春後雨前的博客
蘭若生春夏，芊蔚何青青。秋漁蔭密樹，夜博然明燈。
建於1950-1980年代的斯德哥爾摩地鐵線路全長108公裏，被稱為世界上最長的藝術長廊，由150位藝術家打造而成。很多地鐵站都與地麵景物呼應，設計了不同的藝術主題。其中的KTH皇家理工學院站於1973年9月30日落成剪彩，由瑞典著名設計師和藝術家Lennart Mörk主持設計。地鐵站以"元素與自然法則"為主題，是一個數學物理發展曆史的迷你博物館。鐵軌上奔馳而過的列車，好似帶領人們從古希臘的柏拉圖到近代的愛因斯坦，進行一場穿越2000多年物理時空的旅行，藝術家們真是煞費苦心。這個地鐵站與鄰近的Stadion斯德哥爾摩體育場站分享了1973年瑞典建築協會的Salin年度大獎，該獎由瑞典建築師Kasper Salin捐贈，從1962年起頒發，1973年是迄今唯一的一次獎勵地鐵站台設計。
古希臘人最先把對宇宙的認識與宗教觀念分割開來，並力圖建立一個統一的宇宙模型去解釋天體的複雜運動，"希臘三賢"之一柏拉圖 (Plato，前429-前347年，題圖一) 的正多麵體宇宙結構模型就是其中的一種。正多麵體是由正多邊形構成、各頂角相等、各梭邊相等的凸多麵體，具有高度對稱性和秩序感。其別稱"柏拉圖立體"因柏拉圖及其追隨者的研究而得名，柏拉圖在晚期著作《蒂邁歐篇》中描寫了通過這些正多麵體的幾何和諧組成的宇宙圖景。他將公元前七世紀愛奧尼亞學派的原子論與公元前六世紀畢達哥拉斯學派"萬物皆數"的數學自然觀相結合，將四個正多麵體對應於古典四元素：正四麵體代表穿透力最強的火元素、正六麵體代表最穩固的土元素、正八麵體代表順滑的氣元素、正二十麵體代表柔和的水元素，並將不同的物理屬性賦予這些正多麵體，以此解說火土氣水諸元素乃至世間萬物的生成與變化。
柏拉圖在《蒂邁歐篇》中還提到神秘的第五個正立方體，作為他心目中的宇宙模型。柏拉圖寫道："對於剩下的第五種複合圖形，上帝用它來代表全部，並給它繡上精美的圖案"。 後來他的學生亞裏士多德添加了神性元素"以太" (aether)，這一概念在之後2000多年的物理觀念演化過程中起到了至關重要的作用。正多麵體的作法收錄在公元前300年左右歐幾裏得撰寫的《幾何原本》第13卷中，他在書中證明了一共隻有五個正多麵體，即正四麵體、正六麵體、正八麵體、正十二麵體和正二十麵體。雖然柏拉圖和亞裏士多德都沒有明確提到正十二麵體，但後人很自然地將其與宇宙模型和以太聯係到一起。正十二麵體的每個麵均為正五邊形，處處都有黃金分割率的影子。KTH地鐵站台中心懸掛一個正十二麵體，站台四角則是另外四個正多麵體。
在走過中世紀的千年黑暗之後，14-17世紀在歐洲發生了一場偉大的思想文化運動，即文藝複興。科學與藝術融合在一起，形成了人文主義的世界觀和思想體係，其完美代表是文藝複興三傑之一、意大利百科全書式的人物列奧納多·達·芬奇 (Leonardo da Vinci，1452-1519；題圖二，自畫像)。達·芬奇最令人矚目的是在繪畫上的成就，以《蒙娜麗莎》和《最後的晚餐》聞名於世，同時他在機械、軍事、建築、數學、物理、醫學等諸多領域都取得了創造性成果。在其私人筆記和手繪稿中，達·芬奇提出了光的折射概念及重力學原理，預見了後來哥白尼創立的日心說，還從水流入碗研究渦旋的形成。達·芬奇寫道：太陽造成元素的運動、產生宇宙的熱，太陽的隱沒造成黑暗和寒冷；月亮受到太陽照亮，本身不發光，我們看到的隻是月亮對著我們的被太陽照亮的一麵；地球很像月亮，是一顆星。
