|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
作 者：韓 昊
知 乎：Heinrich
微 博：@花生油工人
知乎專欄：與時間無關的故事
謹以此文獻給大連海事大學的吳楠老師，柳曉鳴老師，王新年老師以及張晶泊老師。
轉載的同學請保留上麵這句話，謝謝。如果還能保留文章來源就更感激不盡了。
——更新於2014.6.6，想直接看更新的同學可以直接跳到第四章————
|
我保證這篇文章和你以前看過的所有文章都不同，這是 2012 年還在果殼的時候寫的，但是當時沒有來得及寫完就出國了……於是拖了兩年，嗯，我是拖延症患者……
這篇文章的核心思想就是：
要讓讀者在不看任何數學公式的情況下理解傅裏葉分析。
傅裏葉分析不僅僅是一個數學工具，更是一種可以徹底顛覆一個人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅裏葉分析的公式看起來太複雜了，所以很多大一新生上來就懵圈並從此對它深惡痛絕。老實說，這麽有意思的東西居然成了大學裏的殺手課程，不得不歸咎於編教材的人實在是太嚴肅了。（您把教材寫得好玩一點會死嗎？會死嗎？）所以我一直想寫一個有意思的文章來解釋傅裏葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這裏的您從事何種工作，我保證您都能看懂，並且一定將體會到通過傅裏葉分析看到世界另一個樣子時的快感。至於對於已經有一定基礎的朋友，也希望不要看到會的地方就急忙往後翻，仔細讀一定會有新的發現。
————以上是定場詩————
下麵進入正題：
抱歉，還是要囉嗦一句：其實學習本來就不是易事，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學習起來更加輕鬆，充滿樂趣。但是千萬！千萬不要把這篇文章收藏起來，或是存下地址，心裏想著：以後有時間再看。這樣的例子太多了，也許幾年後你都沒有再打開這個頁麵。無論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕鬆、開心得多……
一、什麽是頻域
從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發生改變。這種以時間作為參照來觀察動態世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，並且永遠不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發現世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。
先舉一個公式上並非很恰當，但意義上再貼切不過的例子：
在你的理解中，一段音樂是什麽呢？
這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信對於樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：
好的！下課，同學們再見。
是的，其實這一段寫到這裏已經可以結束了。上圖是音樂在時域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都從不陌生，隻是從來沒意識到而已。
現在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢般的話：世界是永恒的。
將以上兩圖簡化：
時域：
頻域：
在時域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢；而在頻域，隻有那一個永恒的音符。
所以
你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際隻是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。
抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅裏葉同學告訴我們，任何周期函數，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個例子裏我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度，不同時間點的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。
而貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅裏葉分析。傅裏葉分析可分為傅裏葉級數（Fourier Serie）和傅裏葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡單的開始談起。
二、傅裏葉級數(Fourier Series)的頻譜
還是舉個栗子並且有圖有真相才好理解。
如果我說我能用前麵說的正弦曲線波疊加出一個帶 90 度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當年的我一樣。但是看看下圖：
第一幅圖是一個鬱悶的正弦波 cos（x）
第二幅圖是 2 個賣萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)
第三幅圖是 4 個發春的正弦波的疊加
第四幅圖是 10 個便秘的正弦波的疊加
隨著正弦波數量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標準的矩形，大家從中體會到了什麽道理？
（隻要努力，彎的都能掰直！）
隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續上升的部分使其變為水平線。一個矩形就這麽疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標準 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。（上帝：我能讓你們猜著我？）
不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅裏葉分析的人在直覺上的第一個難點，但是一旦接受了這樣的設定，遊戲就開始有意思起來了。
還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個角度來看看：
在這幾幅圖中，最前麵黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而後麵依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向後排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。一定有細心的讀者發現了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那並不是分割線，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。
這裏，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。
好了，關鍵的地方來了！！
如果我們把第一個頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構建頻域的最基本單元。
