春後雨前的博客
蘭若生春夏，芊蔚何青青。秋漁蔭密樹，夜博然明燈。
算子代數是泛函分析中一個重要的研究領域，近幾十年以來蓬勃發展，在表示論、微分幾何、非交換幾何、紐結理論、量子統計力學、量子信息和量子場論中獲得廣泛應用。算子代數是拓撲向量空間上連續線性算子的代數，特指由可分Hilbert空間上有界線性算子組成的自伴代數，其乘法由算子的複合運算給出。由於空間是無窮維的，因此要求算子代數在一定的拓撲下封閉。通常研究的算子代數包括一致閉的C*-代數和弱閉的馮·諾伊曼代數（或抽象的W*-代數），馮·諾伊曼代數是一類特殊的C*-代數。在現代算子代數理論中，許多概念和理論均起源於馮·諾伊曼（John von Neumann，1903–1957）極具前瞻性的思想和工作。
約翰·馮·諾伊曼原名諾依曼·亞諾什·拉約什（Neumann János Lajos），是出生於匈牙利的猶太裔美籍數學家。馮·諾伊曼是理論計算機科學與博弈論的奠基者，在集合論、泛函分析、遍曆理論、算子代數、幾何學、拓撲學和數值分析等眾多數學領域以及計算機科學、量子力學和經濟學中均作出了基礎性貢獻。他將量子力學最重要的基礎嚴格公理化，被譽為“在純數學和應用數學方麵同樣遊刃有餘的偉大數學家的最後代表”。馮·諾依曼一生中發表了大約150篇論文，本文無法涵蓋他的所有成就，僅簡單介紹其生平，特別是關於算子理論和算子代數的工作及其現代發展。馮·諾依曼有一句名言： “如果人們不相信數學的簡單，隻因他們沒有意識到人生的複雜。”
從布達佩斯到普林斯頓
1903 年 12 月 28 日，馮·諾依曼出生於布達佩斯一個富裕、不守舊的上層猶太家庭。他是諾依曼·米克薩（Neumann Miksa）和坎恩·瑪吉特（Kann Margit）的三個孩子中最大的一個，今年12月28日是他誕生120周年紀念日。匈牙利語屬於烏拉爾語係芬蘭-烏戈爾語族，在匈牙利語中，姓在前名在後，馮·諾伊曼出生時的名字János Lajos對應於英語中的 John Louis。他的父親諾伊曼·米克薩是一名銀行家，擁有法學博士學位。1913 年諾依曼·米克薩被奧匈帝國皇帝弗朗茨·約瑟夫（Franz Joseph）授予世襲貴族頭銜，以表彰他對奧匈帝國的貢獻，這樣在奧地利和德國他的後代就可以 “馮·諾伊曼”（von Neumann）作為姓氏。
1873-1918年間，布達佩斯與維也納一起，是當時奧匈帝國的共同首都，馮·諾伊曼在這個城市出生長大。2022年十月，筆者前往布達佩斯，拜謁了馮·諾伊曼故居和他的大學母校。馮·諾伊曼出生時，他的家人住在佩斯猶太區的曆史街道——巴托裏街（Báthory utca）26號的一套公寓中，他在那裏一直住到18歲。這條街是以16世紀後期當選為波蘭國王和立陶宛大公的匈牙利貴族後裔伊斯特萬·巴托裏（István Báthory）的名字命名，馮·諾伊曼故居外牆掛有匈牙利數學會和美國數學會聯合建立的紀念牌匾。匈牙利數學會以該國19世紀著名數學家鮑耶·亞諾什（Bolyai János）冠名，他與俄羅斯數學家羅巴切夫斯基同為非歐幾何中雙曲幾何的創始人。
