全美疫情的分析和估計 ---- 從峰值到拐點
十天前的四月二日曾寫一篇短文 《全美疫情的分析和估計 ---- 拐點在即》（https://blog.wenxuecity.com/myblog/73449/202004/2632.html），當時新冠肺炎（Covid-19）的確診人數節節攀升，股票市場中的三大指數經曆了四次融斷、二次攀升後平均下跌25%，全美大地哀鴻遍野，人們心理的陰影達到了最黑暗的時候。
圖一 股票市場的反應
我們感到恐懼，看不到希望，因為我們不知前麵將會發生什麽，不知未來發展的趨勢。如果我們知道麵臨災難，知道會有死亡，並能估計到災難的程度，估計到死亡的大致人數，那麽我們就會直麵災難，而不是選擇逃避。
首先我們關心疫情的拐點，所謂拐點就是單日增量達到最大，之後隻有下降沒有上升的那一點所對應的日期。在數學上，拐點定義在函數的一階微分達到最大，二階微分為零所對應的橫座標的數值。在十天前的文章中預計四月十五日左右達到拐點，拐點時的當日新增人數四萬左右（4.0±0.5萬）。
幾天前，醫生朋友建議 Update 數據和分析，那麽更新和更正就一並做了。先看兩張最新的數據，截止日期4/11。圖二，累計確診人數（總量N）和現存病患人數（現存病患人數=累計確診人數-康複人數-病死人數），數據來源於《一畝三分地》（https://coronavirus.1point3acres.com/ ）。該網站具有適時性，除了當天的數據變化之外，幾天前的數據也不時變動，增減不一。這可能是我們文化的特性，畢竟該網站流著中華文化的血脈。為了不使數據亂變，就從 Coronavirus Disease (COVID-19) Statistics and Research (https://ourworldindata.org/coronavirus) 中取確診人數的數據。三月三日：103；三月十一日：1025；三月二十日：14250；三月二十八日：104686。在二十五天內百變千，千變萬，萬變十萬，完成了四個數量級的跳躍，平均每天的指數增長達到32%。這樣的數據使人感到除了恐懼還是恐懼，除了崩潰還是崩潰。
圖二 累計確診人數（總量N）和現存病患人數
圖三表達每日新增的確診人數（增量 DN），數據來源於《一畝三分地》和 Coronavirus Disease，後者的數據雖有一天的滯後，但不會胡亂變動。在圖三中隻見一波接著一波地強勁攀升，根本看不到拐點所在。峰穀起伏居然漲落近萬，已經不是統計誤差所能解釋的了。這反應疫情多批次，多地域，多時間段的次第爆發，幾十甚至幾百個大小不等的波峰相互疊加。就像華盛頓、紐約、密西根三州，疫情先後爆發。
圖三 全美每日新增的確診人數（增量 DN）
華盛頓州最先爆發，最先死人，但該州應對控製很好，四月四日越過它的拐點，迄今為止總的確診人數10416人，病亡率2.6%，現趨於緩慢平複。紐約疫情似乎火如荼，但4/11的新增數據驟降，標誌在四月十日越過拐點。幾天前的四月八日曾寫一篇短文《紐約疫情 --- 數據和估計》（https://blog.wenxuecity.com/myblog/73449/202004/5159.html ），如今的發展基本在當初的預料之內。
密西根最晚爆發，曾經發展迅猛，雖然它的病死率迄今為止最高（5.6%），但它在四月五日越過了拐點。密西根的數據量大，整體的發展進程短，具有統計學上的意義。圖四、圖五、圖六為密西根州的數據。下麵以密西根為例，看看COVID-19疫情的發展進程。
圖四 密西根州的累計確診人數（總量N）
圖五 密西根州的每日新增病患人數（增量 DN）
圖六 密西根州的每日增長率
根據密西根州的統計數據，此類流行性感冒的發展進程大概有四個階段。（1）爆發前的混亂階段（Chaos），（2）爆發階段，（3）燃燒階段，和（4）平複階段。
