得數學者得天下(下)
其故
[本文作者是畢業於加州大學伯克利的博士。鑒於文章較長，現將此文
6. 數學有用嗎?
經常遇到很多人問的一個問題是: 數學有什麽用? 某數學教授到中學講課, 校長要求他回答學生的問題: 數學的用處難道就是刷題? 教授忍著沒說的話是: 數學有很多用處, 但你們所學的數學的用處就是刷題。
小學生做很多數學應用題, 中學生卻很少做甚至不做, 當然也就越來越脫離應用。這不是數學的問題, 而是教育的問題。
還有一種常見的論調, 說生活中隻需要用到小學的數學, 更深的數學沒用。實際上現在大多數人學的數學都是很成熟的數學, 隻要學通了都很有用。五十年前根本聽不到“數學有用嗎”這樣的質疑, 因為那時的中學數學教育沒有今天這麽脫離實際。中學生在數學的應用方麵應該比小學生有更高的要求, 不僅要會做應用題, 而且要能夠將實際工作中的問題轉化為數學問題並予以解決, 就是說要培養數學建模的能力。
華羅庚先生當年做數學普及報告, 經常舉日常生活中應用數學的生動例子。
由於經濟的發展, 當今數學在生活中的應用遠超過五十年前, 隻是很多人視而不見。我們下麵舉一些經濟生活中的例子, 從中可以顯示出數學素質即使在普通人的生活中也起著顯著的作用。
例 1. 甲乙兩個公司招聘, 甲公司采用年薪製(以一年為單位定工資標準), 起薪(開始工作時的工資)為每年100000元, 以後逐年增加,每次年薪增加6000元; 而乙公司采用半年薪製(以半年為單位定工資標準), 起薪為每半年50000元, 以後每半年增加一次,每次(半年薪) 增加2000 元。哪個公司的條件更優惠呢?
很多人(可能是大多數人)認為, 兩個公司的起薪標準是一樣的, 而乙公司每半年增加 2000 元,就是每年增加4000元, 不如甲公司的每年6000元高。
但如果能根據兩個公司的條件列出薪金公式, 就得到甲公司第n年的工資數為
100000+6000(n-1)
而乙公司第n年的工資數為
100000+2000(4n-3)
再計算二者的差得到
[100000+2000(4n-3)]-[100000+6000(n-1)]=2000n
即乙公司第 n 年的工資數比甲公司高 2000n。
而初一代數沒達標的人是做不到這些的。
例 2. 經常到商店買東西就會看到, 商店常用各種打折等優惠來吸引顧客。
例如, 某商店采用``禮券''優惠, 每購買100元的商品, 該店贈送50元``禮券'', 不足100元的部份略去不計(例如購買888元的商品可獲贈400元的禮券); 禮券的用法是: 每購買100元的商品, 可使用該店的50元禮券當作50元支付, 不足100元的部份略去不計(例如你有足夠多的禮券, 那麽購買560元的商品可使用250元的禮券, 剩下的560-250=310元則要用現金支付, 注意由於你付了310 元現金, 商店還要再贈送你150元的禮券)。
按這樣的辦法, 顧客究竟能獲得多少(相當於幾折)優惠呢? 媒體宣傳說相當於差不多五折優惠。如果中學數學學得好, 可以自己推導出總的優惠至多接近(但小於)。要把這個問題完全搞清楚, 需要用到一點微積分。
例 3. 要買一台新電視機, 買什麽樣的呢? 一個有良好數學素質的人會這樣作決定:在``量入為出''的範圍內, 盡可能尋找最喜歡的, 或者在自己喜歡的電視機中, 尋求價格最低的, 這兩種選擇都是``優化''。前麵說過, “優化”是運籌學的重要基本概念。