馮·諾伊曼是一個神童，自幼擁有超強的記憶力。他的家庭混合了猶太教和基督教的傳統，他少年時代在家中接受私人教師的教育。10歲時馮·諾伊曼進入布達佩斯著名的路德會法索裏福音中學讀書，數學老師為他開設了特殊課程。18歲起他先後進入柏林大學和蘇黎世聯邦理工學院學習化學工程，後來又注冊為布達佩斯大學數學研究生。在蘇黎世期間，馮·諾伊曼與數學教授赫爾曼·外爾和喬治·波利亞合作，將大部分業餘時間都花在數學問題上，在每個學期末前往布達佩斯參加數學課程考試。馮·諾伊曼於1925年獲得化學工程師文憑，1926年通過數學博士答辯。他的博士論文《一般集合論的公理化結構》是用匈牙利文撰寫，發表在德國著名的《數學雜誌》上。
博士畢業後，馮·諾伊曼獲得洛克菲勒獎學金，前往哥廷根大學，在希爾伯特指導下從事一年博士後研究。1927年，他獲得Habilitation“特許任教資格”，先後在柏林大學和漢堡大學擔任無薪講師。馮·諾伊曼以平均每月撰寫一篇論文的速度，涉足多個數學領域，他的很多原創思想都可在這一時期找到源頭。馮·諾伊曼的名聲很快在全世界數學界傳播開來，“大多數數學家證明他們能做到的，而馮·諾伊曼則證明他想要的”，這是那個時代數學家中流行的一句話。他於1930年應邀為普林斯頓大學客座教授，一年後轉為正式教授。1933年，不滿30歲的馮·諾伊曼與愛因斯坦等共六位科學家成為普林斯頓高等研究院最初的終身教授，同年希特勒在德國上台。
在普林斯頓任職期間，馮·諾伊曼繼續與歐洲學術界保持密切聯係。他每年都要回到歐洲度假，其間兩次訪問波蘭利沃夫學派，直到二戰爆發。1928 年，馮·諾伊曼發表了關於零和博弈極大極小定理的論文《客廳博弈論》。後來在維也納學派的研討會上，他首次給出了關於一般競爭均衡存在的純拓撲證明，他的有關多部門經濟擴張模型的論文發表在研討會的論文集上。1930年，馮·諾伊曼與瑪麗埃特·科維西（Mariette Koevesi）結婚，育有一女，1937年和平分手，馮·諾伊曼加入美國籍。第二年他迎娶了克拉拉·丹（Klara Dan），馮·諾伊曼為兩人的愛犬取了一個數學名字“逆元”（Inverse），第二次婚姻一直持續到他生命的盡頭。圖片1952年攝於普林斯頓，左二：馮·諾伊曼，左四：愛因斯坦，左五：摩根施特恩。
由於二戰期間國際形勢的變化，馮·諾伊曼將更多精力投入應用數學，把嚴格的數學理論用於流體動力學、彈道學、氣象學、博弈論和統計學等領域。他參與曼哈頓計劃，解決了涉及熱核反應和氫彈的核物理學中的關鍵步驟。在其1928 年的《客廳博弈論》及維也納研討會論文的基礎之上，馮·諾伊曼與經濟學家奧斯卡·摩根施特恩（Oskar Morgenstern）合作撰寫了博弈論的奠基之作《博弈論與經濟行為》。他還是數字計算機概念發展的關鍵人物，起草了計算機史上的裏程碑文獻 “101頁報告”，明確規定用二進製代替十進製，成為後來計算機開發的聖經。1957 年2 月 8 日，53 歲的馮·諾伊曼因癌症去世，這個世界失去了最原創、最敏銳、最智慧的大腦。
最高的那一塊石碑
馮·諾伊曼的博士母校布達佩斯大學是匈牙利最早的大學，成立於1635年，現名羅蘭大學（Eötvös Loránd University）。2003年馮·諾伊曼誕生百年之際，匈牙利信息和新聞傳播部、諾依曼·亞諾什計算機科學學會等機構聯合在羅蘭大學校園裏為他豎立了紀念碑。紀念碑由馮·諾伊曼的胸像及刻有圖案的高矮不一的四塊石碑組成，代表他一生中四個主要的研究領域。從左至右為博弈論、數學、量子力學、理論計算機科學，其中代表數學的石碑是最高的一塊，上方刻有希臘字母π。他在晚年提交給美國國家科學院的一份簡曆中，將量子力學、算子理論、遍曆定理列為自己一生中最重要的工作，而這幾個領域又是緊密相關的，馮·諾伊曼是極少數能夠在數學與物理、科學與人文這幾種不同文化之間自由切換的人。
