唐宋韻
唐宋韻
女子與數學 （2）gender gap
寫這篇文章的動機，並不是因為近來刷屏的薑萍，而是網友的一篇博文《數學，無關性別》。說的是她回國以後得知上初三的表哥的女兒，在數學上遇到了困難，嚐試請一位重點中學數學老師幫忙，而這位老師冷淡地表示，女生數學掉鏈子，無能無力……
同作者一樣，我不同意那位老師的態度，但我卻這樣回：
“數學有點不同於其他學科，事情真的比較複雜、難說。
在完全自由的選擇和類似的努力下，性別差異的確明顯。我曾經近距離、數年之間（因某種契機）深入了解過我們這個學區最好的約20多個 math kids，包括我自己的兩個孩子，我覺得總體上性別差異明顯。但這其中確有幾個個女生數學也是優秀的，其中兩個大學裏繼續學STEM。所以，對於個體來講不一定。
數學上最優秀者，兩性的比例大約是 1：10，這在任何別的學科都是沒有的，不能被歧視、偏見、自信心不足等來充分解釋。
…… 我可以寫一篇說這個問題，但不願意趟這涉嫌“歧視”的渾水，被人扔磚頭。”
她的回答中有兩點，我認為非常中肯：1. 就應付大學以前的數學考試而言，她覺得學習數學“開竅”很重要。2. 她不知道女孩是不是從小就被灌輸了性別的差異，因而從思想深處就對數學生出了惰性和怯意。
此外，她鼓勵我寫有關此問題的文章，不要管別人說什麽......
好吧，既然我有一些數據、觀察和有關的一些思考，就寫出來，言者無罪。
性別差異（gender gap）這種說法早就有，但經常是非常寬泛的，比如平均而言男人比女人力氣大，暴力犯罪率高，從政人數多，這些都是gender gap。（BTW，兩性的智商平均值沒有差異，盡管兩性在IQ測驗的分項上各有所長。）這裏，我們將“性別差異”範圍僅限於數學的能力或特長。
2009年，總部設在巴黎的國際組織“經濟合作與發展組織”（簡稱經合組織； Organisation for Economic Cooperation and Development，OECD）開始了一項為期3年，每三年重複的“國際學生評價計劃”（Programme for International Student Assessment (PISA)），通過測驗評價幾十個國家的15歲學生的數學和語言能力。本計劃的初衷主要是提供一個量化的、顯示不同國家初等教育水平的可比較數據，從而幫助各國製定教育政策。
PISA測驗的結果，除了反映各國的差距之外，也反映出了顯著性的性別差異 — 1. 在大部分國家，女孩的數學分數低於男孩；2. 在所有國家，男孩的閱讀水平低於女孩。這是其中一年的全部結果：
另一個反映性別差異的是SAT成績。下圖左側是40年間的SAT數學成績的對比。男生的平均成績始終比女生高30-40分。（但注意y坐標是從450而不是0開始，在視覺上“放大”了差異。）右圖是兩性在不同分數段出現的頻率，同樣表明男生在高分段比例高。（在700分以上，男女比約3 ：2 ）。
然而，統計表明在SAT閱讀考試上，兩性是沒有顯著差異的，有的年份女生還略有優勢。下圖是紐約州的Vassar College跨越10年，對其入校新生SAT的統計結果。盡管這所學校比較好，SAT的平均分比美國平均值要高很多，但趨勢是一樣的，即SAT閱讀兩性沒有顯著差異，但數學成績男性平均高15-25分。SAT兩個項目的結果表明，不能把女生數學分數稍低歸結為教育機會不均等。
現在我們已經知道有關現象了。為了更全麵的分析，我們做一個簡單的數學模型，並希望它與現實中的廣泛的觀察和測量相吻合。我盡量簡單地說，爭取解釋清楚：
在自然界、人類社會、以及心理學和教育學中，大量測量值表現為正態分布（normal distribution），比如人的身高、壽命、血壓、考試成績、智商等。正態分布有嚴格的定義，這裏不多說。正態曲線呈左右對稱的鍾型，兩頭低，中間高。均值附近出現的頻率最高，離均值越遠，出現頻率越低。均值μ和標準差σ是正態分布的兩個特別重要的參數。均值反映了分布在x軸的位置，標準差反映了離散的程度。如果σ 的值大，則分布比較發散，曲線比較扁平。
