黎曼假設的秘密

黎曼zeta函數的原始定義是下麵的無窮級數

zeta(s)=1+1/2^s+1/3^s+…

自變量s是一個複數。當且僅當s的實部大於一時，這個無窮級數收斂。因此，需要把這個無窮級數解析延拓到s的整個複平麵。也就是要找到另一個函數，在s的實部大於一時，它與這個無窮級數恒等，在s的實部小於或等於一時，除了奇點外，它收斂。

 

 

圖一，s複平麵的定義。

 

黎曼嚴格地推導出了一個解析延拓，它的定義域為s的整個複平麵。s=1是它的一個奇點。在s=-2, -4, -6,…時，這個延拓的值為零，被稱為平凡零點。根據圖一的定義，s=1/2+it被稱為臨界線。黎曼的這個解析延拓就是圖二中的公式(一)。從公式(一)可推導出眾所周知的函數方程，也就是說，公式(一)與黎曼zeta函數的函數方程完全等同。黎曼把臨界線方程s=1/2+it代入公式(一)，對右邊的兩項做了非常巧妙的合並後就得到圖二中的公式(二)。

 

 

圖二，黎曼zeta 函數的解析延拓公式。

 

公式(一)和公式(二)都是黎曼推導的原始公式。

 

公式(一)是黎曼zeta函數在s的整個複平麵上的一個解析延拓。

 

公式(二)右邊可以展開成t的平方的無窮冪級數。因此，黎曼覺得這個t的平方的無窮冪級數有無窮多個零點，被稱為非平凡零點。也就是說，黎曼zeta函數在臨界線上有無窮多個非平凡零點，這就是黎曼假設。重複一遍，黎曼基於他自己對公式(二)的判斷，作出了黎曼假設。然後，賦予黎曼假設一個重要的意義，那就是，對非平凡零點在臨界線上的分布的研究，將得到有關素數分布的重要結果。

 

公式(二)右邊並不是一個非常複雜的表達式。隻要應用樊映川書中的微積分知識，直接對公式(二)進行變換，或者先對公式(一)進行變換，再把s=1/2+it代入，都不難得到圖二中的公式(三)。

 

公式(三)的意義比較明顯。公式(三)右邊的積分就是函數z(x)在[0, ∞]區間上的富裏葉變換的實部。函數z(x)在[0, ∞]區間是x的單調衰減函數，從x=0時的最大有限值，單調衰減到x=∞時的零值。在|t|<∞的範圍內，公式(三)右邊的積分值永遠是大於零的有限值。顯然，黎曼zeta函數在臨界線上沒有零點。那麽，通過非平凡零點在臨界線上的分布來研究素數分布是行不通的。

 

通過無窮冪級數展開來推測一個函數有沒有零點，並不可靠。有的無窮冪級數隻不過是無零點函數的一個無窮冪級數展開。比如，乍看之下也會覺得無窮冪級數L(t)有無窮多個零點

L(t)=1/a^2-t^2/a^4+t^4/a^6-t^6/a^8+…

其中a是一個非零的實常數。其實，這個無窮冪級數隻不過是無零點的函數L(t)按t的平方所作的無窮冪級數展開。

L(t)=1/(t^2+a^2)

 

盡管黎曼zeta函數在臨界線上沒有零點，但是根據Riemann-Siegel公式還算出了不少的零點。首先，用一個相位因子乘以臨界線上的黎曼zeta函數來定義Riemann-Siegel Z函數，再把用無窮級數定義的黎曼zeta函數帶入Z函數。由於用無窮級數定義的黎曼zeta函數在臨界線上不收斂，所以隻好取前麵的不超過(t/(2*pi))^0.5項的和，最後再加上一個誤差項，便是Riemann-Siegel公式。

 

用有限級數來代替不收斂的無窮級數，也就是隻取這個無窮級數的前麵的有限項來作計算稱為截肢(truncation)，其結果會產生虛假的零點(artifacts)。黎曼zeta函數的無窮級數定義在臨界線上不收斂，如果隻取它前麵的有限項，它就變成是收斂的，就會有零點。以公式(三)為例，截肢就是把積分上限從∞變成一個有限值，結果是算出的積分會隨t振蕩，也會有零點，這些都是因為截肢引起的虛假現象。