優化在經濟生活中經常可以用到。例如一個新建的公園, 要決定門票的價格, 是盡量高還是盡量低, 抑或``不高不低''? 明智的決定方法是: 首先確定一個目標, 就是獲得盡可能高的門票總收入, 按照這個目標來確定門票價格。這就是價格``優化''的方法。遺憾的是有些公園沒能這樣做。
在國外的一些針對非理工科學生的微積分教科書中, 常有這類問題的例子, 如一個收費站如何訂收費標準才能收盡可能多的費, 一個工廠在給定的原料價格、工資標準和稅收政策下如何獲得最大的利潤, 等等。
例 4. 古代“守株待兔”的故事說, 一個偶然得到兔子的宋國人放下田裏的活不做, 成天專等兔子撞樹, 結果是“兔不可複得, 而身為宋國笑”。
但嘲笑守株待兔的理由, 不應是財迷或懶惰等, 而應是愚蠢。那麽守株待兔者愚蠢在什麽地方呢? 在於希望一個概率很小的事件重複發生。
象這樣的小概率事件在生活中是經常遇到的, 例如抽獎彩票, 也許100萬張裏有一張獎一輛摩托車, 那麽一張彩票抽中摩托車的概率是0.000001。很多人都抽過某種獎, 作為一種遊戲玩玩也無妨, 但不能“走火入魔”, 成天除了抽獎什麽別的工作也不做 (如果抽獎也算一種“工作”的話), 希望靠抽獎過日子, 那就成了新時代的“守株待兔”了。
例 5. 在當今這個“信息爆炸”的時代, 一個人每天都會獲得大量的信息, 這些信息中總有很多錯誤的甚至假的, 而鑒別信息的真假需要很好的數學素質。
例如前不久普遍流傳的兩條信息: 一條說“培養一個飛行員需要幾十噸黃金”, 一條說“中國一戶人家每月的網費最低要67美元 (比美國高得多)”。這兩條信息的造假手段都是“轉換單位”, 如果以人民幣為單位是騙不了任何人的。反過來說, 一個不會單位換算的人遇到這種謠言就容易被騙。
這類謠言可以稱為“數學謠言”, 其中主要(甚至唯一)的造假處是“數”。遇到這樣一個聳人聽聞的標題時貿然點擊閱讀, 即使不上當受騙至少也貢獻了“點擊率”, 間接地幫助了謠言的傳播。
例 6. 有一類曾經很流行集資組織俗稱“老鼠會”, 其規則一般是: 每個人要
交一筆“會費”才能參加, 如果能發展10名新會員, 就可以升一級並獲得獎勵 (獎金當然來自新會員的會費),如果下一級的會員都升了一級, 自己也就跟著又升一級並且得到更高的獎勵。
人們稱老鼠會是“金字塔式”的: 最高一級隻有1個人, 下一級有10個人,再下一級有100個人, 等等。 不久以後, 在金字塔高層的人已經非常富有,這誘使越來越多的人參加, 可是有一天, 人們突然發現這個“老鼠會”倒閉了,所有新會員的會費都白交了, 人們憤怒地追查金字塔頂端的人, 可他們已經失蹤了, 於是人們到法院控告他們詐騙 ......, 這種故事屢見不鮮。
不過, 如果這些金字塔頂端的人不攜款潛逃, 而是跟著人們上法庭, 他們會被判有罪嗎? 他們可以為自己辯護說, 他們的公司是合法注冊的, 規章是公開的,他們並沒有違規, 而集資本來就有風險, 會員都是自願參加, 參加時也知道有風險並簽了協議。現在破產受損失,公司沒有責任。
這類集資支付利息的方法一般是“拆了東牆補西牆”, 即用後來入會者交的錢給先前入會者支付利息。這就是所謂“龐氏騙局”。
如果有較好的數學素質, 就有“指數速度”遠快於“線性速度”的直觀。遺憾的是很多人沒有這樣的數學素質, 所以缺乏警惕。例如老鼠會的情形, 假如每個會員每月發展10名新會員, 那麽一個月後會員人數增加到10倍, 兩個月後增加到 100 倍, 由此立刻可以算出,10個月後會員將有100億, 超過地球上的人口總數!
