易經數構（4）“大衍之數五十”隨機模擬決策

今天商業決策、政府決策和軍事決策，可能會用計算機模擬，仿真複雜係統的變化。古代運籌學也一樣，也是模擬宇宙的模型，也要對隨機事件進行模擬。出土的殷商甲骨文大部分是卜辭，即國家決策的運籌記錄。運籌推演要考慮到隨機變量，“大衍之數五十”就是一種隨機變量的推演。陽爻主動，變化幾率大。陰爻主靜，變化幾率小。究竟變還是不變，可以通過“大衍之數五十”的操作推演這些隨機變量。古代一些學者玄人用銅錢等其它方法代替“大衍之數五十”的方法，就喪失了陽爻變化幾率大，陰爻變化幾率小的幾率分布。計算機模擬關鍵在於幾率分布模型。“大衍之數五十”就是一種保證陰爻陽爻幾率分布的一個隨機模擬仿真推演。

【周易·係辭上】【1】：“大衍之數五十，其用四十有九。分而為二以象兩，掛一以象三，揲之以四以象四時，歸奇於扐以象閏；五歲再閏，故再扐而後掛。天數五，地數五。五位相得而各有合，天數二十有五，地數三十，凡天地之數五十有五，此所以成變化而行鬼神也。《乾》之策二百一十有六，《坤》之策百四十有四，凡三百六十，當期之日。二篇之策，萬有一千五百二十，當萬物之數也。是故四營而成《易》，十有八變而成卦，八卦而小成。引而伸之，觸類而長之，天下之能事畢矣。顯道神德行，是故可與酬酢，可與祐神矣。子曰：‘知變化之道者，其知神之所為乎。’”

 

 

 

這段文字有多種解釋，本文給出幾個鏈接。其具體操作如下。

 

 

 

1、取50根算籌，然後放下一根不用。【大衍之數五十，其用四十有九】

 

2、將49根算籌分成兩堆，如果每根算籌都一模一樣，這樣分兩堆的可能的結果有24個，即（1，48）；（2，47）；……；（23，26）；（24，25）。但是，考慮到後邊的操作，應該是經過所有操作後還是兩堆不為零的算籌，所以（1，48）這個結果不能要，即認為兩堆每堆算籌數目都大於等於2。這樣，這個操作就可能有23個結果。我們進一步假設23個結果出現的概率都一樣（等幾率假設）。【分而為二以象兩】

 

3、然後將其中一堆中取出一根放到一旁，即兩堆中間有一堆少了一根算籌。假設這個取出一根也是等幾率的事件，那麽前述23個結果的每一個都有相等的幾率變為兩個結果，那麽經過這個操作後我們有24個結果『（1，47）；（2，46）；……（23，25）；（24，24）』。其中得到（1，47）和（24，24）這兩個結果的概率是（1/46），其餘結果的概率是（1/23），而每個結果的兩堆算籌的總和是48。【掛一以象三】

 

4、將兩堆中的算籌四根四根地往外拿，一直拿到每堆中剩下的算籌數目在大於等於1而且小於等於四。由於兩堆中的算籌的總數是48，這樣拿的方法剩下的兩堆中的算籌的總數或者是4，或者是8。操作到此我們揲四從兩堆中拿出40策的概率是11/46，而拿出44策的概率是35/46。

 

5、以上從步驟2至4的操作叫一變。將這44或40個算籌重複2－4的步驟：分二、掛一、揲四，歸扐。從40籌算到步驟3的結果是『（1，38）；（2，37）；……；（18，21）；（19，20）』，其中有1/38的概率得到（1，38），有3/38的概率得到（19，20），其餘結果的概率是1/19。將揲四拿出的算籌加上掛一的算籌為32個的概率是4/19，為36的概率是15/19。而44策二變的結果為36的概率是5/21, 為40的概率是16/21。

 

6、三變起始的算籌如果是32的話，得24的概率是1/5，得28的概率是4/5。起始算籌是36的話，得28的概率是4/17，得32的概率是13/17。起始算籌數目是40的話，得32的概率是4/19，得36的概率是15/19。

 

7、三變之後，四揲出來的算籌加上掛一的算籌有四種可能，即24，28，32，36。

 

得到24的概率是(11/46)×(4/19)×(1/5)＝44/4370=22/2185=0.01006865。 

 

得到28的概率是(11/46)×(4/19)×(4/5)+ (11/46)×(15/19)×(4/17)+ (35/46)×(5/21)×(4/17)=（176/4370+660/14858+700/16422）=0.12732086。

 

得到32的概率是0.404944587。

 

得到36的概率是0.457665904。

 

 

 

8、再推概率

 

