【金碧輝煌的聖殿 （2. Morley’s trisector theorem）】

金碧輝煌的聖殿 （2. Morley’s trisector theorem）

在我家的牆上，掛有兩類圖畫，第一類是我拍攝的自然、風景照片，第二類並非什麽李杜詩詞之類，而是幾幅相當優美（我以為）的幾何圖案。這幾個幾何定理不僅優美，而且是最近一百年左右“新近”被發現和證明的。比如下麵鏡框中的圖案叫“Morley’s trisector theorem”，它被無數人忽視了2000多年，直到1899年才被數學家Frank Morley 揭示。我們後麵細談。

自從《幾何原本》問世以來，古希臘數學家的聰明才智展現在世人的麵前。隨後，世界各民族、各文化的數學家又不斷給這座大廈添磚加瓦。可以說，現在，歐式幾何已經非常全麵、完備了。一些困擾人們千年的難解問題也得到了明確的答案。我們可以用“尺規作圖”作為例子來說明一下：

尺規作圖（Compass-and-straightedge construction或 ruler-and-compass construction）是起源於古希臘、與歐式幾何密切相關的作圖法。該法使用圓規（無角度，但可無限寬）和直尺（無刻度，但可無限長），且隻準許使用有限次，來解決幾何作圖問題。千百年來，人們使用尺規作圖的原則，實現了各種簡單或複雜的操作，比如下圖中A、B、C分別是用尺規做線段的垂直平分線，角的平分線和正六邊形，這些都非常簡單。而圖D是用尺規做正17邊形，極其複雜，多達51步。但這個難得不可想象的做圖，被德國著名數學家高斯在他大學二年級的時候攻克了。

然而，有些看似簡單的問題，人們無論怎樣努力，也無法用尺規作圖來解決。比如用尺規作圖法做正七邊形，以及著名的尺規作圖的“古希臘三大難題”——

** 化圓為方問題: 求一個正方形的邊長，使其麵積與一已知圓的相等；

** 三等分角問題: 求一角，使其角度是一已知角度的三分之一;

** 倍立方問題: 求一立方體的棱長，使其體積是一已知立方體的二倍。

這些問題，無論人們怎樣努力，總是無法解決，又無法在歐氏幾何的範圍內證偽。兩千多年過後，數學的其他分支發展到了新的高度。於是，數學家們便使用新的數學公具，證明了正七邊形和“古希臘三大難題”，用尺規作圖是不可能解決的。就好比說飛機無論飛得多快，也不可能飛到月球上去。上述這些工作，在十九世紀上半葉，也就是距今200年左右，就已經完成了。

那麽，是不是可以說，從那以後，初等幾何之中能夠發現的規律，早已被發現和解決了呢？如果把歐氏幾何比作一座金礦，經過2400年的開采，一般人似乎以為，金子早已經被開采完了。可是，歐氏幾何的實際情況卻不是這樣的。即便是在100年前，獨具慧眼的人還是能拾到金塊，甚至是閃亮的“大金塊”。Morley’s trisector theorem正是這樣一個發現。

這個定理的表述極其簡單（重要的話說三遍：複雜了就不美了）：對任意一個三角形，作內角三等分線，靠近公共邊三等分線的三個交點，總是連成一個等邊三角形。這個簡單而優美的規律被人們忽視了2000多年，直到1899年被英裔美國數學家Frank Morley (1860 - 1937) 發現並證明。下麵的鏈接顯示其動態過程，頗有意思 ——

https://www.youtube.com/watch?v=rLuVuxrOxa8

Morley’s trisector theorem盡管非常明晰，證明起來卻不是特別容易。最簡單的方法是運用三角函數。當然也有基於歐氏幾何的方法和純代數的方法，這些網上都可以找到，難度在IMO試題之下。

Frank Morley的生平也是頗有意思的。他原是英國人，家裏是開瓷器店的。他本人1884年劍橋大學畢業。三年以後他來到美國，先在賓州的Haverford College任教，幾年裏成果頗豐，包括發現這個非常優美的平麵幾何定理。他後來成了約翰霍普金斯大學數學係的主任，並在1919-1920年任美國數學學會的主席。在一生中，有多達50個PhD畢業於他門下。他1937年逝世後，美國數學學會這樣評價他對美國數學的貢獻 –

"...one of the more striking figures of the relatively small group of men who initiated that development which, within his own lifetime, brought Mathematics in America from a minor position to its present place in the sun."

Frank Morley還是一位很優秀的棋手。他曾贏過英國著名棋手Henry Bird，現在棋譜還保留著。他甚至有一次把國際象棋世界冠軍、德國人Emanuel Lasker都贏了。後者也是一位數學家。我猜想兩人是隨便玩玩，不是正是比賽。

Frank Morley的太太是小提琴音樂家。他們育有3個兒子，個個在其行當中都很優秀。長子Christopher是一位小說家和詩人，著作頗豐；次子Felix是華盛頓郵報的編輯、撰稿人，曾獲普利策獎；三子Frank Jr. 獲得牛津大學數學博士學位，後與父親合作撰寫數學專著。他同時也是一位作家和出版商。

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