科普哥德巴赫猜想 & 1 + 1

送交者: lala 於 July 09, 2009

1 + 1是數論中存在最久的未解問題之一。其陳述為： 任一大於 2 的偶數，都可表示成兩個質數之和。

將一給定的偶數表示成兩個質數之和被稱之為此數的哥德巴赫分割。例如，

                 4 = 2 + 2 
                 6 = 3 + 3 
                 8 = 3 + 5 
                 10 = 3 + 7 = 5 + 5 
                 12 = 5 + 7 
                 14 = 3 + 11 = 7 + 7 
                 …

這就是非常著名的哥德巴赫猜想.

1742年6月7日，普魯士數學家克裏斯蒂安·哥德巴赫寫信給瑞士數學家萊昂哈德·歐拉, 提出了以下的一個命題。他寫道：

"我的問題是這樣的： 隨便取某一個奇數，可以把它寫成三個素數之和. 

         比如77可以把它寫成三個素數之和：77 = 53+ 17 + 7； 
         比如461， 461 = 449 + 7 + 5， 也是這三個素數之和，
         461還可以寫成461 = 257 + 199 + 5，仍然是三個素數之和。

這樣，我發現：任何大於7的奇數都是三個素數之和。

但這怎樣證明呢？雖然做過的每一次試驗都得到了上述結果，但是不可能把所有的奇數都拿來檢驗，需要的是一般的證明，而不是個別的檢驗。"

歐拉回信說：“這個命題看來是正確的".但是他也給不出嚴格的證明。同時歐拉又提出了另一個命題：任何一個大於6的偶數都是兩個素數之和，但是這個命題他也沒能給予證明。

不難看出，哥德巴赫的命題是歐拉命題的推論。事實上，任何一個大於5的奇數都可以寫成如下形式：
　　
                    2N + 1 = 3 + 2(N - 1)，其中2(N - 1) ≥ 4.

若歐拉的命題成立，則偶數2(N - 1)可以寫成兩個素數之和，於是奇數2N + 1可以寫成三個素數之和，從而，對於大於5的奇數，哥德巴赫的猜想成立。

但是哥德巴赫的命題成立並不能保證歐拉命題的成立。因而歐拉的命題比哥德巴赫的命題要求更高。

現在通常把這兩個命題統稱為哥德巴赫猜想。

但嚴格的數學證明尚待數學家的努力。

從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的"明珠"。 人們對哥德巴赫猜想難題的熱情，曆經兩百多年而不衰。世界上許許多多的數學工作者，殫精竭慮，費盡心機，然而至今仍不得其解。哥德巴赫猜想的傳奇實際上是科學史上最傳奇的曆史.

到了20世紀20年代，才有人開始向它靠近。1920年挪威數學家布朗用一種古老的篩選法證明，得出了一個結論：每一個比大偶數n（不小於6）的偶數都可以表示為九個質數的積加上九個質數的積，簡稱9+9。 需要說明的是，這個9不是確切的9，而是指1，2，3，4，5，6，7，8，9中可能出現的任何一個。又稱為“殆素數”，意思是很像素數。與哥德巴赫猜想沒有實質的聯係。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們於是從（9十9）開始，逐步減少每個數裏所含質數因子的個數，直到最後使每個數裏都是一個質數為止，這樣就證明了哥德巴赫猜想。

目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理：“任何充分大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。”通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為 “1 + 2”的形式。“充分大”陳景潤教授指大約是10的500000次方，即在1的後麵加上500000個“0”，是一個目前無法檢驗的數。所以，保羅赫夫曼在《阿基米德的報複》一書中的35頁寫道：充分大和殆素數是個含糊不清的概念。

在陳景潤之前，關於偶數可表示為 s個質數的乘積 與t個質數的乘積之和(簡稱“s + t”問題)之進展情況如下:

1920年，挪威的布朗證明了“9 + 9”。
1924年，德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”。
1932年，英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”。
1937年，意大利的蕾西先後證明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。
1938年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“5 + 5”。
1940年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“4 + 4”。
1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+ c”，其中c是一很大的自然數。
1956年，中國的王元證明了“3 + 4”。
1957年，中國的王元證明了“3 + 3”。
1957年，中國的王元證明了“2 + 3”。
1962年，中國的潘承洞證明了“1 + 5”。 
1962年，蘇聯的巴爾巴恩證明了“1 + 5”。 
1962年，中國的王元證明了“1 + 4”。
1965年，蘇聯的布赫 夕太勃證明了“1 + 3 ”。
1965年，蘇聯的小維諾格拉多夫證明了“1 + 3 ”。
1965年，意大利的朋比利證明了“1 + 3 ”。
1966年，中國的陳景潤證明了 “1 + 2 ”。

以上數學家在本國都得到獎勵，但是沒有一人獲得國際數學聯合會的認可，於是人們開始思考。王元院士在1986年9月在南開大學的講話中明確地說明：[1 + 1]與[1 + 2]不是一回事。（見“世界數學名題欣賞”《希爾博特第十問題》188頁。遼寧教育出版社1987年版）。1997年7月17日，王元院士在中央電視台東方之子節目中也闡述了：哥德巴赫猜想僅指1+1。邱成桐院士認為，文學無論多麽精彩，也不能夠代替科學，2006年邱院士說，陳景潤的成功是媒體造成的。一般認為，目前沒有任何人對哥德巴猜想作過實質性的貢獻。所有的證明都存在問題，與哥德巴猜想沒有實質聯係。