對於我們最常見的有理數軸，數字“1”就是有理數軸的基本單元。
（好吧，數學稱法為——基。在那個年代，這個字還沒有其他奇怪的解釋，後麵還有正交基這樣的詞匯我會說嗎?）
時域的基本單元就是“1 秒”，如果我們將一個角頻率為的正弦波 cos（
t）看作基礎，那麽頻域的基本單元就是
。
有了“1”，還要有“0”才能構成世界，那麽頻域的“0”是什麽呢？cos（0t）就是一個周期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0 頻率也被稱為直流分量，在傅裏葉級數的疊加中，它僅僅影響全部波形相對於數軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。
接下來，讓我們回到初中，回憶一下已經死去的八戒，啊不，已經死去的老師是怎麽定義正弦波的吧。
正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉的圓
想看動圖的同學請戳這裏：
File:Fourier series square wave circles animation.gif
以及這裏：
File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif
點出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 寫的哪有這裏的文章這麽沒節操是不是。
介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻域裏的另一個模樣了：
這是什麽奇怪的東西？
這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認不出來了？教科書一般就給到這裏然後留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實教科書隻要補一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是——
再清楚一點：
可以發現，在頻譜中，偶數項的振幅都是0，也就對應了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波。
動圖請戳：
File:Fourier series and transform.gif
老實說，在我學傅裏葉變換時，維基的這個圖還沒有出現，那時我就想到了這種表達方法，而且，後麵還會加入維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜。
但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什麽。記得前麵說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計好多人對這句話都已經吐槽半天了。想象一下，世界上每一個看似混亂的表象，實際都是一條時間軸上不規則的曲線，但實際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規律的事情反而是規律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉的圓在直線上的投影。那麽你的腦海中會產生一個什麽畫麵呢？
我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的後麵有無數的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外麵的小齒輪上有一個小人——那就是我們自己。我們隻看到這個小人毫無規律的在幕布前表演，卻無法預測他下一步會去哪。而幕布後麵的齒輪卻永遠一直那樣不停的旋轉，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實話，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感歎的，當時想想似懂非懂，直到有一天我學到了傅裏葉級數……
三、傅裏葉級數（Fourier Series）的相位譜
上一章的關鍵詞是：從側麵看。這一章的關鍵詞是：從下麵看。
在這一章最開始，我想先回答很多人的一個問題：傅裏葉分析究竟是幹什麽用的？這段相對比較枯燥，已經知道了的同學可以直接跳到下一個分割線。
先說一個最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個通道來進行信息傳輸。下麵大家嚐試一件事：
先在紙上畫一個sin（x），不一定標準，意思差不多就行。不是很難吧。
好，接下去畫一個sin（3x）+sin（5x）的圖形。
別說標準不標準了，曲線什麽時候上升什麽時候下降你都不一定畫的對吧？
好，畫不出來不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個曲線的方程式，現在需要你把sin（5x）給我從圖裏拿出去，看看剩下的是什麽。這基本是不可能做到的。
但是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。
所以很多在時域看似不可能做到的數學操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅裏葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之一，隻有在頻域才能輕鬆的做到。
再說一個更重要，但是稍微複雜一點的用途——求解微分方程。（這段有點難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當麻煩的事情。因為除了要計算加減乘除，還要計算微分積分。而傅裏葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變為乘法和除法，大學數學瞬間變小學算術有沒有。
傅裏葉分析當然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。
————————————————————————————————————
下麵我們繼續說相位譜：
通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側麵看的頻譜，但是這個頻譜並沒有包含時域中全部的信息。因為頻譜隻代表每一個對應的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位。基礎的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對於頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個相位譜。那麽這個相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個波疊加的圖。
鑒於正弦波是周期的，我們需要設定一個用來標記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點。小紅點是距離頻率軸最近的波峰，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點投影到下平麵，投影點我們用粉色點來表示。當然，這些粉色的點隻標注了波峰距離頻率軸的距離，並不是相位。
