（三）數學的不完美---數學史上的三次危機
嚴謹規範、仙風入骨的數學也有不完美之處？的確如此，有數學史上三次危機作證。
第一次數學危機源於存在不可公度的量，發生在公元前500年的希臘，以希伯索斯（Hippasus）悖論為代表。
當時，以數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）為首的學派崇尚數學，認為萬物皆數，萬物皆有公度。皆有公度的意思是說，任一物體的長度，是另一物體的長度的整數倍或分數倍，也就是說，可用另一物體的長度來表示。而那個當成尺子的物體的長度是自己的1倍，所以，任意兩個物體都可通比，即皆有公度（注1）。這個結論，從直觀上說應該是對的，也是合情合理的。比如，5輛馬車長=16個城門寬，那麽，馬車和城門的長度比就是5:16或1:16/5(即一馬車長=16/5個城門寬)。又比如，1.23個鞋長=5.67鞋寬，則鞋長和鞋寬之比=1.23/5.67=123/567=41/189=1/(189/41)。另一方麵，該學派證明了著名的畢達哥拉斯定理（即勾股定理。據說，興奮無比的畢達哥拉斯為此宰百牛而賀，故有“百牛定理”之稱）。而正是後者這支矛刺穿了萬物皆有公度這麵看似堅不可摧的盾。因為畢達哥拉斯的學生希帕索斯發現，邊長為1的正方形的對角線的長度，是無法公度的量。如此一來，該學派無法自圓其說。這太不可思議，太無理了（這也是後來稱這個新的數為無理數的原因），因為它直接動搖了萬物皆(分)數這一理念。但是，這個對角線長是一實實在在的量，而推理也百分之百正確，那麽，你必須承認，你的理念有錯。所以，你不得不妥協，不得不退一步。於是，一種新的數，無理數，誕生了。這貌似後退的一步，其實是海闊天空的一步，是向前邁進了一大步。數學的基石，非但沒有動搖，反而更堅實，也就為以後的發展，打下了更加寬厚的基礎。
第二次數學危機源自關於無窮小量的爭論，發生在17世紀的牛頓時期，以貝克萊（George Berkeley）悖論為代表。
無窮小，直觀理解就是無限接近0的量，或者說要多小，就有多小的量。發明了微積分的牛頓，把無窮小量的概念，通過不嚴謹的求極限方法，用在了求導數和具體的物理問題上，比如求瞬時速度。但是貝克萊主教卻給這一研究狠狠一擊。他說，這個幽靈般的無窮小，你一會兒說它不是零(比如說當它是分母時)，一會兒又說它是零(比如說當它是一單獨的分量時)。那麽它到底是，還是不是呢[注2]？你這種推導，不是自相矛盾嗎？你老是嘲笑我們神學家，原來你自己也是翻手為雲，覆手為雨，比我們神學家還神啊。主教的攻擊，雖然目的是維護神學，但切中要害。怎麽辦？回避是徒勞的，也不符合數學家們的性格，隻有應戰。一大批數學家門以接力方式，不懈研究，終於在十九世紀下葉建立起嚴謹、完整的實數理論，為極限論和微積分（包括它們的應用）提供了堅實的數學基礎，從而也就徹底解決了第二次數學危機。
第三次數學危機源於集合論矛盾，發生在19世紀末、20世紀初，以羅素（Bertrand Russell）悖論為代表[注3]。
