A發生的概率。一般說來，我們會有P(A)不等於P(A|B)。自然，也有可能P(A)=P(A|B)，這時我們又稱事件A和事件B相互獨立。條件概率由下麵的公式算得：P(A|B)=P(A和B都發生)/P(B)。

假如主持是隨意打開剩下兩扇門中的一扇門，會出現幾種情況呢？也就是樣本空間是什麽呢？我們可以列出如下情形：

1：（車，驢，驢，二）
2：（車，驢，驢，三）
3：（驢，車，驢，二）
4：（驢，車，驢，三）
5：（驢，驢，車，二）
6：（驢，驢，車，三）

我們用（車，驢，驢，二）表示：一號門後是車，二號和三號門後是驢，主持人打開的是二號門。同樣，（驢，驢，車，三）表示：一號和二號門後是驢，三號門後是車，主持人打開的是三號門。注意：在主持人有意的情況下，（驢，車，驢，二）和（驢，驢，車，三）是不可能發生的，因為他不會打開有車的門。這就是有意和隨意的區別，也正是問題的關鍵。如果用A表示一號門後有車，而用B表示主持人打開有驢的門，讓我們來算算，P(A|B)。因為P(B)=4/6=2/3，P(A和B同時發生)=2/6=1/3，所以P(A|B)=(1/3)/(2/3)=1/2。也就是說，在主持人隨意打開一扇門，並且門後是驢的情況下，P(A|B)=1/2，這時交換門號毫無意義。

這也正是直覺上概率1/2的由來。

原來，那陣風的源頭，來自有意和隨意的一字之差。

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所有跟帖： 

• 信息是不斷變化的，所謂概率是依據某時間點掌握的確切信息進行計算 -風聲雨聲- ♂ (278 bytes) () 02/09/2013 postreply 23:15:32

• 謝！ -朝霞滿天- ♂ (0 bytes) () 02/10/2013 postreply 16:13:08

• 這個是主張要換的理由，所以是個悖論。 -風聲雨聲- ♂ (262 bytes) () 02/14/2013 postreply 04:38:57