下圖左顯示了正態分布的特點，如在正負1個標準差之內，出現頻率高達68.2%，而大於3個標準差出現的頻率隻有0.1%。舉個例子：根據定義，標準智商測驗的均值是100，標準差是15。因此智商在85-115的人占了68.2%。而智商超過145的人隻有0.1% ， 因為45是3倍的標準差。
上圖右是理解gender gap的關鍵：紅色虛線鍾形圖是整個人群（男女合並）的分布曲線。如果男性比女性有優勢，那麽男性的曲線將右移，而女性的曲線將左移。這個shift有多大呢，我對前麵PISA和SAT的數據進行了分析（不細說了），我的計算結果是gender gap大約是0.3個標準差。也就是說男性的曲線較兩性總和的曲線（紅色虛線）右移0.15σ，而女性則左移0.15σ。
這樣一個模型，它是不是大致準確呢？我們來看4種不同標準/水準下，兩性究竟表現出什麽樣的gender gap：
A、基本水準：定義為-1.5 σ以上。即經過一定的努力，一般的數學課至少可以及格。（注意，A包含B，C和D，但上麵的描述，是僅限於刨去B、C、D的情況）
B、優秀水準：定義為+1.5 σ以上。這樣的學生數學考試經常能得A，可以選AP數學，SAT數學經一定準備，能考700分以上。他們可能參加數學競賽，但獲得優勝比較難。他們在大學裏可以學STEM，但不是拔尖的學生。（B包含C和D，但上麵的描述，是僅限於刨去C、D的情況。）
C、英才水準：定義為+3 σ以上。這是數學的精英，他們 AP數學和SAT數學都不費勁就能夠獲得接近滿分的成績，在低級別的數學競賽中經常獲獎。到大學裏，他們也是STEM專業的優等生。
D、天才水準：定義為+6 σ以上。這是數學上的最尖端者，他們是在數學上有重大建樹、獲得數學大獎（包括菲爾茲獎）級別的天才。
好，現在我們來分別看。在下圖中，我們著重看右邊那個曲線下的綠色部分（大於z分值的發生概率），我用大字明確寫在圖的最右邊。依照該模型，作為總體，有93.32%的學生數學可以基本合格（比如可以及格）。由於根據有關數據推算的正負0.15 σ的shift，相當於對男性而言，數字變成了-1.65 σ以上，而女性變更成了-1.35 σ，對應為男生95.05%和女生91.15%數學可以基本合格。也就是說，達到數學基本要求的比例為1.04 ：1，兩性是很接近的，女生與男生達到數學基本要求的人數差不多。
再看看“優秀水準”的情況，這樣的個體占整個人群中的6.68%。根據與上麵同樣的換算方式，男女的比例，實際上是比較1.35 σ以上的頻數和1.65 σ以上的頻數，這時男女比例比上麵一個圖增加了，大約是1.8 ：1。這個結果，與SAT數學考700分以上、數學課大多得A、選修數學AP等情況下，男女生的比例是基本吻合的。
【注：有關“C、英才水準”和“D、天才水準”的話題，我們留待下一篇再說。】
向看官致歉，本篇內容比較幹，比較boring。而且在沒有機理的情況下說數據，可能會被批評為有bias，甚至有“歧視”之嫌。這個問題的確比較複雜，男性比女性在數學上表現略強，可能是社會期待、個人信心以及生物原因綜合的結果。當要求較低時，女生幾乎與男生一樣好，也許是因為努力和訓練可以彌補輕微的劣勢。看官去看第一張圖，整個東亞地區，包括日，韓、新加坡、香港、上海，在那個比較簡單的PISA數學測試下，gender gap都是比較小的，我猜想一個原因可能是東亞文化強調用功，而女孩比男孩更自控一些。然而，用功的作用，在需要天賦的一些高難度操作中，作用就有限了。在國際奧林匹克數學競賽（IMO）選手中，男生比例很高，也許正是因為這個原因。