上邊用等幾率假設，實際操作的幾率很可能是正態分布幾率或其它幾率。如果是正態幾率發布，一變中（1，48）；（2，47）；……；（23，26）；（24，25）應該是（24，25）出現幾率最高，（1，48）出現幾率最低，把49開平方做位標準誤差，得7， 即分兩堆分出的數目的一個標準誤差範圍大致是『（17，32）；（18，31）；……；（23，26）；（24，25）』。每一變或減少4策，或減少8策，記減少4策的幾率為p，減少8策的幾率為q，由於四揲操作，我們可以粗略估計p＝3/4, q＝1/4。三變下來，用p和q做二分樹圖，我們得到

 

得24的概率為q³＝（1/4）³＝0.015625

 

得28的概率為3q²p＝3×（1/4）²×（3/4）=0.140625

 

得32的概率為3qp²＝3×（1/4）×（3/4）²=0.421875

 

得36的概率為p³＝（3/4）³＝0.421875

 

結果和等幾率假設計算差不多。即這個“分二”操作的結果這一隨機事件的幾率發布不敏感。所以，我們不必過細地追究這一隨機操作的幾率分布。

 

 

 

9、三變成一爻。如果三變得24策，以四揲數24策，六揲就數盡24策，得六。所謂“四營而成《易》”。類似地，28策得7揲，32 策得8揲，36策得9揲。我們列表如下：

 

 

 

策數      揲數      四像      爻符      爻名

 

24        6      老陰      X      交

 

28        7      少陽      —      單

 

32        8      少陰      --      拆

 

36        9      老陽      口      重

 

 

 

 

 

10、                    十有八變而成卦

 

三變決出一爻，易經64卦每卦有六爻，所以得用18變才能決出一個卦來。我們讀易經看到的卦符每卦六爻，陽爻用單，是少陽爻符；陰爻用拆，是少陰爻符。【周易·係辭上】說：“《乾》之策二百一十有六，《坤》之策百四十有四，凡三百六十，當期之日。二篇之策，萬有一千五百二十，當萬物之數也”。乾卦用了六陽爻，記的是老陽的策數，每爻36策，六爻共216策。坤卦用了六陰爻，記的是老陰的策數，即每爻24策，六陰爻共144策。卦爻用的是少陽少陰的爻符而記的卻是老陽老陰的策數。策數是用老陽老陰，爻符用少陽少陰，這文字和符號似乎不太吻合。

 

 

 

讓我們在詳細推敲一下。如果按照“《坤》之策百四十有四”，即六爻都是老陰。但是，按照三變的操作，得一老陰的概率為百分之一，十八變得六老陰的概率就是10^－12，這幾乎是不可能事件。如此看來，卦符中陰爻用的是少陰可能性比較大，所以用的是爻是拆，但這與“《坤》之策百四十有四”不符。“《乾》之策二百一十有六”，這個幾率還過得去，即三變得老陽的概率約為40％， 接近二分之一，但是無法解釋為什麽卦符中陽爻的爻符用的是少陽，即單符。得一少陽的幾率約為12％，十八變得六少陽的概率越為百萬分之一，也是幾率很小。即經卦的起卦時，陽爻源於策數比較合理，而陰爻源於爻符比較合理。或者說兩種說法都不容易解釋，因為我們不能用一種方法解釋陽爻，用另一種方法解釋陰爻。

 

 

 

前邊本體論講了以卦符記述存在，運動論記述變化。變易是《易》的核心思想之一。決策不單是決定一個卦像，而且要決定卦的變化，所謂變卦。中國哲學思想認為“物極必反”，用到這裏，老陽和少陽都是陽爻，但老陽是變爻，而少陽不是變爻。同理，老陰是變爻，少陰是不變爻。卦符記不變的客觀事物，用少陽和少陰的爻符“單”和“拆”，而變爻則有兩個要素要記載，一個是“陰陽”屬性，用爻符“單”和“拆”來記錄。一個是變化的操作，用“九”和“六”來標記。如老陽，記為陽符，用不變的少陽“單”符記載，同時用“九”標記變化操作。

 

 

 

讓我們用“需”卦作為例子來解釋一下。需，乾下坎上，六爻由下至上是陽、陽、陽、陰、陽、陰。畫卦由下至上為單、單、單、拆、單、拆。

 

初九，需於郊，利用恒，無咎。

 

九二，需於沙，小有言，終吉。

 

九三，需於泥，致寇至。

 

六四，需於血，出自穴。

 

九五，需於酒食，貞吉。

 

上六，入於穴，有不速之客三人來，敬之終吉。

 

 

 