這顯然是不可能的, 實際上老鼠會的發展方式維持不了多久, 一般在幾個月到十幾個月後就發展不下去了, 這時就會破產。而老鼠會的任何廣告或介紹中都不會說明這一點。所以這種集資方式本質上是“數學詐騙”。
上麵這些例子足以說明, 中學數學素質對經濟生活有很大的影響。
而對於很多工作, 尤其是科技領域的工作, 數學素質的影響更大。
7. 得數學者得天下
前不久任正非在答記者問(參看 [12])中說, 華為雇用了七百多個數學家, 還有很多物理學家和化學家。這使很多人震驚。但很少有人進一步追問這些科學家都在研究什麽, 需要怎樣的數學素質; 還有, 這些科學家都是來自哪些國家,其中有多少中國人。
如果知道這些, 就不會崇拜所謂“學霸”或“狀元”了。
今天所說的“得數學者得天下”有兩重意思: 一是一個國家或民族的振興要依靠全民數學素質的提升和眾多具有高數學素質的人才, 二是一個人的工作能力和發展前途(包括就業機會)與個人的數學素質密切相關。
先說國家民族層麵的。很多人都聽到過“高技術本質上是數學技術”這樣的說法, 不過要理解這一點, 需要對於高技術有所了解, 而且需要有較高的數學素質。遺憾的是, 在網上經常看到的是對此的質疑(參看例如[5])。由此也可見公眾的數學素質亟待提高。
很多人可能還聽說過“海灣戰爭是數學戰”這個說法。海灣戰爭之前, 薩達姆宣稱一旦開戰他們要點燃科威特的油井阻擋美軍, 當然這會造成嚴重的汙染。是否會造成全球的不可挽回的災難, 這是全世界都在擔憂的問題。對此美國數學家建立了一個數學模型, 經過模擬計算, 證明這樣造成的災難是可控的。因此美軍不懼薩達姆的威脅。後來薩達姆確實點燃了油井, 而結果與模擬計算一致。
此外, 在戰爭的準備階段, 美軍的調動運用了運籌學, 大大縮短了準備時間, 從而保證了戰爭的突然性。
從國家層麵看, 在經濟、行政、金融、軍事、發展規劃等很多方麵, 都需要有很高數學素質的人參與決策。很多大公司的決策也需要高數學素質的人參與。
再說個人層麵的。數學素質能影響很多方麵的工作(參看例如 [14])。舉例說, 初中平麵幾何所培養的邏輯性,可使作家寫推理小說避免邏輯漏洞; 很多人寫文章會混淆命題和逆命題, 而魯迅的論辯文章經常抓住論敵的這類邏輯漏洞(足見魯迅的數學素質); 數學的邏輯訓練對於法官斷案和律師辯護是必要的; 音樂家也需要很好的數學素質, 因為現代和聲學、曲式學等都應用了較深的數學; 哲學家如果沒有很好的數學素質, 就不能讀懂黑格爾的書; 公司對於產品的定價需要運籌學; 工程的管理也需要運籌學; 程序員如果懂得優化, 可使所編的程序運行速度快且占用內存少, 等等。前麵已經看到很多其他方麵的例子。
這裏所涉及是數學, 一般都不是前沿數學, 而是幾十年前甚至更早時期的數學。而在數學的發展中,老的數學越來越成熟, 越成熟就越使普通人容易學懂。所謂數學素質, 簡言之就是學懂了數學並能自覺獨立運用的能力。
那麽數學素質如何培養? 數學教育有其特殊的規律, 在一般的教育學中完全沒有涉及(參看[4])。因此, 很多中學招聘數學教師, 寧可要數學專業出身但沒學過教育學的, 也不願要教育學出身但數學基礎薄弱的。而讓數學素質差的“教育家”指導數學教育則更是有害的。
我國曆史上曾經有很多優質的數學教育和教材。民國時期采用較多的《3S平麵幾何》、《範氏大代數》等都是高水平的教科書, 而且是傅種孫、吳文俊等大師翻譯的, 後來國內編寫的教科書質量也很高; 解放初期所編寫的數學教科書質量也都很高, 即使當時東北編的職工業餘教材也遠比當今的統編教材水平高; 1960年代的教科書, 內容有所弱化, 但基本架構未變。1977年恢複高考以後, 中學所采用的教科書基本上是翻印1960年代的教科書, 一直用1980年代。
1950-60年代在華羅庚先生的倡導下, 很多頂尖數學家參與中學數學教育, 寫出了很多高水平(甚至在國際上也屬高水平)的中學生讀物。此外, 華羅庚先生還倡導和力行為中學生講課、舉辦數學競賽等 (參看[7]), 都取得了顯著成效, 是培養數學素質的很好途徑。
發達國家都很重視科技人才的培養, 其中數學教育是一個重要因素。 法國、英國、以色列、俄國、日本等國在中學數學教育方麵都有很好的經驗值得我國借鑒(參看[9])。例如法國的高水平中學在高中時已學習相當於我國的大學課程,中學畢業生預修一兩年可參加Ecole入學考試, 若考取基本上相當於我國的直博, 而Ecole入學數學試題比我國的研究生入學數學試題深而且難。我國中學數學教育如果做得好, 應該也可以達到這樣的水平。實際上在多年前我國就有這樣水平的中學(參看[15])。
8. 失數學者失天下
近來美國發動的所謂“貿易戰”, 驚醒了國內的很多夢中人, 有些人甚至感到了危機。其實危機本來就存在, 薑樹生([5])在2015年就曾質問: 難道現在就不是“中華民族到了最危險的時候”?