達·芬奇十分癡迷於飛行現象，深信人類能夠模仿鳥類在天空翱翔。他對鳥類飛行進行了詳細研究，係統探索人類飛行的可能性，還設計了一些飛行器， 地鐵站台上懸掛和繪製了巨大的鳥類翅膀模型以及他的設計草圖。達·芬奇闡明空氣動力學知識可以通過水動力學研究間接獲得，比其他人探索類似問題領先幾百年。他在手稿本中這樣寫道："物體對空氣的阻力與空氣對物體的阻力一樣大。你會看到一隻巨鷹的翅膀置身於最高和最稀有的氣體中，非常接近元素之火。你會看到空氣在海麵上移動，充滿了風帆並推動著沉重的船。根據這些例子及有說服力的理由，如果一個人有足夠大的機翼並學會克服空氣阻力，他就可以征服阻力並升起。"
文藝複興見證了"日心說"從開創走向興盛的過程，波蘭數學家和天文學家尼古拉·哥白尼 (Nicolaus Copernicus，1473-1543，題圖三) 深受古希臘先哲的影響，相信宇宙結構取決於單純和諧的數學關係。他去世前在著作《天體運行論》中指出地球是和五大行星一樣圍繞太陽這個不變的中心作勻速圓周運動的普通行星，其自身又繞地軸自轉。日心說引起了人類宇宙觀的重大變革，將自然科學從神學中解放出來，標誌著第一次科學革命的開始。德國天文學家約翰內斯·開普勒 (Johannes Kepler，1571-1630，題圖四) 是哥白尼學說的忠實信徒，在柏拉圖宇宙模型啟發下，他在1596年的著作《宇宙的奧秘》中，從最簡單的正六麵體開始，按照正四麵體、正十二麵體、正二十麵體、正八麵體的從內向外的順序，利用每個正多麵體的外接和內切球麵，依次定義了土星、木星、火星、地球、金星的軌道球麵。
在1609年的著作《新天文學》及1618年出版的《世界的和諧》中，開普勒整理分析了丹麥天文學家第穀長達20年的天文觀測數據，發現了與哥白尼體係的偏差，從而提出了 "開普勒三定律"，即行星沿著以太陽為一個焦點的橢圓軌道運動，行星與太陽的連線在相同的時間內掃過同樣的麵積，行星公轉周期的平方與其軌道半長軸的三次方成正比。1632年，意大利物理學家、數學家、天文學家及哲學家伽利略·伽利萊的《關於托勒密和哥白尼兩大世界體係的對話》一書問世，被認為是這次科學革命的轉折點，由希臘與羅馬時代舊有科學知識的複興轉為現代科學的興起。上圖是站台西端的日心說模型，銘牌上是哥白尼在《天體運行論》中的七條假說及開普勒的行星運動三定律，右下圖是開普勒的行星運動模型。
站台主體建築的背景是近代第一個物理天文學體係，即17世紀法國哲學家、數學家和物理學家勒內·笛卡爾 (René Descartes，1596-1650；題圖五，弗蘭斯·哈爾斯作) 的渦旋宇宙論模型。笛卡爾是二元論唯心主義與歐陸理性主義的代表、西方現代哲學的奠基人，他認為人類應該可以使用理性的數學方法來進行哲學思考，其名言是："我思，故我在"。笛卡爾曾將人類的全部知識比作一棵大樹，樹根是形而上學、樹幹是物理學、樹枝是其他科學，他的主要哲學著作包括《方法論》、《幾何學》、《形而上學的沉思》 和《哲學原理》等。笛卡爾對數學最重要的貢獻是成功地將代數與幾何學整合，創立了以自己名字命名的平麵直角坐標係，因而被認為是解析幾何之父，為牛頓和萊布尼茲在微積分學的工作提供了堅實的基礎。