如果十八變得到一個需卦，其中陽爻有老陽和少陽，一律用單符記爻，表示陽，但是，如果是老陽，則表示該爻有變，用“九”“幾”來文字說明，所謂“初九，九二，九三，六四，九五，上六”中的“九”和“六”就是對相應的“初、二、三、四、五、上”爻的變易運算。至於是否應該進行運算，要看十八變起卦時揲出的是否是老陰老陽的策數。如果是少陽少陰，則爻不變，如果是老陽老陰，則爻要變，陽變陰，陰變陽。這樣，我們可以十八變得出本卦和變卦。易經代數於是有六十四個元素，對每個元素有64種運算（如果不變也算一種運算的話）。至於取那種運算，要看十八變中第幾爻是變爻而定。

 

 

 

由以上概率計算的結果可以看出，陽爻是變爻（老陽）的幾率比較大，陰爻是變爻的幾率比較小，這和“陽動陰靜”的概念相符合。

 

 

 

決策依靠的是非完整信息，所以有隨機性。解決沒有隨機性的問題我們稱為計算，二解決信息不完全的問題我們稱為決策，或卜蓍。所謂“不疑不卜”。如今應用計算機模擬來決策問題，也要引入隨機數，這是由於這個世界許多事情我們無法預知也無法控製，古代更是如此。“大衍之數五十”的起卦方法，可能不是其它拋銅錢的方法所能取代的，原因之一就是變爻的陰陽不對稱性。“大衍之數五十”的起卦方法得到的陽爻容易變而陰爻不容易變，如果前述本體論是對宇宙的描述，那麽“大衍之數五十”的起卦方法就是對宇宙的模擬，它模擬宇宙的運動，“陰”變的幾率很小，而“陽”變的幾率很大，但都有不確定性。

 

 

 

所以，我們把十八變得到的老陽少陽（九、七）都記為陽爻、老陰和少陰（六、八）都記為陰爻，即得到本卦。然後把變化（陰變陽、陽變陰）變爻（老陽老陰）得到變卦。

 

 

 

11、                    補充說明“陰陽四像”

 

這段補充主要是為了說明老陽和老陰為變爻的哲學理念。四像應用之一是

太陽＝夏

少陰＝秋

太陰＝冬

少陽＝春

少陽是大地回春，其變化是繼續變暖，所以陽的屬性增加，但沒有質變。太陽是夏，天氣很熱，所謂太陽，但是，其變化是陽的減弱，是變成陰。秋冬解釋類似。

 

把一天分四時也可以有類似的“陰陽四像”描述。

 

這種周期運動，如果用陰陽為一軸，時間為另一軸，畫一個周期變化的函數（如正弦函數），以正數代表陽，符數代表陰。我們就可以把四像表達為對偶（函數的正符，函數導數的正負）：

 

少陽＝（＋，＋）

 

太陽＝（＋，－）

 

少陰＝（－，－）

 

太陰＝（－，＋）

 

老陽和老陰的導數使得陰陽函數值往相反方向變化。這是連續函數。易代數是離散有限代數，用“九”和“六”標記“變化”操作，疊加在陰爻和陽爻的爻符之上。

 

 

 

如果采納本文的解釋，那麽易經中的爻辭的“初九”就讀為“第一爻從陽爻變為陰爻的話”，“九二”就讀為“第二爻由陽爻變為陰爻的話”，“六四”就讀為“第四爻由陰爻變為陽爻的話”，等等。

 

 

 

12、                    再侃一會兒

 

“二篇之策，萬有一千五百二十，當萬物之數也”。六十四卦每卦六爻，陰陽爻各占一半，以陽爻36策，陰爻24策，合計共12520策。“是故四營而成《易》，十有八變而成卦，八卦而小成。”

 

伏羲拿蓍草決策，如果每爻的蓍草都存起來，一爻大約200策，六爻大約1000策，八卦小成約需萬根蓍草，這就出亂子了。所以，實際卜蓍時應該三變成一爻以後，即在地上畫上爻符，然後用這五十根蓍草做另一個三變。如此反反複複估計用五十根蓍草就綽綽有餘了。經濟一點的操作實際上48根蓍草就可以了，不過，多兩根備用是應該的，即便今天做任何事情，都要留有一定餘地，萬一有一根蓍草被風吹走了，也不至於打斷衍算。

 

 

 

 

 

【1】  http://www.guoxue.com/jinbu/13jing/zhouyi/zy_003.htm

 

【2】    http://www.dfg.cn/gb/chtwh/dyjs/dyjs-15.htm

【3】    http://www.qlzhouyi.com/ShowArticle2.asp?ArticleID=764

【4】    http://www.zgwww.org/guoxue/html/bbsGuoXue/chuantongwenhua/00000023.htm