勾股數， 哈哈題目的解答，及一些小題目 (圖)

最近腦壇可熱鬧啦，尤其是一幫女生，包括康MM, 可活躍啦。男生多努力喲。

94 兄倡議的這個活動，我非常讚成。 我也想寫一些小文章，比如我想寫一個《中國古代數學的美麗與哀愁》，可惜題目太大，我最近沒有時間更沒有能力來寫。這裏我就偷個懶， 介紹一下勾股數。

勾股數（組）， 西方叫做畢達格拉斯(Pythagoras)數， 是指能夠作為直角三角形三邊長的三個自然數 x, y, z。 依據勾股定理（或者叫畢達格拉斯定理），如果z是斜邊邊長，那麽 x²+y²=z². 因為 x, y, z 要求是整數， 要找到很多勾股數曾經並不容易。 在古代，東西方都有人找到一些特例，或者特別的公式. 比如我們先人很自豪的(3,4,5), 傳說是商朝時代的商高發現的（他當然也發現了勾股定理）。畢達格拉斯給出了一些特殊公式，刻意求出部分勾股數。巴比倫人更厲害，他們在畢達格拉斯和商高之前千多年，發現了15組勾股數， 由於這些數相當大， 我們有理由相信巴比倫人也有奇妙的公式。這些數都被可在泥板上， 墓碑上，或是金字塔上。總之，在古代發現勾股數可是很重大的成就，不是今天一塊奧運金牌能相比的。勾股定理，勾股數與數學發展的關係之深，不是我所能闡發的，打住。--剛才 google 了一下， 發現今天還有中國人宣稱發現了奇妙的勾股數公式，可惜我沒有興趣看了。


能求出所有勾股數的公式， 今天看來已經很簡單了。每一組勾股數都可以寫成下麵的形式：

x=k(2ab), y=k(a²-b²), z=k(a²+b²).

其中所有數都是自然數， a > b ( 注意 x 和 y 出於對稱位置） . 初中學生都能驗證這些 x²+y²=z². 反過來，要證明對任意一組勾股數(x,y,z), 都能找到 自然數 k, a, b 使得上式成立就難一些了， 但其實也隻涉及整除，同餘理論之類。

有了這個公式，人類可以說對勾股數相當了解了。涉及勾股數的題目， 有時候不需要這個公式，有時候用了會簡單一些。通常要解決這類題目還要用到其他的數論知識，比如整除，同餘之類。 用上麵這個公式的時候，通常假定 a 與 b 互素，把因子提到 k 那裏。 如果 k 也等於 1, 那麽 (x,y,z) 三個數都是互素的，稱之為原始勾股數。

我們來看一個康MM的一個題目
直角三角形

有一個整數邊直角三角形，斜邊長是一個二位數，這個數兩個數字顛倒過來是一條直角邊的邊長。斜邊長是多少？（不許用computer算）

醜女郎給出了一個相當漂亮的解。這個題目不需要那個公式。


然後haha2000 問了下麵這個問題：
哈哈的題


存在一個兩位自然數ab, 使得cd 和 dc 是一個所有邊長為自然數的直角三角形的兩直邊之長嗎？

我的答案是： 令x=cd=k(2ab), y=dc=k(a²-b²), a 和 b 互素。 那麽 cd-dc=9(c-d)=x-y=k((a+b)²-2a²), 由於 a 和 b 互素， 可以驗證 3 與 ((a+b)²-2a², 9 必然整除 k， 也就是說 x 和 y 都是 9 的倍數。剩下的就是試驗了，答案是不存在。


問題：

（1）, 找出 不超過 50 的不能出現在任何勾股數中的正整數。

譬如 1， 2。 7 不能做 z, 但 7 可以做 y, 即出現在 (24, 7, 25) 中，所以 7 不是一個答案。

2, 如果 (x, y, z) 是勾股數， 那麽 60 整除 xyz.


本來剛才還想到一些題目， 寫寫就忘了。