人做一件事情的動機的強弱，不僅取決於獲得成功後的喜悅和回報，而且取決於對成算的判斷和為獲得成功所需付出的代價。因此，盡管桃子對所有人都是好吃的，“下山摘桃子”與“上山摘桃子”的勁頭是不同的。如果那山有了兩千多米高，一名登上運動員颼颼就上去了，水蜜桃吃著舒坦！我老唐氣喘籲籲，爬了不到五百米就give up了。你們說我沒吃到桃子是因為自信心不夠強？
同意，大部分的gender gap不是科學問題，或不單單用科學就能解釋和解決。
不是同一組題的粗分，而是十幾個項目換算後的分數的加權，保證兩性均值相同。
因此，在validation階段，隻要改變不同分項粗分換算成標準分時的係數或權重就可以“再平衡”了。比如對詞匯和拚圖兩項的權重稍作調整。。。當然，這是一項複雜的工作，不是拍腦袋或者知道一點統計學就瞎來的。
另外，智商測驗有很多種。像Wechsler智商測驗這種高效度的測驗，是主試者與被試者一對一的測驗，不是一般的紙筆測驗。
第一次聽說智力測驗的設計目標之一，是讓同一組題目，讓男的平均值=女的平均值。漲知識了。
另外，標準差的區別也許能解釋一些現象。
女人標準差小，說明分布曲線高而窄，集中在中間，傻瓜少，神童也少。
男人標準差大，說明分布曲線矮而寬，兩側相對多，傻瓜多，神童也多。
男人的分布曲線寬，分布曲線的最左端的傻瓜裏，男人比女人多得多。
監獄裏關的，差不多都是男的，是不是說明傻瓜裏男人比女人多得多？
男人的分布曲線寬，也導致分布曲線的最右端的神童裏也基本上都是男人。
古今中外，以發明者命名的數學定理，差不多都是男人的名字，如歐幾裏得、牛頓。
即使讓一個數學係的學生隨便說出來一個以女人命名的數學定理，恐怕也很少人能說出來。
這是不是說明神童裏基本上都是男人？
學懂從小學到研究生的數學內容，男女都有能力。
但要突破前人的數學成就，曆史上也就幾千人，這裏麵絕大多數都是男的。
並不是想說明男女誰更棒。隻是根據已知的數據，看能不能解釋一些現象。
謝謝油翁點評。
【新林院】
您的意思是不是下麵的？
“智力測驗的設計目標之一，是讓同一組題目，讓男的平均值=女的平均值。”
換句話說，如果這兩個平均值不一樣的話，智力測驗的設計者會調整題目，使兩個平均值更接近。
是這個意思嗎？
是這個意思。
不管怎樣，過若幹年讀會有新版。出於種種原因，特別是文明社會人的智商傾向於越來越高（稱為 Flynn Effect），而且有的問題對新一代已經不適用了，所以常模總是要調整。
最新版的韋氏IQ測驗 WAIS-5，將在今年10月份公布。
新版本是個非常嚴肅的巨型課題，不是發現一點小問題、小不平衡，就改動。
我不肯定您的意思。
您的意思是不是下麵的？
“智力測驗的設計目標之一，是讓同一組題目，讓男的平均值=女的平均值。”
換句話說，如果這兩個平均值不一樣的話，智力測驗的設計者會調整題目，使兩個平均值更接近。
是這個意思嗎？
智商（IQ）反映一般性的的思維能力和語言能力，它與數學能力不是一回事。後者是很難定義的。研究表明兩者的相關性小於0.4，最多算是中等相關。
就我本人而言，我也認為兩者很不一樣。比如，我下麵回答網友時，我談到IQ的大致情況是兩性均值相同，但男性標準差大。而我上麵的文章的文字和圖很清楚，對於數學的性別不同，我是假定標準差相同，但均值有0.3個標準差的不同。。。
謝謝您的信息。當一個智力測驗做常模的時候，或者在另外一個國家或文化進行validation的時候，男女樣本在各個年齡段，在理想情況下是相等的（可以想見這個工作量相當大）。也就是說這個“標尺”的平均值在做norm的樣本下兩性是平衡的（這是智力測驗的設計目標之一）。
然而，當以這一的標尺去測量新的人群時，就會有各種可能的不同，既可能是常模的問題，也可能是被測查的人群的取樣問題。
如果被測人群的取樣沒有問題，IQ分出現係統的、反複的男比女高，那麽有兩個解決辦法，1. 對IQ測驗進行調整和re-validation，即對智商測驗的題目、特別是言語智商和操作智商的分項進行再平衡；2. 像國際象棋、圍棋那樣，男女有不同版的IQ。這麽做可能性幾乎為0.
