介紹一個等周問題的初等解法

等周問題是指對等長的簡單閉曲線， 求能圍出最大麵積的曲線。這是個經典問題，解法很多，有一些用到深刻的數學分析。答案是圓。

下麵的解法來源於美國數學月刊某期（記不清了）。 證明分三步， 每步都很簡單初等。假定 K 是一個圍出最大麵積的曲線。

1) K是凸的。幾乎不證自明。

2）如果弦 AB 分K 為長度相等的兩段曲線，那麽 AB 必然也平分K 圍出的麵積。 否則，把大的那一半對稱的翻過去，可以得到一個圍出更大麵積的等長曲線。注意這裏沒有要證明曲線是對稱的。

3）如果弦 AB 分K 為長度相等的兩段曲線， C 為曲線上任意一點， 角C 必為直角。 否則，如圖所示，可維持紅色區域形狀不變，但把角 C 變為直角，這樣上班部分麵積變大。 然後用上半部分的對稱翻轉取代下半部分， 得到一個圍出更大麵積的等長曲線。