然而“貿易戰”打了一年, 中國所受的損失, 連“傷筋動骨”都談不上。這實在不象個現代戰爭的樣子。本來在經濟、金融、貿易等領域, 所涉及到的數學比局部戰爭更多而且更深, 然而與海灣戰爭相比, “貿易戰”在數學上差遠了, 既沒有建數學模型, 也沒有用運籌學, 遑論更多更深的數學了。
如所周知, 美國是數學強國, 比中國強太多了, 例如美國有很多菲爾茲獎獲得者而中國一個也沒有。美國的數學教育也是世界上最強的之一, 例如領導國際數學發展潮流的Tate, Langlands等都是在美國獲博士學位的。我國近年來有很多年輕的數學英才是美國培養出來的。
可是,在我國經常看到媒體宣傳“中國數學教育碾壓美國”, 這反差實在太大, 對美國稍有了解的人都會認為媒體胡說八道。但這“胡說八道”卻是“情有可原”的, 因為美國的精英教育與普及教育嚴重分裂, 而我國媒體一般對於美國的精英教育毫無了解, 是用中國全民的教育與美國的普及教育相比,玩了“田忌賽馬”。
不過美國的數學普及教育確實很爛, 這使得美國大多數人, 包括大多數政客的數學素質很低。尤其是決策者, 他們自己不懂得運籌學不會建模, 卻也不找數學家來幫助決策。這樣看來, 中國遇到今天的“戰局”頗有僥幸的因素。
但中國不能靠僥幸。提高公民的數學素質,培養傑出的特別是尖端的科技人才,才是救國的正道。
發達國家的數學普及教育一般也很強。 然而美國卻是個明顯的例外, 數學非常強, 數學精英教育也非常強, 但數學普及教育竟然很爛,這確是一個十分費解的矛盾。
為了理解這個矛盾, 建議讀者讀蓮溪的文章[11](此文相當長,但需要認真讀完才可能有點明白, 浮躁的閱讀是沒用的)。 我們下麵假定讀者已讀過這篇文章,僅做一點提綱式的說明。
不久前, 網上忽然出現很多紀念和吹捧胡適的老師杜威的文章,看上去頗為令人奇怪: 被中國拋棄了70年的杜威怎麽突然紅起來了,還有那麽多粉絲? 如果讀了[11]就不難理解了: 杜威是美國教育大忽悠的始作俑者,他的事業後來被很多人發揚光大,形成了強大的政治勢力,構建了一套所謂“進步教育”體係,製造了很多種垃圾教材和垃圾教育法。胡適當年也曾把杜威請到中國來,可惜忽悠完全失敗。但近年來國內一些人(基本上都是文科的)將美國這個垃圾體係引入中國,並逐步占據了壟斷地位。這些人崇拜杜威就不奇怪了。
自杜威以後,美國的所謂“教育學家”逐步把持了數學基礎教育，使得大多數人無法獲得哪怕最低限度的合格的數學教育，而大批數學素質極差的人又反過來壓製數學教育，這就是政治。自此數學垃圾教育體係逐步取得主導地位,它足以給美國數學普及教育造成毀滅性的傷害。
這個垃圾體係的主張“看上去很美”:“探究式教學法”,“新數學”,“開放教育”,“建構主義”,“團隊合作”等等(參看[2], [11]),還有“不讓一個孩子掉隊” (別以為這是共產主義思想)。然而“在市場上常常可以看到一種情況:那個叫喊得最凶的和發誓得最厲害的人,正是希望把最壞的貨物推銷出去的人”。
美國的有識之士對此看得很清楚(參看[11]),如1983年由裏根政府教育部長任命的一個專委出台了一份題為“危險中的國家”的報告,其中警告說:“我們的國家正處於危險中……我們國家的教育基礎正被平庸所侵蝕，威脅著我們國家和民族的未來。假想哪個外國敵對勢力想通過使美國教育平庸化來搞垮我們的話，那麽我們甚至可以將美國當前的平庸教育視為對美國的宣戰”。可惜這些有識之士在政治上沒有多大權力。
中國改革開放以後, 很多國外的教育方式被介紹到中國來。這方麵的論文非常多, 其中大部分是“教育學家”的論文。對於數學教育, 美國的“進步教育”體係特別受到青睞, 逐步占據了壟斷地位。如[11]中所說:“中國2000年公布的數學教育標準，在理念、措辭、行文等多方麵幾乎是美國1989年NCTM數學標準的翻版”(參看[1])。按此標準統編的教科書, 和美國的垃圾教科書已經在很多方麵一致:
1. 放棄科學嚴謹性，經常用“大俗話”來解釋科學概念(參看 [6]);
