第二章 “夠數學家們忙上五百年”

第二章 “夠數學家們忙上五百年” ——橫遭冷遇的青年數學家阿貝爾 　　翻開近世數學的教科書和專門著作，阿貝爾這個名字是屢見不鮮的：阿貝爾積 分、阿貝爾函數、阿貝爾積分方程、阿貝爾群、阿貝爾級數、阿貝爾部分和公式、 阿貝爾基本定理、阿貝爾極限定理、阿貝爾可和性，等等。很少幾個數學家能使自 己的名字同近世數學中這麽多的概念和定理聯係在一起。然而這位卓越的數學家卻 是一個命途多舛的早夭者，隻活了短短的27年。尤其可悲的是，在他生前，社會並 沒有給他的才能和成果以公正的承認。 尼耳期．亨利克．阿貝爾（N.H.Abel，1802－1829）1802年8月出生於挪威的 一個農村。他很早變顯示了數學方麵的才華。16歲那年，他遇到了一個能賞識其才 能的老師霍姆伯（Holmboe）介紹他閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日、高斯的著作。大 師們不同凡響的創造性方法和成果，一下子開闊了阿貝爾的視野，把他的精神提升 到一個嶄新的境界，他很快被推進到當時數學研究的前沿陣地。後來他感慨地在筆 記中寫下這樣的話：“要想在數學上取得進展，就應該閱讀大師的而不是他們的門 徒的著作”。 1821年，由於霍姆伯和另幾位好友的慷慨資助，阿貝爾才得進入奧斯陸大學學 習。兩年以後，在一本不出名的雜誌上他發表了第一篇研究論文，其內容是用積分 方程解古典的等時線問題。這篇論文表明他是第一個直接應用並解出積分方程的人。 接著他研究一般五次方程問題。開始，他曾錯誤地認為自己得到了一個解。霍姆伯 建議他寄給丹麥的一位著名數學去審閱，幸虧審閱者在打算認真檢查以前，要求提 供進一步的細節，這使阿貝爾有可能自己來發現並修正錯誤。這次失敗給了他非常 有益的啟發，他開始懷疑，一般五次方程究竟是否可解？問題的轉換開拓了新的探 索方向，他終於成功地證明了要像較低次方程那樣用根式解一般五次方程是不可能 的。 這個青年人的數學思想已經遠遠超越了挪威國界，他需要與有同等智力的人交 流思想和經驗。由於阿貝爾的教授們和朋友們強烈地意識到了這一點，他們決定說 服學校當局向政府申請一筆公費，以便他能作一次到歐洲大陸的數學旅行。經過例 行的繁文縟節的手續和耽擱延宕後，阿貝爾終於在1825年8月獲得公費，開始其曆 時兩年的大陸之行。 躊躇滿誌的阿貝爾自費印刷了證明五次方程不可解的論文，把它作為自己晉謁 大陸大數學家們，特別是高斯，的科學護照。他相信高斯將能認識他工作的價值而 超出常規地接見。但看來高斯並未重視這篇論文，因為人們在高斯死後的遺物中發 現阿貝爾寄給他的小冊子還沒有裁開。 柏林是阿貝爾旅行的第一站。他在那裏滯留了將近一年時間。雖然等候高斯召 見的期望終於落空，這一年卻是他一生中最幸運、成果最豐碩的時期。在柏林，阿 貝爾遇到並熟識了他的第二個伯樂——克雷勒（Crelle）。克雷勒是一個鐵路工程 師，一個熱心數學的業餘愛好者，他以自己所創辦的世界上最早專門發表創造性數 學研究論文的斯刊《純粹和應用數學雜誌》而在數學史上占有一席之地，後來人平 習慣稱這本期刊為“克雷勒雜誌”。與該刊的名稱所標榜的宗旨不同，實際上它上 麵根本沒有應用教學的論文，所以有人又戲稱它為“純粹非應用數學雜誌”。阿貝 爾是促成克雷勒將辦刊擬議付諸實施的一個人。初次見麵，兩個人就彼此留下了良 好而深刻的印象。阿貝爾說他拜讀過克雷勒的所有數學論文，並且說他發現在這些 論文中有一些錯誤。克雷勒的非常謙虛，他已經意識到眼前這位臉帶稚氣的年輕人 具有非凡的數學天才。他翻閱了阿貝爾贈送的論五次方程的小冊子，坦率地承認看 不懂。但此時他已決定立即實行擬議中的辦刊計劃，並將阿貝爾的論文載入第一期。 於是阿貝爾的研究論文，克雷勒雜誌才能逐漸提高聲譽和擴大影響。 阿貝爾一生最重要的工作——關於橢圓函數理論的廣泛研究就完成在這一時期。 相反，過去橫遭冷遇，曆經艱難，長期得不到公正評價的，也就是這一工作。現在 公認，在被稱為“函數論世紀”的19世紀的前半葉，阿貝爾的工作[後來還有雅可比 （K.G.Jacobi，1804－1851）發展了這一理論]，是函數論的兩個最高成果之一。 