笛卡爾根據亞裏士多德的以太學說，在《哲學原理》中提出了渦旋宇宙論，最早賦予以太一種力學性質。他認為宇宙是均質無中心無邊界的，所有物體都由同等的微粒構成，原初物質在混沌狀態下由勻速直線運動過渡為渦旋運動，在這種旋風式的運動中分化結合而生產萬事萬物，笛卡爾把行星的圓周運動、重物的下落都歸之於旋渦吸引的結果。站台的一個銘牌上借用了英國大文豪威廉·莎士比亞在1602年創作的悲喜劇《特洛勒斯與克瑞西達》中的一段台詞，用來形容笛卡爾的渦旋理論，其大意是：當行星開始在船隊周圍徘徊時，看看會發生什麽吧！瘟疫爆發，颶風咆哮，一切統統粉粹，海水將地球一口吞噬。左上圖是1973年Salin年度大獎的標牌，右上圖和下圖是渦旋宇宙論模型。
笛卡爾與斯德哥爾摩有著不解之緣，1649年秋天他接受瑞典克裏斯蒂娜女王之邀，前來擔任女王的私人教師。克裏斯蒂娜 (Kristina Alexandra，1626-1689) 是1632-1654年間的瑞典女王，她的曾祖父Gustav Vasa是16世紀瑞典王國瓦薩王朝的開國君主，並確立基督教新教路德宗為國教；她的父親Gustav II Adolf是瑞典史上唯一被國會尊為"大帝"的君主，於歐洲三十年戰爭的呂岑會戰中陣亡。克裏斯蒂娜女王被認為是17世紀最博學多聞的女性，有 "北方智慧女神"之譽。她對宗教、哲學、數學與煉金術均十分感興趣，吸引了許多想使斯德哥爾摩成為"北方雅典"的科學家，其中包括笛卡爾。克裏斯蒂娜年輕時秘密改信羅馬天主教，是反對宗教改革的重要人物，她於1654年6月5日退位，後來正式皈依天主教並移居羅馬。
多年來坊間盛傳笛卡爾與女王之間的一段"浪漫"故事，並稱笛大叔在給女王的一封"情書"中，寫下了表示心形曲線的極坐標方程式 r=a(1-sinθ)。其實這是和"諾貝爾緋聞情敵"一樣的大烏龍，女王對異性並不感興趣，她在自傳中寫道自己"對婚姻感到無比厭惡"。更重要的是，雖然笛卡爾創立了直角坐標係，但瑞士數學家雅各布·貝努利於1691年發表了一篇基本上是關於極坐標的文章，因此通常被認為是極坐標係的發現者。史上最先使用極坐標來確定平麵上點的位置的是牛頓，而三角函數的符號則是1707年出生的瑞士數學家歐拉引入的。圖為法國畫家杜梅尼爾於1710年創作的《笛卡爾與瑞典克裏斯蒂娜女王對話》(網絡圖片) ，現藏巴黎凡爾賽宮。這是畫家為凡爾賽宮竣工創作的致賀油畫，堪稱世間最"凡爾賽"的一張畫。畫麵以王宮客廳為背景，右下方站立的笛卡爾手指桌麵，為坐在桌旁的女王講解直角坐標係，廷臣們或站或坐，悉心聆聽。
笛卡爾在斯德哥爾摩這片"熊、冰雪與岩石的土地"上住了不久，即於1650年2月去世，終年不滿54歲。關於他的死因至今撲朔迷離，比較公認的說法是他不適應北歐的寒冷氣候和女王的作息時間，因此得了肺炎。笛卡爾的宗教信仰在學術界一直存在爭議，他聲稱自己是虔誠的羅馬天主教徒，"沉思"的目的是為了維護基督教信仰，他一直試圖在宗教與科學、理性和信仰的問題上尋找一種妥協方法。但是在那個時代，他被指控為宣揚秘密的自然神論和無神論信仰。笛卡爾是與女王保持聯係的唯一的天主教徒，因此另一種說法是，一位瑞典當地的天主教神父生怕他的激進宗教觀點對女王產生影響，所以將其毒死。理論上三維空間中的任意一點都可作為直角坐標係的原點，而笛卡爾生命的終點卻是固定的，即左圖中位於斯德哥爾摩老城的這座房子。