由康托爾（Georg Cantor）創立的集合論，是現代數學的基礎。但羅素提出的理發師悖論，向這一理論提出了震撼性的挑戰。這個悖論是，村裏的理發師立了一規矩，他要給，也隻給村裏不給自己理發的人理發。那麽，誰給理發師理發呢？假定理發師不給自己理發，那麽根據規矩，不給自己理發的人(這時，這個人也就是理發師自己)，必須讓理發師理發，這與假定不符。假定理發師給自己理發，那麽根據規矩，他隻給村裏不給自己理發的人理發，換句話說，凡屬自己給自己理發的人，理發師是不會給他理發的。因此，理發師不能給自己理發。這也與假定不符。這樣一來，理發師既必須給自己理發，又不能給自己理發，不管怎樣，都是矛盾的。
這第三次數學危機，使數學家們認識到，數學係統，並不完美，必須給她加以適當的條件限製，或是規範化和公理化，才能使其完備一致，而避免諸如羅素悖論的發生。有趣的是，由此形成的三大主流學派（包括直觀派，邏輯派和公理派）關於數學的哲學思考的爭論，直到今天，仍在繼續……
看來，追求和諧，而不是追求完美；接受挑戰，而不是回避挑戰，不失為人之道。
最後，請大家做幾個數學題（不需要多少數學知識，隻有最後一題是高數題，但從前麵的貼子裏可找到提示）。你要是做不出，不妨讓孩子們試試，看看是否象一個電視節目展示的：你能不能比過小學5年級的他們？
1)一個算術題---漆屋頂。單獨做，哥哥用4天，弟弟用6天。倆人合做，要用幾天，(我多次用此題考可愛的洋朋友，賭啤酒，常贏，屢試不爽。)
2)一個幾何題---前麵談到了黃金分割比，現在，請你用圓規和無刻度的直尺，找出一條線段的黃金分割點。
3)算術和幾何題已各有一個，這次做個三角文字遊戲：三角幾何共八角，三角三角，幾何幾何。
4)再做一個幾何題---重分邊界。甲和乙各有一塊地，卻以一條折線為邊界。請問，如何公平地重新劃線，使邊界變為一直線（即使新邊界像“工”字中的那一豎）。
5)玩一個折紙遊戲，也就是大家熟悉的莫比烏斯帶：我們知道，一個沒有洞的閉合紙圈有正，反兩個麵。一隻螞蟻要從正麵爬到反麵去，必須爬過邊界(即正，反麵的交界線)才行。現在請你設計這樣的一個紙圈，讓螞蟻不用翻過邊界就能爬到反麵去(即可否做一個隻有一麵的紙圈)。又：如果沿著這個紙圈的中央剪一圈，問剪得的結果是什麽？把所得結果再沿中線剪一圈，結果又是什麽？兩個圈？一個圈？兩個套在一起的圈？還是什麽別的。
6)朝山敬香隻有一道。唐僧早上6：00從山下自卑亭出發，走走停停，於下午6：00到達山頂大廟。修行數日後，也是早上6：00從山頂大廟出發，停停走走，剛好在下午6：00到達山下自卑亭。如果不管日期，請證明在這山道上，一定有一點，唐僧是在同一時刻經過的。
7)做一個真正的中國奧賽題(記不清是哪一年的了)---在邊長為1的正方形中，有9個點。證明，一定可從中找出3個點，使得由該3點組成的三角形的麵積不超過1/4。
8)在前麵的貼子裏談到過李逵住店的事。如果來了不止一個，而是幾個李逵，我想大家肯定立馬就找到了解決辦法。現在的問題是，來了編號是1號，2號，等等直到無窮多號的李逵，這可怎麽辦好？
[注1]：皆有公度的代數含義就是：任何數都可用既約分數（即分子分母沒有公約數的分數）來表示。然而，用反證法可證明，√2是無法表示成既約分數的。
[注2]：以x平方求導為例：
(x^2)'= lim[(x+∆x)^2-x^2]/∆x = lim(2x*∆x/∆x+∆x^2/∆x) 這裏∆x ≠ 0，所以可以約分而劃掉，從而：
(x^2)'=lim(2x+∆x) 這裏令∆x = 0來求極限，即 ∆x = 0, 所以 (x^2)'=2x.