橢圓函數是從橢圓積分來的。早在18世紀，從研究物理、天文、幾何學的許多 問題中經常導出一些不能用初等函數表示的積分，這些積分與計算橢圓弧長的積分 往往具有某種形式上的共同性，橢圓積分就是如此得名的。19世紀初，橢圓積分方 麵的權威是法國科學院的耆宿、德高望重的勒讓得（A.M.Legen-dre，1752－ 1833）。他研究這個題材長達40年之久，他從前輩工作中引出許多新的推斷，組織 了許多常規的數學論題，但他並沒有增進任何基本思想，他把這項研究引到了“山 重水複疑無路”的境地。也正是阿貝爾，使勒讓得在這方麵所研究的一切黯然失色， 開拓了“柳暗花明”的前途。 關鍵來自一個簡單的類比。微積分中有一條眾所周知的公式 上式左邊那個不 定積分的反函數就是三角函數。不難看出，橢圓積分與上述不定積分具有某種形式 的對應性，因此，如果考慮橢圓積分的反函數，則它就應與三角函數也具有某種形 式的對應性。既然研究三角函數要比表示為不定積分的反三角函數容易得多，那麽 對應地研究橢圓積分的反函數（後來就稱為橢圓函數）不也應該比橢圓積分本身容 易得多嗎？ “倒過來”，這一思想非常優美，也的確非常簡單、平凡。但勒讓得苦苦思索 40年，卻從來沒有想到過它。科學史上並不乏這樣的例證“優美、簡單、深刻、富 有成果的思想，需要的並不是知識和經驗的單純積累，不是深思熟慮的推理，不是 對研究題材的反複咀嚼，需要的是一種能夠穿透一切障礙深入問題根柢的非凡的洞 察力，這大概就是人們所說的天才吧。“倒過來”的想法像閃電一樣照徹了這一題 材的奧秘，憑借這一思想，阿貝爾高屋建瓴，勢如破竹地推進他的研究。他得出了 橢圓函數的基本性質，找到了與三角函數中的π有相似作用的常數K，證明了橢圓 函數的周期性。他建立了橢圓函數的加法定理，借助於這一定理，又將橢圓函數拓 廣到整個複域，並因而發現這些函數是雙周期的，這是別開生麵的新發現；他進一 步提出一種更普遍更困難類型的積分——阿貝爾積分，並獲得了這方麵的一個關鍵 性定理，即著名的阿貝爾基本定理，它是橢圓積分加法定理的一個很寬的推廣。至 於阿貝爾積分的反演——阿貝爾函數，則是不久後由黎曼（B.Riemann，1826－ 1866）首先提出並加以深入研究的。事實上，阿貝爾發現了一片廣袤的沃土，他個 人不可能在短時間內把這片沃土全部開墾完畢，用埃爾米特（Hermite）的話來說， 阿貝爾留下的後繼工作，“夠數學家們忙上五百年”。  阿貝爾把這些豐富的成果整理成一長篇論文《論一類極廣泛的超越函數的一 般性質》。此時他已經把高斯置諸腦後，放棄了訪問哥延根的打算，而把希望寄托 在法國的數學家身上。他婉辭了克雷勒勸其定居柏林的建議後，便啟程前往巴黎。 在這世界最繁華的大都會裏，薈萃著像柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、勒讓 得、拉普拉斯（P.S.LapLace，1749－1827）、傅立葉（I.Fourier，1768－ 1830）、泊鬆（S.D.Poisson，1781－1840）這樣一些久負盛名的數字巨擘，阿 貝爾相信他將在那裏找到知音。 1826年7月，阿貝爾抵達巴黎。他見到了那裏所有出名的數學家，他們全都彬 彬有禮地接待他，然而卻沒有一個人願意仔細傾聽他談論自己的工作。在這些社會 名流的高貴天平上，這個外表靦腆、衣著寒酸、來自僻遠落後國家的年輕人能有多 少份量呢？阿貝爾在寫給霍姆伯談巴黎觀感的信中說道：“法國人對陌生的來訪者 比德國人要世故得多。你想和他們親密無間簡直是難上加難，老實說我現在也根本 不奢望能有些榮耀。到頭來，任何一個開拓者要想在此間引起重視，都得遇到巨大 的障礙。盡管阿貝爾非常自信，但對這一工作能否得到合理評價已經深有疑慮了。 他通過正常渠道將論文提交法國科學院。科學院秘書傅立葉讀了論文的引言，然後 委托勒讓得和柯西負責審查。柯西把稿件帶回家中，究竟放在什麽地方，竟記不起 來了。直到兩年以後阿貝爾已經去世，失蹤的論文原稿才重新找到，而論文的正式 發表，則遷延了12年之久。 從滿懷希望到漸生疑慮終至完全失望，阿貝爾在巴黎空等了將近一年。