作為一名逝於新教國家的天主教徒，笛卡爾被臨時安葬在一個主要用於埋葬受洗前夭折的嬰兒墓地裏，17年後他的遺體移葬巴黎。100多年之後，在笛卡爾最初的埋骨之地上建起了以時任瑞典國王Adolf Fredrik命名的教堂，教堂內懸掛著1770年當時的瑞典王太子、後來的國王Gustav III設立、雕塑家Johan Tobias Sergel創作的笛卡爾紀念碑，其下方雕塑是一位有翅膀的天才，左手持火炬，右手揭開地球上的覆蓋物，表示從謊言中解放出來的真理 (右圖)。故事到這裏還沒有結束，1667年笛卡爾的遺體運回巴黎時，由於靈柩狹小，因此將頭骨留了下來並不知所終。直到19世紀初，瑞典著名化學家Jöns Jacob Berzelius在斯德哥爾摩的一家拍賣行將笛卡爾的頭骨購回，現存巴黎夏樂宮人類學博物館。
南站台頂部懸掛著一個巨大的蘋果 (左圖)，源自牛頓被自家莊園的蘋果激發靈感，從而發現重力學說的故事。無論其真實性如何，英國物理學家、數學家、天文學家和自然哲學家艾薩克·牛頓 (Isaac Newton，1643-1727；題圖六，戈弗雷·內勒作) 在他最重要的著作《自然哲學之數學原理》 (簡稱《原理》) 中闡述並證明了三大運動定律及萬有引力定律，展示了地麵物體與天體運動都遵循的相同自然規律，消除了世間對"日心說"的最後一絲疑慮，點燃了人類認識宇宙科學的曙光。18世紀英國的偉大詩人亞曆山大·蒲柏為牛頓撰寫了墓誌銘： "Nature and Nature's law lay hid in night; God said, 'Let Newton be', and all was light"。北京大學朱照宣先生在《牛頓原理三百年祭》一文中將這段話譯為："道法自然，久藏玄冥；天生牛頓，萬物生明。"
在近代科學誕生的過程中，笛卡爾和牛頓各自發展出了不同的宇宙圖景，笛卡爾的渦旋宇宙理論是牛頓力學體係形成之前歐洲天文學的重要思想成果。牛頓在《原理》中證明了在均勻介質的渦旋中，物體的運動不可能遵守開普勒三定律，進而得出結論：行星不是由物質渦旋帶動的。直到18世紀中葉，牛頓體係才在這場論戰中獲得完全優勢，以至於今日已經很少有人知曉笛卡爾的渦旋宇宙理論了。右圖是Uppsala大學Carolina Rediviva圖書館的鎮館之寶——1687年拉丁文首版《原理》，該書最早的主人是牛頓的同時代科學家、該校數學和天文學教授Petrus Elvius，扉頁右下角是他的簽名及年份，後由Carolina Rediviva圖書館收藏，直到1960年代失竊。這本書在歐美被多次轉賣，2004年在紐約克裏斯蒂拍賣行最後一次露麵，2008年底買主決定將原書捐贈給Carolina Rediviva圖書館，終於在流浪了40多之年後完璧歸趙。
瑞典科學家、發明家和實業家克裏斯托弗·普爾海姆 (Christopher Polhem，1661-1751，題圖七) 被譽為"瑞典力學之父"，一生中有很多力學和機械發明。普爾海姆年輕時曾在Uppsala大學學習物理學，數學和力學，並於1697年創辦了瑞典第一所工程師學校——力學實驗室。他發明了一套機械字母表，最初由79個木製模型組成，展示了不同運動之間的轉換規則，其中包括普爾海姆結 (即萬向接頭)、各種軸承、凸輪機構、貨架的鎖定機構等。站台東端展示普爾海姆機械字母表以及麥克斯韋電磁場力線圖 (上圖)。機械字母表自創建以來就是力學實驗室直到後來KTH的基礎機械教學使用的教具，普爾海姆還撰寫了第一本瑞典文的代數學著作，他的半身像被印在1989-2017年間使用的瑞典500克朗麵值紙幣上。