研究數據不支持您的結論。
根據 Richard Lynn 的測試結果：
男：IQ 平均值 = 101.461
女：IQ 平均值 = 99.681
兩者 IQ 平均值區別非常小，但不能說完全相同。
【但男性群體的標準差大一些，比較發散，結果是男性的鍾形曲線比較扁，兩頭多一些。也就是說，與女性相比，男性特別聰明的和特別笨的都多一些。】
研究數據支持您的結論。
男：IQ 標準差 = 15.253（鍾形曲線比較扁，兩頭多一些）
女：IQ 標準差 = 14.085（鍾形曲線比較高而窄，兩頭少一些）
（我的上個留言沒寫清楚，請刪掉。謝謝。）
不要猜測我懂不懂什麽！有意義嗎？
我什麽也不掩蓋。這是技術貼，談數學能力。
你我不在一個頻道上。你何不自己去寫、去論證。
請注意你說話的方式。這是我的博客，不是你的園地，也不是公共園地。
我感覺，先生其實在技術上不了解IQ測驗，也不了解一般能力與特殊能力的區別。
但有打破“政治正確”的拳拳之心。。。我理解。。。
整體評價用統計學。
另外需要說明一點，即數學能力與智商是很不一樣，研究表明兩者最多隻有中等相關。我認識一個“神童”，智商很高，但他在競賽數學上的表現不突出。
IQ可以反映一般性的的思維能力和語言能力，與數學能力不是一回事。後者是很難定義的。
2019年1月14日
因多次發表種族決定智商的言論，曾獲諾貝爾獎的美國科學家詹姆斯·沃森（James Watson）被剝奪多項榮譽稱號。這位DNA研究的先驅者在電視節目中提到一種觀點：即基因會導致智商測試中黑人和白人的差異。
冷泉港實驗室（Cold Spring Harbor Laboratory）表示，這位90歲科學家的言論“毫無根據而且魯莽”。
沃森博士2007年提出過類似主張，但隨後道歉。
他於1962年與莫裏斯·威爾金斯和弗朗西斯·克裏克共同獲得諾貝爾獎。1953年他們發現了DNA的雙螺旋結構。2014年，沃森博士賣掉金牌，稱他發表種族言論後被科學界排斥。
此前他曾發生車禍，目前正在一家養老院康複。據說他目前對周圍環境的認知“非常小”。
DNA影響智商？
2007年，這位曾在劍橋大學卡文迪許實驗室（University of Cambridge's Cavendish Laboratory）工作過的科學家告訴《泰晤士報》，他“對非洲的前景一直很悲觀”，因為“我們所有的社會政策都是基於他們和我們一樣聰明的事實，但所有的測試結果都表明這不是真的”。
雖然他希望人人平等，但他補充道：“那些不得不與黑人雇員打交道的人發現這不是真的”。
發表這些言論後，沃森被解除實驗室負責人等所有行政職務。在書麵道歉後，他得以保留榮譽頭銜。
但冷泉港實驗室表示，他現在不再擁有這些頭銜。因為他在本月初美國公共廣播公司PBS播出的紀錄片《美國大師：解讀沃森》中表達了同樣的觀點。
該實驗室在一份聲明中說： “沃森博士的言論應該被譴責，根本沒有科學依據。”實驗室表示，沃森的道歉不再得到認可。
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黑白顛倒的時代！
這個人用的是什麽智商測驗？
因為標準差大，所以高智商組男性多（同時男性智障的也多），沒有IQ平均高5分這回事。但言語智商和操作智商的分項上有性別差異。
黑人作為整體，其智商低於白人和黃種人。這也不是什麽秘密。
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白人比黑人的智商高。。。男性的智商比女性平均要高出五分。這一差異在高智商群體中尤其明顯：130分以上的男性人數比女性高出三倍；145分以上高達5.5倍。
不是事實。標準化智力測驗（如韋氏測驗）在validattion時，其norm分別按年齡，但並不分開性別。
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"男性和女性的智商是分開測試的，各取平均值作為100分。"
德國之聲中文網2005年8月30日2005年8月30日
英國科學家在對10萬人進行測試後得出的結論大有挑撥離間的味道：男人的平均智商要比女人高。
