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【金碧輝煌的聖殿（4. Never say never）】

(2023-11-30 19:18:05) 下一個

金碧輝煌的聖殿（4. Never say never）

在歐氏幾何這兩千多年的發展史上，共圓（cocircular）問題一直是一個十分有趣的話題，這方麵的大量的定理和命題被發現，極大地豐富了人們對圖形的認知。稍有幾何知識的人都知道，三點如果不在一條直線上，則總是共圓的。四點若要共圓則需要一些條件，比如四點構成的四邊形的對角的角度之和為180度，這是四點共圓的充分必要條件。

若是更多的點共圓，有時情況就比較“邪乎”了。例如非常有趣且著名的“九點圓定理”（nine-point circle theorem）是法國數學家Olry Terquem 在幾代人結果的基礎上，於200年前最終揭示的。九點圓定理的表述也非常簡潔：“任意三角形三高線的垂足、各邊中點、各頂點與垂心連線的中點，這九個點共圓。”（The midpoint of each side of the triangle, the foot of each altitude and the midpoint of the line segment from each vertex to the orthocenter all lie on the same circle. ）

很神奇是不是？其實遠遠不止於此。比如，這個“九點圓”的半徑是同一個三角形外接圓半徑的一半；這個圓分別與同一個三角形的三個旁切圓外切。而且，這個圓的圓心一定在歐拉線上。上一篇我們提到了歐拉線。現在有人誤以為歐拉也發現了九點圓。其實不是的，他生前沒有看出來。

對中國的幾何愛好者來說，名氣最大的不是上麵那個九點圓，而是1838年由法國數學家Auguste Miquel 發現並證明的的“五點共圓定理”（Miquel's Pentagram Theorem ）。結合下圖，這個定理的表述也非常簡明：任意一個五角星形（不要求正五角星），分別對其五個三角形做外接圓，則外側的五個交點共圓。(There are five triangles externally to the pentagon. Construct the five circumcircles. Each pair of adjacent circles intersect at a vertex of the pentagon and a second point. The five second points are concyclic.)

這個定理之所以今年在中國大陸有名，是因為一年前去世的前國家主席江澤民。他是工科出身，也是一位數學愛好者。據他說，求證“五點共圓定理”是他當年考大學的一道題。（水平了得！）於是他多次拿出來考人。他接見中國IMO隊時提到這道題，還打電話到中科院院士張景中家裏討論這道題，弄得老張一腦門子汗。最有名的一次是2000年12月20日，江主席在澳門出席澳門特別行政區成立一周年慶祝活動，並參觀濠江中學。他即興給同學們出了這道題，並親自到黑板上畫圖。濠江中學師生很少做這麽難的題，聖誕都沒過踏實，全校攻關，終於在12月28號得證，算過了一個踏實的新年。其實早在此前5年，在哈佛大學數學係教授、菲爾茲獎獲得者丘成桐訪問中國時，江主席就從兜裏麵摸出這道題讓他證明。老邱一看就暈菜了，心想您這是讓將軍挖戰壕啊。他回到賓館閉門苦思，終於能在第二天離京前能夠給中辦一條信息：請轉告江主席，他出的題我證出來了，Oh yeah！！！

這些事情，有時都造成了國際影響了。比如濠江中學出題這事兒，韓國媒體就報道了：您瞧人家中國主席多睿智、多有學問。再看看俺們青瓦台的那幾塊料，除了玩政治還會啥？…… 去年江主席去世的時候，很多人，包括我本都反省，當年我們笑話他愛賣弄，抨擊他獨裁，有點不公平啊。他肚子裏有貨，有資格賣弄嘛。而他當政那時候畢竟給我們一點抨擊、說怪話空間啊…… 不怕不識貨，就怕貨比貨！

扯遠了。我們回來聊幾何。我們前兩次說的Morley’s trisector theorem 和 John’s theorem 分別是在19和20世紀才被發現的。雖然歐氏幾何就像一座特殊的金礦，總能有耀眼的金塊被發現，但到了21世紀，在歐氏幾何被人類學習、研究了2400年後，人們還能發現簡單的幾何規律嗎？

You bet it！

時間到了2000年。在荷蘭的南部海濱有個叫Zeeland的小地方，一位年輕的高中數學老師叫Floor van Lamoen。本來中學老師照本宣科就行了，但這位van Lamoen先生是個數學迷，愛琢磨事兒，他時常在歐氏幾何和初等數論方麵有些小進展、小發表（不是大數學家那種）。我們都知道任何三角形頂角與對邊的中點連成中線，三條中線交於重心G，把三角形分成麵積相等的6塊。他對6個小三角形分別做外接圓，驚奇地發現6個圓的圓心似乎是共圓的。他將三角形的形狀作了多種變換，從圖形上看，這個規律幾乎肯定是存在的。

然而在試圖證明時，van Lamoen卻被卡住了，努力好幾個月居然未能攻克。這個六點共圓問題的確是不太好證的。相比較而言，前麵那個“九點圓定理”倒是比較好證。

於是van Lamoen考慮再三，決定把它作為一個open problem征答。他將問題登在了American Mathematical Monthly 2000年11月號的Problems欄目中。在閱讀這個問題的人中間，有一個人叫 Kin-Yin Li，中文名叫李健賢。他當時是香港科技大學的年輕數學教授，幾年前剛剛從加州伯克利拿了數學博士學位，回港加盟香港科技大學數學係。這位李博士是個解難題的人。而且 此前幾年，IMO有一年在香港舉行。借著這個東風，包括李健賢在內的一些促進香港競賽數學的人士創辦了一個競賽數學的News Letter，叫Mathematical Excalibur。當時李健賢是它的編輯和重要撰稿人，後來他成了香港競賽數學的教父級人物。

李健賢馬上就看到了van Lamoen的問題。這個問題難不住他，他很快得到證明。的確，證明不是很簡單，他用了幾乎一頁紙的篇幅。他的證明登在了2001年春天的一期Mathematical Excalibur上，正式成為了定理。現在這個圓依然叫“Van Lamoen Circle”，李博士並沒有表麵上的名分，他也不需要。有趣的是（見下圖），他在解這道題之前，先提到了江澤民主席在澳門濠江中學出的那道題。該題與van Lamoen問題的提出時間相近，李博士也注意到了，於是先評論一下。