形式邏輯對於貝氏定理的解釋以及意義上的啟發

形式邏輯對於貝氏定理的解釋以及意義上的啟發

 

現狀

國內對貝氏定理，作了各種各樣的講解。給人啟發。

但是，貝氏定理公式涉及形式邏輯推理的分析，以貝氏定理解決問題的方式，多是以記憶公式來解決問題，道理並不簡單明了。在相關的教學中，我還沒有發現有簡單明了的解釋。

本文試著從形式邏輯角度給予解釋，以解決人們在理解和應用貝氏定理公式方麵的困擾。

本文的結構是，先以例子說明它在現實方麵的應用。引出其數學公式所表達的，看起來與現實意義方麵的不合理之處。再以形式邏輯解釋之。

 

例：新冠患者檢測

 

下麵展示貝葉斯定理在新冠病毒檢測時的應用。

假設某個試劑的檢測結果的靈敏度和差異度均為99%，即新冠患者每次檢測呈陽性（+）的概率為99%。而非新冠患者每次檢測呈陰性（-）的概率為99%。

已知0.5%的雇員感染新冠病毒。

請問每位檢測結果呈陽性的雇員染病的概率有多高？

解：

符號記作，檢測結果呈陽性，為+；染病毒為D。所求的結果寫作：P(D|+)。它是每位檢測結果呈陽性的雇員染病毒的概率表達。

已知的值：

從已知0.5%的雇員染病毒知，不設任何條件，某公司新冠患者的概率P(D)=0.005。0.5%是怎麽已知的？合理的推測是，根據以前的，或者，其它公司的數據，所做的猜想。注意，它不來自公司本身，因為，如果這數據來自公司本身，題目的問題沒有了意義。因此，這種“已知”的信息，也叫做先驗信息。

在染病毒條件下，被檢測呈陽性的概率P(+|D)=0.99

請注意區別，P(+|D)與P(D|+)的形式不同，含義也不同。

以上，

“不論條件”，皆呈陽性的概率P(+)=0.005*0.99+0.995*0.01=0.015。白話來說，即該公司有多少比例的雇員，其檢測結果為陽性。

根據貝葉斯定理：

1.P(+)P(D|+)=P(D)P(+|D)

2.P(D|+)=P(D)P(+|D)/P(+)=0.005*0.99/0.015 =0.332

這裏貝葉斯定理公式1.所表達的意義為：無論條件，被測為陽性的概率，“並且（以及）”，在被測為陽性的條件下，染病毒的概率，等於，無論條件，染病毒的概率，“並且（以及）”，在染病毒條件下，被測為陽性的概率。

這裏貝葉斯定理公式2.從各式的數值可得它的答案0.332。答案的意義可描述為，在被測為陽性的條件下，染病毒的概率是0.332。

結果說明什麽？你猜想過嗎？

從試劑的檢測結果（99%）來看，是比較準確的，但是貝葉斯定理卻可以揭示一個潛在的問題，在被測為陽性的條件下，“真正”染病毒的概率，並沒有我想象的那樣高，與我從直覺得出的結論相差太大。你想象過嗎？

進一步分析這個例子，有一種看法就是證據的有效性。

P(+|D)=0.99，作為染病毒的證據的準確性（或稱之為，準確的可能性）很高了。即使很高，仍然還要取決於“真正”新冠患者的群體的大小，即P(D)=0.005。如果很小，證據的有效性（注意，不是“準確性”）會被大打折扣，即結果P(D|+)的影響並不著顯，反而顯得證據是無能為力（僅為0.332）。這一事實表明，證據的“準確性”是證據本身的特征；而證據“有效性”，則描述了某種關係的性質，也就是，它描述證據與結論之間的關係特性。這兩個形容詞應用的場景不一樣。這種“不一樣”的區分，具有哲學意義，即“準確性”描述“事物”是什麽？而“有效性”描述“事實之間”的關係。比如，任何事實之間有因必有果的理性（reason）關係。

貝葉斯定理又可以這樣看，P(D|+)=P(D)*P(+|D)/P(+)，從形式上變成：P(D|+)=P(+|D)*(P(D)/P(+))，其中P(D)/P(+)可看作P(+|D)的參數。

這樣，我們可以看到，P(D|+)與P(+|D)的關係。有必要強調一下，P(+|D)表達的是這試劑（證據）的準確性。它給我們新的啟發，就是P(+|D)對於P(D|+)來說，基於參數P(D)/P(+)，具有似然性。又稱為標準相似度（standardized likelihood）。就是，在多大程度上，P(D|+)接近於P(+|D)。