牛頓理論雖然正確地給出了萬有引力的定量表達式，卻沒有解釋引力傳遞過程，而且這條定律與時間無關。19世紀上半葉，邁克爾·法拉第發現了電磁感應現象，進而推導出場的觀念。蘇格蘭數學物理學家詹姆斯·麥克斯韋 (James Clerk Maxwell，1831-1879，題圖八) 用八個數學方程式歸納了電磁場的概念，建立了完整的電磁場理論體係，科學地預言了電磁波的存在，1887年赫茲用實驗證實了這一預言。電磁場理論揭示了光、電、磁現象的內在聯係及統一性，完成了物理學的又一次大綜合，並為20世紀狹義相對論和量子力學的發展奠定了理論基礎。1884年奧利弗·黑維塞將麥克斯韋方程組的原始形式修改成現在通用的四個對稱方程的形式，在站台北側可以發現這組優美的方程式 (右下圖)。
17世紀以來，牛頓力學推動的一係列技術革命引起了從手工勞動向動力機器生產轉變的重大飛躍。1794年，歐洲第一所工科大學——巴黎高等理工學院成立，19世紀初各國紛紛效仿巴黎高工的模式辦學。19世紀初瑞典進入工業化時代，普爾海姆創辦的力學實驗室經過逐年發展、幾次易名，於1827年在其基礎上成立了瑞典最早也是至今規模最大的工科大學——皇家理工學院KTH，最早的兩個專業是機械和化學。瑞典全國約三分之一的工程師都出自這所學府，因此可以稱之為瑞典工程師的搖籃。KTH現在的主校園建於1917年，是一片民族浪漫主義的紅磚建築，在下圖的高塔上可以俯瞰斯德哥爾摩全城。
左上圖的半圓形拱門通往大學主建築，門楣浮雕是瑞典著名雕塑家卡爾·米勒斯的作品，表現人類與火、土、氣、水四種元素的抗爭，這一浮雕與地鐵站台的正多麵體上下呼應。右上圖是校園裏米勒斯的另一作品——青銅噴泉雕塑"工業紀念碑"， 旨在對瑞典工業化的禮讚。其設計靈感源自古希臘的飲用器皿，這個大碗碗壁上的浮雕是古希臘神化故事中的阿瑪宗女傑及逐獵半人馬的野狗，基座上是木匠、鐵匠、裁縫、鞋匠眾雕像，凸顯工匠精神。根據米勒斯的說法，大碗象征水利發電，有水從下方三個孔流出。而這一創意似乎不為眾人理解，百餘年來瓜眾們給它起了不少外號，如"湯盆" "蘑菇碗" "米勒斯的痰盂"等，其實在漢語語境裏，就是一個青銅大鼎。
20世紀初，阿爾伯特·愛因斯坦 (Albert Einstein，1879-1955，題圖九) 創立了相對論，他將引力場詮釋成 "時空彎曲"效應，推廣了經典的牛頓萬有引力定律，統一了時空和引力。他在《廣義相對論》一書中預言了三個物理現象：星光彎曲、引力波、黑洞天體，後來都逐一得到驗證。引力波是一種以光速傳播的時空漣漪，存在於整個宇宙，愛因斯坦認為引力波可能難以被探測到。直到2015年9月14日，13億光年前雙中子星合並產生的引力波跨越漫長時空到達地球，被位於美國的"激光幹涉引力波天文台" LIGO探測器捕獲。這是人類首次觀測到宇宙中的引力波現象，獲得了時空幹擾的直接證據，填補了廣義相對論實驗驗證中最後一塊"拚圖"，三名美國科學家——Rainer Weiss、Barry C. Barish和Kip S. Thorne因此分享了2017年諾貝爾物理學獎。