[注3]理發師悖論是羅素悖論的一個通俗說明。羅素用數學的集合論語言，構造了一個特殊的二重集合（即以集合為元素的集合），結果發現，這個特殊的集合既要屬於它自己，又不能屬於它自己。
嚴謹規範、仙風入骨的數學也有不完美之處？的確如此，有數學史上三次危機作證。
第一次數學危機源於存在不可公度的量，發生在公元前500年的希臘，以希伯索斯（Hippasus）悖論為代表。
當時，以數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）為首的學派崇尚數學，認為萬物皆數，萬物皆有公度。皆有公度的意思是說，任一物體的長度，是另一物體的長度的整數倍或分數倍，也就是說，可用另一物體的長度來表示。而那個當成尺子的物體的長度是自己的1倍，所以，任意兩個物體都可通比，即皆有公度（注1）。這個結論，從直觀上說應該是對的，也是合情合理的。比如，5輛馬車長=16個城門寬，那麽，馬車和城門的長度比就是5:16或1:16/5(即一馬車長=16/5個城門寬)。又比如，1.23個鞋長=5.67鞋寬，則鞋長和鞋寬之比=1.23/5.67=123/567=41/189=1/(189/41)。另一方麵，該學派證明了著名的畢達哥拉斯定理（即勾股定理。據說，興奮無比的畢達哥拉斯為此宰百牛而賀，故有“百牛定理”之稱）。而正是後者這支矛刺穿了萬物皆有公度這麵看似堅不可摧的盾。因為畢達哥拉斯的學生希帕索斯發現，邊長為1的正方形的對角線的長度，是無法公度的量。如此一來，該學派無法自圓其說。這太不可思議，太無理了（這也是後來稱這個新的數為無理數的原因），因為它直接動搖了萬物皆(分)數這一理念。但是，這個對角線長是一實實在在的量，而推理也百分之百正確，那麽，你必須承認，你的理念有錯。所以，你不得不妥協，不得不退一步。於是，一種新的數，無理數，誕生了。這貌似後退的一步，其實是海闊天空的一步，是向前邁進了一大步。數學的基石，非但沒有動搖，反而更堅實，也就為以後的發展，打下了更加寬厚的基礎。
第二次數學危機源自關於無窮小量的爭論，發生在17世紀的牛頓時期，以貝克萊（George Berkeley）悖論為代表。
無窮小，直觀理解就是無限接近0的量，或者說要多小，就有多小的量。發明了微積分的牛頓，把無窮小量的概念，通過不嚴謹的求極限方法，用在了求導數和具體的物理問題上，比如求瞬時速度。但是貝克萊主教卻給這一研究狠狠一擊。他說，這個幽靈般的無窮小，你一會兒說它不是零(比如說當它是分母時)，一會兒又說它是零(比如說當它是一單獨的分量時)。那麽它到底是，還是不是呢[注2]？你這種推導，不是自相矛盾嗎？你老是嘲笑我們神學家，原來你自己也是翻手為雲，覆手為雨，比我們神學家還神啊。主教的攻擊，雖然目的是維護神學，但切中要害。怎麽辦？回避是徒勞的，也不符合數學家們的性格，隻有應戰。一大批數學家門以接力方式，不懈研究，終於在十九世紀下葉建立起嚴謹、完整的實數理論，為極限論和微積分（包括它們的應用）提供了堅實的數學基礎，從而也就徹底解決了第二次數學危機。
第三次數學危機源於集合論矛盾，發生在19世紀末、20世紀初，以羅素（Bertrand Russell）悖論為代表[注3]。
由康托爾（Georg Cantor）創立的集合論，是現代數學的基礎。但羅素提出的理發師悖論，向這一理論提出了震撼性的挑戰。這個悖論是，村裏的理發師立了一規矩，他要給，也隻給村裏不給自己理發的人理發。那麽，誰給理發師理發呢？假定理發師不給自己理發，那麽根據規矩，不給自己理發的人(這時，這個人也就是理發師自己)，必須讓理發師理發，這與假定不符。假定理發師給自己理發，那麽根據規矩，他隻給村裏不給自己理發的人理發，換句話說，凡屬自己給自己理發的人，理發師是不會給他理發的。因此，理發師不能給自己理發。這也與假定不符。這樣一來，理發師既必須給自己理發，又不能給自己理發，不管怎樣，都是矛盾的。