他寄居 的那家房東又特別吝嗇刻薄，每天隻供給他兩頓飯，卻收取昂貴的租金。一天他感 到身體很不舒暢，經醫生檢查，診斷為肺病，盡管他頑強地不相信，但實情是他確 已心力交瘁了。阿貝爾隻好拖著病弱的身體，懷著一顆飽嚐冷遇而孤寂的心告別巴 黎回國。當他重到柏林時，已經囊空如洗。幸虧霍姆伯及時匯到一些錢，才使他能 在柏林稍事休整後返回家園。 是誰該對阿貝爾的厄運負責呢？人們很自然會想起審評阿貝爾論文的柯西、勒 讓得。柯西當時38歲，正年富力強，創造力旺盛，忙於自己的事，顧不上別人而疏 忽鑄下了大錯。勒讓得怎麽樣呢？年逾古稀，功成名就，在法國科學界享有崇高的 威望，他當時不可能像柯西那樣忙著搞研究，理應對培養、識拔年輕一代的科學人 才負有更多責任。然而主要的是，阿貝爾這篇論文所處理的題材恰恰是勒讓得所熟 悉的，從某種意義上來說，是他的世襲領地。盡管論文裏包含著許多新奇、艱深的 概念，但導致這些概念的基本思想卻是簡單的。一個外行也許沒有能力欣賞這種簡 單思想的優美性和深刻性，但勒讓得對所論問題卻決非外行，他自己思者過幾十年， 深知在舊有基本思想框架內，知識業已達到飽和狀態，要獲取新的知識，除非打破 框架，引進新的基本思想。對他來說，其實根本無須仔細閱讀論文，隻有稍事點撥， 三言兩語說明一下基本思想，就足以起到振聾發聵的作用。但是他卻好像毫無感受， 實在令人費解。事實上，阿貝爾論文的內容，他並非一無所知，當他得知另一位青 年數學家雅可比（Jacobi）也獨立做了橢圓函數理論方麵相當係統的工作後，他曾 告訴過雅可比，有一個年輕的斯堪的納維亞人已先他而專美於家了。雅可比如饑似 渴地讀完阿貝爾那篇失落兩年又奇跡般出現的論文，不禁氣憤地寫信責問科學院： “阿貝爾先生作出了一個多麽了不起的發現啊！有誰看到過別的堪與比美的發現呢？ 然而，這項也許稱得上我們世紀最偉大的數學發現，兩年以前就提交給你們科學院 了，卻居然沒有引起你們的注意，這究竟是怎麽一回事呢”？勒讓得複信為自己提 出的辯解是令人失笑的：“我們感到論文簡直無法閱讀，因為它是用幾乎白色的墨 水寫的，字母拚寫得很糟糕，我們都認為應該要求作者提供一個較清楚的文本。真 是掩耳盜鈴，文過飾非。 讓我們再看看高斯。高斯一生勤勉，有許多偉大的數學發現，卻錯過了發現這 個偉大數學人才的機會。科學史經常在告誡：大凡富有創造性的見解，開始總是與 傳統觀念相抵觸的。 但阿貝爾最終畢竟還是幸運的，他回挪威後一年裏，歐洲大陸的數學界漸漸了 解了他。繼失蹤的那篇主要論文之後，阿貝爾又寫過若幹篇類似的論文，都在“克 雷勒雜誌”上發表了。這些論文將阿貝爾的名字傳遍歐洲所有重要的數學中心，他 已成為眾所矚目的優秀數學家之一。遺憾的是，他處境閉塞，孤陋寡聞，對此情況 竟無所知。甚至連他想在自己的國家謀一個普通的大學教職也不可得。1829年1月， 阿貝爾的病情惡化，他開始大口吐血，並不時陷入昏迷。他的最後日子是在一家英 國人的家裏度過的。因為他的未婚妻凱姆普（Kemp）是那個家庭的私人教師。阿貝 爾已自知將不久於人世，這時，他唯一牽掛的是他女友凱姆普的前途，為此，他寫 信給最親近的朋友基爾豪(Kiel-hau)，要求基爾豪在他死後娶凱姆普為妻。盡管 基爾豪與凱姆普以前從未覿麵，為了讓阿貝爾能死而瞑目，他們照他的遺願做了。 臨終的幾天，凱姆普堅持隻要自己一個人照看阿貝爾，他要“獨占這最後的時刻”。 1829年4月6日晨，這顆耀眼的數學新星便過早地殞落了。阿貝爾死後兩天，克雷勒 的一封信寄到，告知柏林大學已決定聘請他擔任數學教授。損失是難以估計的，如 果阿貝爾活到應的的壽命，他又將要做出多少新的貢獻啊！ 通過阿貝爾的遭遇，我們認識到，建立一個客觀而公正的科學評價體製是至關 重要的。科學界不僅擔負著探索自然奧秘的任務，也擔負著發現從事這種探索的人 才的任務。科學是人的事業，問題是要靠人去解決的。科學評價中的權威主義傾向 卻往往有害於發現和栽培科學人才。科不權威意味著他在科學的某一領域裏曾做過 些先進工作，他可能是科學發現方麵躊躇滿誌的權威，卻不一定是評價、發現、培 養科學人才的權威，尤其當科學新分支不斷湧現，所要評價的對象是天於連權威都 陌生的新領域的工作時，情況更是如此。