馮·諾伊曼登場的時候，正是數學公理化運動方興未艾的曆史性年代，而第三次數學危機使得將數學建立在樸素集合論基礎上的努力遭遇挫折。馮·諾伊曼在19歲時就暗下決心，讓數學回歸穩固的邏輯基礎。他在包括博士論文在內的六篇關於集合論的論文中，區分了 “集”與 “類”的概念，從而避免了諸如“全體集合的集合”這樣的邏輯悖論。他提出了當時最簡潔優美的集合論公理化係統，證明了超限歸納定義的可能性。1931年，哥德爾在證明其劃時代的不完備性定理時用到馮·諾伊曼構建的公理係統。這一係統經完善和簡化後成為von Neumann-Bernays-Gödel（NBG）一階公理化集合理論，被認為是 Zermelo-Fraenkel （ZFC）選擇公理的擴展，
20世紀初，希爾伯特和艾哈德·施密特（Erhard Schmidt）在研究積分方程時觀察到，兩個平方可積函數乘積的積分與歐幾裏得空間的向量點積具有類似性質。這是最早的無限維Hilbert空間的例子，後來由馮·諾伊曼命名。由於量子力學需求的推動，馮·諾伊曼給出了抽象Hilbert空間的公理化定義，即具有共軛對稱性標量積的複向量空間，對應的範數是可分及完備的。他對於Hilbert空間算子的譜理論做了係統的奠基性工作，引入稠定閉算子的概念，給出無界自共軛算子、酉算子和正規算子的譜分解以及正算子的跡表示等結果。馮·諾伊曼的譜理論以及波蘭數學家巴拿赫的著作《線性算子理論》（1932），標誌著數學領域中一個新的分支——泛函分析的誕生。
在完成了集合論的公理化之後，憑借透過問題表麵將複雜性分解為最基本形式的非凡能力，馮·諾伊曼開始進行量子力學的公理化。他將量子係統的狀態表示為複Hilbert空間中的向量，位置、動量、能量等可觀測量表示為作用於與量子係統相關的Hilbert空間上的線性算子。量子力學因此被轉化為Hilbert空間及其線性算子的數學問題，例如，不確定性原理轉化為一對共軛算子的非交換性。這一抽象理論為之前海森堡等人的 “矩陣力學”及薛定諤的 “波動力學”提供了自然、嚴格和統一的框架，即現在所說的Dirac-von Neumann公理。馮·諾伊曼於1932年出版的《量子力學的數學基礎》是第一本以數學上合理的方式闡述量子力學的著作，他以Hilbert空間上C*-代數的形式，給出了量子力學的數學表達式。
遍曆理論是關於確定性動力係統統計性質的數學分支，馮·諾伊曼應用Hilbert空間的自共軛算子理論，提出並證明了遍曆理論的第一個重要定理——平均遍曆定理。即對於平方可積函數，時間平均的極限在平均收斂意義下存在，這一定理標誌著對遍曆理論係統研究的開始。他還與伯納德·庫普曼（Bernard Koopman）合作證明了關於連續譜的混合定理：遍曆變換的幾何性質與酉算子的譜性質等價。馮·諾伊曼在測度論、拓撲群理論、連續幾何等不同數學領域也做出了重要工作，他將經典統計力學中吉布斯熵的概念推廣為馮·諾伊曼熵，奠定了量子信息論發展的基石。馮·諾伊曼還開創了量子邏輯的研究領域，他曾設想將量子邏輯作為形式邏輯和概率論的合成。（未完待續）
相關鏈接：智者的共鳴——波蘭數學大師斯坦因豪斯與巴拿赫（下）
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