這第三次數學危機，使數學家們認識到，數學係統，並不完美，必須給她加以適當的條件限製，或是規範化和公理化，才能使其完備一致，而避免諸如羅素悖論的發生。有趣的是，由此形成的三大主流學派（包括直觀派，邏輯派和公理派）關於數學的哲學思考的爭論，直到今天，仍在繼續……
看來，追求和諧，而不是追求完美；接受挑戰，而不是回避挑戰，不失為人之道。
最後，請大家做幾個數學題（不需要多少數學知識，隻有最後一題是高數題，但從前麵的貼子裏可找到提示）。你要是做不出，不妨讓孩子們試試，看看是否象一個電視節目展示的：你能不能比過小學5年級的他們？
1)一個算術題---漆屋頂。單獨做，哥哥用4天，弟弟用6天。倆人合做，要用幾天，(我多次用此題考可愛的洋朋友，賭啤酒，常贏，屢試不爽。)
2)一個幾何題---前麵談到了黃金分割比，現在，請你用圓規和無刻度的直尺，找出一條線段的黃金分割點。
3)算術和幾何題已各有一個，這次做個三角文字遊戲：三角幾何共八角，三角三角，幾何幾何。
4)再做一個幾何題---重分邊界。甲和乙各有一塊地，卻以一條折線為邊界。請問，如何公平地重新劃線，使邊界變為一直線（即使新邊界像“工”字中的那一豎）。
5)玩一個折紙遊戲，也就是大家熟悉的莫比烏斯帶：我們知道，一個沒有洞的閉合紙圈有正，反兩個麵。一隻螞蟻要從正麵爬到反麵去，必須爬過邊界(即正，反麵的交界線)才行。現在請你設計這樣的一個紙圈，讓螞蟻不用翻過邊界就能爬到反麵去(即可否做一個隻有一麵的紙圈)。又：如果沿著這個紙圈的中央剪一圈，問剪得的結果是什麽？把所得結果再沿中線剪一圈，結果又是什麽？兩個圈？一個圈？兩個套在一起的圈？還是什麽別的。
6)朝山敬香隻有一道。唐僧早上6：00從山下自卑亭出發，走走停停，於下午6：00到達山頂大廟。修行數日後，也是早上6：00從山頂大廟出發，停停走走，剛好在下午6：00到達山下自卑亭。如果不管日期，請證明在這山道上，一定有一點，唐僧是在同一時刻經過的。
7)做一個真正的中國奧賽題(記不清是哪一年的了)---在邊長為1的正方形中，有9個點。證明，一定可從中找出3個點，使得由該3點組成的三角形的麵積不超過1/4。
8)在前麵的貼子裏談到過李逵住店的事。如果來了不止一個，而是幾個李逵，我想大家肯定立馬就找到了解決辦法。現在的問題是，來了編號是1號，2號，等等直到無窮多號的李逵，這可怎麽辦好？
[注1]：皆有公度的代數含義就是：任何數都可用既約分數（即分子分母沒有公約數的分數）來表示。然而，用反證法可證明，√2是無法表示成既約分數的。
[注2]：以x平方求導為例：
(x^2)'= lim[(x+∆x)^2-x^2]/∆x = lim(2x*∆x/∆x+∆x^2/∆x) 這裏∆x ≠ 0，所以可以約分而劃掉，從而：
(x^2)'=lim(2x+∆x) 這裏令∆x = 0來求極限，即 ∆x = 0, 所以 (x^2)'=2x.
[注3]理發師悖論是羅素悖論的一個通俗說明。羅素用數學的集合論語言，構造了一個特殊的二重集合（即以集合為元素的集合），結果發現，這個特殊的集合既要屬於它自己，又不能屬於它自己。
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