顯而易見，這取決於參數P(D)/P(+)的大小，極端情況是，若參數=1,二者一樣，也可以說，完全相似。而分析P(D)/P(+)易知，其中，P(D)是先驗概率，這取決於這個公司的群體是否具有典型性，比如，與社會群體染病的一致性，偏差大，還是小。而其中的P(+)=0.005*0.99+0.995*0.01又受到P(D)的影響。重新展現這個參數，是這樣的：

P(D)/P(+)=0.005/(0.005*0.99+0.995*0.01)

你可以通過對其中P(D)做從小到大的測試。容易知道，P(D)向1,P(D|+)與P(+|D)二者更加具有似然性。

我理解的意思是，要找到那個先驗可能性比較大的群體，這時，證據的“準確性”才接近“有效性”。

這給我們的啟示是什麽呢？通常人們以證據的高準確性直接作有效性推理，這也許符合“直覺”，然而，這種“直覺”並不常常正確。

這可以解釋社會上許多現象，比如，“成功學”大多無效。你可以解釋一些社會現象嗎？

比如，勤奮對於成功者來說，有人說，可以看到大多數成功者都很勤奮。於是，得出結論，隻要勤奮為條件，那麽，就有可能成功。但是，這個結論忽略了，成功人士的群體太小了，比如，馬雲及其成功的事實，是社會上，極少數人及其成功的事件。因此，勤奮對於想獲得馬雲這樣成功的人來說，證據的有效性就很差。

類似的模型很多。又如，高中生普遍擬通過做對高考模擬題，期望獲得好成績。然而，容易測算，每年高考題與模擬題的一致性極低，即使我們所模仿的都對，也就是“證據”的準確性極高，期望也不容易實現。結論是，以大量的模擬題訓練，並不是有效的路徑。這與直覺不一致。

順便說，如果我們從成功人士的做法上，受到啟發；從高考題目的解答中，受到啟發，是另一回事。這跟單純地模仿不同。他們的任何成功的思想、行為方式的典型特征與我們所處的時空場景很難具有一致性，同時，對於我們想要的成功，也不具有效性。可憐。

進一步分析，

P(+)P(D|+)=P(D)P(+|D)=P(+^D)

意思是，檢測為陽的概率，並且，在被檢為陽性的條件下，確是染病毒的概率等於

染病毒的概率，並且，在染病毒條件下，被檢出陽性的概率

二者都等於：被檢為陽和染病毒同時發生的概率

葉斯定理的公式所要表達的事實意義是明確的。

我有問題是，

P(D|+)=P(+^D)？意思是，在被檢為陽性的條件下，確是染病毒的概率。為什麽不等於“被檢為陽和染病毒同時發生的概率”？

或者，為什麽不可以P(D|+)=P(D)P(+|D)？

從直覺，總覺得，沒有不可以。

從形式邏輯上，很容易推理出，不可以。

因為，分析如下：

1被檢為陽 染病毒

2被檢為陽 不染病毒

3被檢為非陽 不染病毒

4被檢為非陽 染病毒

有四種關係。舉不出更多。

分析P(D|+)，陳述為：“在被檢為陽性的條件下，確是染病毒的概率。” 這個陳述句為一個條件句。

從形式推理的原則，隻要“染病毒”為真，無論條件如何，這個推論即為真。

對比以上四種關係，應該很容易指出是上述哪個關係，即1，4，對嗎？

 

當+^D時，即當“被檢測為陽”跟“染病毒”，作乘積，求概率P(+^D)時，這意味著，被檢測為陽，在這個陳述中，確保是真的。由此，在推理上，即明確了（被檢為陽性的）條件為真。在此真的前提條件下，染病毒為真。這個推論才為真。對比，P(D|+)的含義及推理，顯然，P(D|+)陳述所得出結論的條件，要比 P(+^D)得出結論的條件，寬泛得多。

再重述一遍：P(D|+)，隻要“染病毒”為真，無論條件如何，這個推論即為真。

而P(+^D)，則染病毒為真，則明確要求了（被檢為陽性的）條件為真，這個陳述為真。

簡言之，P(D|+)與P(+^D)二者陳述所得出的結論相同，而“條件”不同。因此，不是同一陳述。不可代換。

也就是說，P(D|+)=P(+^D)不成立，當然，P(D|+)=P(D)P(+|D)也不成立。

我覺得，先有形式邏輯的思想基礎，才有條件概率公式的發展。任何拋開形式邏輯的思想，單純作公式推導，是不理解條件概率本質的記憶遊戲。