黑洞是宇宙中時空曲率強大到連光線都無法逃逸的物體，或者說是一個無底的重力墳墓。2019年4月10日，人類曆史上首張黑洞照片公布。英國數學家Roger Penrose因證明黑洞是廣義相對論的直接結果，德國物理學家Reinhard Genzel和美國物理學家Andrea Mia Ghez因在銀河係中央發現超大質量天體，三人共享2020年諾貝爾物理學獎。1963年Penrose的原創論文隻有三頁，數學的存在性定理對於物理學的重要性因他獲獎而首次得到承認。地鐵站台中心懸掛的正十二麵體 (左圖) 表示17世紀的宇宙模型，右圖是這個十二麵體的投影，其中的圓圈和線條表現了行星圍繞黑洞的運動規律，中間不同直徑的同心圓描繪了引力場的平方反比定律；平行直線及顏色表示在距離黑洞很遠的地方粒子發出的光及在引力場的位置；螺旋線則表示時間的進程如何受到空間位置的影響。
貫穿本文的五個正多麵體是"簡單多麵體"的特例，即與球麵同胚的多麵體。關於簡單多麵體最有趣的定理之一是歐拉方程"V-E+F = 2"，這裏V、E、F分別表示多麵體的頂點、棱邊、麵的數目。此公式最早是由笛卡爾在1635年左右發現的，並寫下了一篇關於多麵體理論的文章。1675年萊布尼茨在巴黎看到這份手稿，並用拉丁文抄錄了其中的重要部分，此後笛卡爾的手稿遺失。萊昂哈德·歐拉在1750年獨立發現、並於1752年宣布了這個公式，1809年奧古斯丁·柯西給出了第一個嚴格證明。而笛卡爾的研究直到1860年才被發現，此後這個方程也稱為笛卡爾-歐拉公式，被後人譽為拓撲學中最美公式。根據這一公式，可以推出隻存在五個正多麵體的結論。笛卡爾-歐拉公式定義了現代數學的一個重要分支拓撲學中的一個基本概念——歐拉示性數，它是許多幾何課題中整體不變量的源泉。
受愛因斯坦關於引力波的猜想以及LIGO觀測結果的啟發，2017年丹麥80後女性藝術家Lea Porsager創作了大型地球藝術作品"引力漣漪"，以紀念2004年底在東南亞印度洋海嘯中的遇難者，543位瑞典遊客在這次災難中喪生。這件作品由斯德哥爾摩狩獵南島上許多覆蓋著花朵和草皮的長短不一的弧形堤壩組成，形狀來自Fibonacci黃金雙螺旋，截麵是波動函數。作品中心的兩個青銅雕塑表示量子纏繞，大的一個雕塑上麵鐫刻著遇難者的名字。其整體像一個迷宮，將引發海嘯的地震波與宇宙中的引力波結合在一起，體現了人類的脆弱以及對於我們生存的宇宙的好奇心。
1921年，愛因斯坦獲得諾貝爾物理學獎，迄今整整100年。謹以1930年他發表在《論壇和世紀》上一篇文章中的一段話結束本文："我們認識到某種為我們所不能洞察的東西存在，感覺到那種隻能以其最原始的形式為我們所感受到的最深奧的理性和最燦爛的美 —— 正是這種認識和這種情感構成了真正的宗教感情；在這個意義上，而且也隻是在這個意義上，我才是一個具有深摯宗教感情的人。…… 我自己隻求滿足於生命永恒的奧秘，滿足於覺察現存世界的神奇結構，窺見它的一鱗半爪，並且以誠摯的努力去領悟在自然界中顯示出來的那個理性的一部分，即使隻是其極小的一部分，我也就心滿意足了。" 除首圖及特別指明外，文中圖片均為筆者所攝。
【注】本文被《返樸》公眾號推送