https://p.dw.com/p/76zy
在同行們的眼裏，退休的心理學教授林恩（Richard Lynn）無疑是在玩火自焚。最近他的研究結果在英國學術界引起了軒然大波：14歲以上的男性比同年齡段的女性更聰明。
這一結論是在對10萬進行了思維能力測試之後得出的，並發表於最新一期的“英國心理學期刊”。本文的合作者厄爾文（Paul Irwing）是曼徹斯特大學的講師，他表示對這一結果感到非常遺憾：“就他個人來說，他當然願意看到另外的結果。但是科學真理往往事與願違。”
在此之前，林恩教授已經進行了一係列相關的科學研究，並得出了以下結論：白人比黑人的智商高；罪犯隱瞞犯罪事實是由基因決定的。人們不禁懷疑，這位科學家的煽動性難道也流淌在他的血管裏？
至今為止，各種研究男女大腦及其運作方式的心理學研究在得出結果時，都遵循小心謹慎的原則。男性和女性的智商是分開測試的，各取平均值作為100分。在測試不同國家人的智商時也采取相同的評分方法。這樣就避免了通過相互比較而作出帶有歧視性的評價。
林恩和厄爾文的研究忽略了性別差異，得出的結論是，男性的智商比女性平均要高出五分。這一差異在高智商群體中尤其明顯：130分以上的男性人數比女性高出三倍；145分以上高達5.5倍。在這一群體中包括諾貝爾自然科學獎的得主，象棋大師，數學天才等。事實也的確如此，在這些領域的佼佼者中，男女比例如此懸殊，很難把這種現象簡單歸因於環境的影響。
除了智商比較外，林恩和厄爾文還進行了更深入的比較研究：在智商相同的情況下，女性的工作能力更有效，更細致，而且更能適應長時間的工作。考慮到知識技能在不同職業，不同年齡階段的意義不同，在調查了各行業，各工齡的人後，他們發現智商數為125分的男女比例大致相同，
男性大腦的體積較大，而女性大腦網絡連接更密集，這一點已經得到科學證實。大腦兩個半球分別控製感性和理性思維，兩個半球之間的聯係更緊密、更頻繁，未必是一種優勢。女性在同時處理“理智與情感”交錯的問題時，表現得更好，她們承受壓力的能力也更強。然而在，處理複雜的數學難題時，她們往往受到直覺的影響。這道理就和電腦超負荷運行時，需要關閉一些軟件來提高速度一樣，這時候也需要切斷大腦兩個半球之間的聯係，以便使注意力高度集中。
男女在不同領域有不同天賦：在代數和幾何學上，女性很少有出類拔萃者，在空間概念上也略遜一籌。老生常談的“女人停不好車”，雖然被政治家視作社會歧視，但是卻得到了科學上的證實。通常行為學上的解釋是，男孩子在野外偵察等遊戲中得到了鍛煉，是由於環境因素導致了這一差別。這種說法現在看來並沒有觸及根本性的問題。另一方麵，女性更善於傾聽，她們從孩童時期起就顯示出較高的語言天賦和理解力。
這不是事實。男女的智商平均值是相同的，都是100，但男性群體的標準差大一些，比較發散，結果是男性的鍾形曲線比較扁，兩頭多一些。也就是說，與女性相比，男性特別聰明的和特別笨的都多一些。
JustWorld2024-06-30 18:22:37
...男性智商比女性高大約5%。
FYI, MIT 的學生中女生占 45%。
謝謝您的長留言。這個問題的確複雜。社會與家庭的是一個人成長的環境，其影響無法排除。
0.3個標準差的差異，在兩性學習機會基本均等的情況下，是不大能夠完全歸因於其他環境因素的。
日，韓、新加坡、香港、上海gap較小，不管是什麽什麽原因，麵對的還是中低難度。這表明，在一般難度下，女孩可以跟男孩學得一樣好。
然而，同樣是這幾個國家，每年層層選拔，最後參加IMO的，男生還是絕大多數，這說明somehow，在高難度數學競賽中，男性有優勢。
xy對xx染色體，是男女先天的基因不同，隨之而來的表現型的差異，我本人傾向於首先從生物角度去理解。比如在任何文化背景下，男性的暴力犯罪都是同文化環境下女性的數倍。我們恐怕無法用“教育不夠”和“對生命的熱愛不足”來解釋其根本原因，雖然這些都可能是影響它的因素。
男性大腦比女性大約10%。
男性智商比女性高大約5%。
另外，看北大清華錄取男女比列。2021年，男女比例約2:1。
如果能數值化相貌，不管是男女，統計相貌對數學或別的學科的影響，可能可以消除一些社會和家庭的影響。當然，相貌歧視也是一種社會和家庭的影響。