（1）爆發前的混亂階段（Chaos），在這期間由於人們的認識不足，測試樣本偏小，檢測手段不完備，試劑測出的結果真假也分辨不清，再加上無症狀感染者，導致此時的數據雜亂無章，毫無可信度。但烽火狼煙已起，社會群體中的少數醫護人員（如李文亮）最先得到一個信息 ---- 狼來了。如果此時應對正確，疫情可以被及時撲滅。此前的一個例子是2009年SARS 病毒在安徽泄露，感染了幾個人後就被撲滅。此時的傳播因子（R0）毫無意義。以密西根州為例，3月11、12、13日三天的累計確診為2、12、23人，那麽12、13兩日的傳播因子就分別為5和1，這個差別也太大了。既然號稱因子，就應是個常數，至少變化不會太大。Chaos 的階段大約會持續幾天、十幾天、以致一個月（比如加州）。
（2）爆發階段，這期間的特性是累計確診（N）和增長率（Growth Rate）均按指數迅猛增長，並達到增長率的峰值。密西根州的爆發階段隻用了三天（3月18、19、20），這三天的平均增長率達到106%。而全美的這個階段用了25天，（3月3 – 3月28），時間上比密西根州拉長了八倍，平均增長率達到了32%。此階段可以勉強談談傳播因子 RT，這個RT 是我定義的，和R0 不同，與時間有關，表達的是平均每天傳染幾人。密西根州的 RT=1，而全美的 RT=0.32 。可見傳播因子和病毒類型無關。那麽，怎麽說好呢，傳播因子啊 。。。。。。
（3）燃燒階段，我把這個時間段定義為從增長率的峰值（圖六中 3/19,172% 的那一點）到5天平均增量（《DN》）最大值（圖五中 4/5, 1635 的那一點）所對應的兩個時間點之間的區間。在此階段每天的增量繼續上升，而增長率按e指數下降。以密西根州為例，燃燒階段從3月19到4月5日,曆時18天。人們在此期間看不到希望，心情沮喪。這個階段正是黎明前的黑暗。
（4）平複階段，增量（DN）達到最大值後逐日下降。增長率的下降的方式和第（3）階段的一樣，先快後慢，這是由e 指數衰減的形式決定的。南韓的數據顯示，雖然2月29日達到拐點，但至今還拖著一個長長的尾巴，每天新增病患40-50人。就全美疫情來看，五月初每天仍可檢測到新增病患過萬；六月初過千；七月初過百。
繞了一大圈，回到主題 ---- 美國疫情。圖七表示全美新增病患人數的增長率（Growth rate %），這一數字正逐步、穩定地下降。結合圖三和圖七，預計今後每天的新增人數將在3萬至3萬5之間徘徊幾天，然後一路下降。由於多源頭、多批次、多地點的疫情爆發，對於全美來講，拐點已不再是一個特定的日子，而是一個區間。這個拐點區間的時間範圍大約起於4/5, 終於4/15, 十天左右。在這期間的每日新增病患的人數起伏波動，在3萬5左右（3.5±0.5萬）。這是病毒最後的有規模的掙紮，剩下搏住蒼龍隻是時間的問題了。
圖七 全美病患人數的增長率（Growth rate %）
圖八是累計病患的數據和預測，在COVID-19 的疫情中全美將有大約一百二十萬人染病 （120±10 萬人），以病死率4%計，全美因此流感而掛掉的人數約五萬。
圖八 累計病患及其預測
結論：
1 全美COVID-19疫情的拐點為一個十天左右的時間段，從4/5 到 4/15。拐點期間每天新增病患在三萬五左右 （3.5±0.5 萬），起伏還比較大，近萬呢。
2 全美COVID-19疫情所產生的累計病患將達到一百二十萬左右，（120±10 萬），以病死率4%計，病死人數接近五萬。
3 疫情有尾巴，長長的，七月份仍可檢測到。尾大難掉。
當我們理解了疫情發展的完整過程，我們對疫情的趨勢、危害也就洞若觀火了。朋友們，我們越過了峰值，正跋涉於拐點的緩坡，麵對著黎明前的黑暗，曙光即將來臨。讓我們迎接疫情解放自由民主的明天。