2. 內容避難就易, 以致沒有一個課題的內容是完整的, 更沒有係統性(參看 [17]);
3. 淺嚐輒止, 而且把很多重要的甚至關鍵的內容留給學生自己解決(參看[6]);
4. 用技術代替數學(教科書中各章節都有所謂“信息技術的應用”,其實隻是教具的使用說明);
5. 不分專題(如代數、平麵幾何、三角、立體幾何、解析幾何等), 籠統地稱為“數學”, 而且將各課題交錯地講(多次重複造成很大的浪費). 等等。
由此可見, 我國目前大多數中學的數學教材, 是有史以來最差的(參看[13]), 而且在質量上直追美國垃圾教材。與美國比爛, 沒什麽可驕傲的。
比美國更嚴重的一點是, 中國的教育有極強的壟斷性, 有了“課標”以後就會“嚴禁超綱”。美國至少還有精英教育的通道可以培養人才, 而在中國卻無路可走。
如果不準農民的產量“超綱”, 不準工人的產品質量“超綱”, 不準軍人的軍事技術“超綱”, 不準企業的效益“超綱”,不準運動員的成績“超綱”等等, 肯定都是行不通的, 而且大家都會覺得荒唐。唯獨教育卻能“嚴禁超綱”, 這足以說明教育是當今中國壟斷最頑固的領域。
原有的好教材(包括參考書和課外讀物等)都拋棄, 華羅庚等大師開創的優質教育方法也都拋棄, 國外數學教育的好經驗也不引入, 偏偏一門心思引入美國的垃圾體係, 而且奉為圭臬。這究竟是為什麽?
近來多次看到這方麵的“陰謀論”, 說是“第五縱隊”從中國內部破壞中國教育。但未見有什麽證據。其實問題未必有這麽複雜, 甚至隻是一個“權”字而已。
一些數學素質很差的“教育學家”, 沒有能力做生產性的工作, 好的數學和數學教育他們也理解不了,卻滿腦子“學而優則仕”, 要當官。他們所用的“理論”與1950年代的“外行就是要領導內行”, 1960 年代的“馬克思要統帥X”之類並無本質區別, 隻是當今“政治掛帥”不太容易唬人了, 改用“人文”, “哲學”, “教育學”等, 仍是擺出一副高高在上的姿態, 為掌握權力而忽悠。
因此, 教育垃圾能夠橫行, 優質數學教育被打壓(如嚴禁“超綱”, 取消數學競賽等, 連“華羅庚金杯”這樣的國際高水平數學競賽都被取消), 根本原因是為了維護和加強某些人的權力。為了自己的權力和利益不惜犧牲國家前途民族命運, 這樣的人被稱為“教育漢奸”是當之無愧的。
而他們掌握教育大權的結果, 將是進一步壓低中國公民的數學素質, 並將高科技人才的培養掐死在中學階段。
盡管“貿易戰”使中國遇到很多的困難, 中國是不會被壓垮的。中國若要垮, 必是由於內部的蛀蟲, 即那些為了自己的權力和利益不惜犧牲國家前途民族命運的人。
因此, 為了挽救中國的危亡, 必須拯救數學教育。為此一要破除教育壟斷, 二要將教育漢奸趕下權力的寶座。
為了排除偽“教育家”的幹擾, 數學基礎教育應由數學界主導, 尤其要依靠那些不計名利投入中學教育的數學大師們。
教育是當今大多數中國人憂慮的問題, 希望很多人能夠不隻是看到一些表麵現象, 提出一些膚淺的訴求, 而是將眼界放開闊些, 對問題看得深刻些, 提出關鍵性的訴求。
國家興亡, 匹夫有責。
參考文獻
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[10] 李克正: 關於初等幾何習題 (2018.5.)
[11] 蓮溪: 是誰奪走了美國人的數學能力？--美國百年數學戰爭演義
[12] 任正非 2019 年 5 月 21 日答記者問
[13] 鹹道: 致家長
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[16] 尹裕: 精英教育的迫切性與中國教育危機. 數學通報 2009 年第 4 期
[17] 朱忠明: 中學數學教程和高校數學教程的銜接問題探討 (2016.11.)
[18] 朱忠明: 中學生數學素養測評模型的構建與實測研究 (2018.5.)