這裏需要糾正一個概念：時間差並不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話，相位差則是時間差在一個周期中所占的比例。我們將時間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。
在完整的立體圖中，我們將投影得到的時間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下麵的相位譜。所以，頻譜是從側麵看，相位譜是從下麵看。下次偷看女生裙底被發現的話，可以告訴她：“對不起，我隻是想看看你的相位譜。”
注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因為cos（t+Pi）=-cos（t），所以實際上相位為Pi的波隻是上下翻轉了而已。對於周期方波的傅裏葉級數，這樣的相位譜已經是很簡單的了。另外值得注意的是，由於cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域為(-pi，pi]，所以圖中的相位差均為Pi。
最後來一張大集合：
四、傅裏葉變換（Fourier Tranformation）
相信通過前麵三章，大家對頻域以及傅裏葉級數都有了一個全新的認識。但是文章在一開始關於鋼琴琴譜的例子我曾說過，這個栗子是一個公式錯誤，但是概念典型的例子。所謂的公式錯誤在哪裏呢？
傅裏葉級數的本質是將一個周期的信號分解成無限多分開的（離散的）正弦波，但是宇宙似乎並不是周期的。曾經在學數字信號處理的時候寫過一首打油詩：
往昔連續非周期，
回憶周期不連續，
任你ZT、DFT，
還原不回去。
（請無視我渣一樣的文學水平……）
在這個世界上，有的事情一期一會，永不再來，並且時間始終不曾停息地將那些刻骨銘心的往昔連續的標記在時間點上。但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴的回憶，在我們大腦裏隔一段時間就會周期性的蹦出來一下，可惜這些回憶都是零散的片段，往往隻有最幸福的回憶，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻。因為，往昔是一個連續的非周期信號，而回憶是一個周期離散信號。
是否有一種數學工具將連續非周期信號變換為周期離散信號呢？抱歉，真沒有。
比如傅裏葉級數，在時域是一個周期且連續的函數，而在頻域是一個非周期離散的函數。這句話比較繞嘴，實在看著費事可以幹脆回憶第一章的圖片。
而在我們接下去要講的傅裏葉變換，則是將一個時域非周期的連續信號，轉換為一個在頻域非周期的連續信號。
算了，還是上一張圖方便大家理解吧：
或者我們也可以換一個角度理解：傅裏葉變換實際上是對一個周期無限大的函數進行傅裏葉變換。
所以說，鋼琴譜其實並非一個連續的頻譜，而是很多在時間上離散的頻率，但是這樣的一個貼切的比喻真的是很難找出第二個來了。
因此在傅裏葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續譜。那麽連續譜是什麽樣子呢？
你見過大海麽？
為了方便大家對比，我們這次從另一個角度來看頻譜，還是傅裏葉級數中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看。
以上是離散譜，那麽連續譜是什麽樣子呢？
盡情的發揮你的想象，想象這些離散的正弦波離得越來越近，逐漸變得連續……
直到變得像波濤起伏的大海：
很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒有選用正確的計算參數，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數，不然這圖看起來就像屎一樣了。
不過通過這樣兩幅圖去比較，大家應該可以理解如何從離散譜變成了連續譜的了吧？原來離散譜的疊加，變成了連續譜的累積。所以在計算上也從求和符號變成了積分符號。
不過，這個故事還沒有講完，接下去，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片，但是這裏需要介紹到一個數學工具才能然故事繼續，這個工具就是——
五、宇宙耍帥第一公式：歐拉公式
虛數i這個概念大家在高中就接觸過，但那時我們隻知道它是-1 的平方根，可是它真正的意義是什麽呢?
這裏有一條數軸，在數軸上有一個紅色的線段，它的長度是1。當它乘以 3 的時候，它的長度發生了變化，變成了藍色的線段，而當它乘以-1 的時候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數軸上圍繞原點旋轉了 180 度。
我們知道乘-1 其實就是乘了兩次 i 使線段旋轉了 180 度，那麽乘一次 i 呢——答案很簡單——旋轉了 90 度。
同時，我們獲得了一個垂直的虛數軸。實數軸與虛數軸共同構成了一個複數的平麵，也稱複平麵。這樣我們就了解到，乘虛數i的一個功能——旋轉。
現在，就有請宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場——
這個公式在數學領域的意義要遠大於傅裏葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因為它的特殊形式——當x等於 Pi 的時候。
經常有理工科的學生為了跟妹子表現自己的學術功底，用這個公式來給妹子解釋數學之美：”石榴姐你看，這個公式裏既有自然底數e，自然數 1 和0，虛數i還有圓周率 pi，它是這麽簡潔，這麽美麗啊！“但是姑娘們心裏往往隻有一句話：”臭屌絲……“
這個公式關鍵的作用，是將正弦波統一成了簡單的指數形式。我們來看看圖像上的涵義：
歐拉公式所描繪的，是一個隨著時間變化，在複平麵上做圓周運動的點，隨著時間的改變，在時間軸上就成了一條螺旋線。如果隻看它的實數部分，也就是螺旋線在左側的投影，就是一個最基礎的餘弦函數。而右側的投影則是一個正弦函數。
關於複數更深的理解，大家可以參考：
這裏不需要講的太複雜，足夠讓大家理解後麵的內容就可以了。
六、指數形式的傅裏葉變換
有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線的疊加在實數空間的投影。而螺旋線的疊加如果用一個形象的栗子來理解是什麽呢？
光波
高中時我們就學過，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實驗就是牛頓師傅的三棱鏡實驗：
所以其實我們在很早就接觸到了光的頻譜，隻是並沒有了解頻譜更重要的意義。
但不同的是，傅裏葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率範圍有限的疊加，而是頻率從 0 到無窮所有頻率的組合。
這裏，我們可以用兩種方法來理解正弦波：
第一種前麵已經講過了，就是螺旋線在實軸的投影。
另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：
將以上兩式相加再除2，得到：
這個式子可以怎麽理解呢？
我們剛才講過，e^(it)可以理解為一條逆時針旋轉的螺旋線，那麽e^(-it)則可以理解為一條順時針旋轉的螺旋線。而 cos (t)則是這兩條旋轉方向不同的螺旋線疊加的一半，因為這兩條螺旋線的虛數部分相互抵消掉了！
舉個例子的話，就是極化方向不同的兩束光波，磁場抵消，電場加倍。
這裏，逆時針旋轉的我們稱為正頻率，而順時針旋轉的我們稱為負頻率（注意不是複頻率）。
好了，剛才我們已經看到了大海——連續的傅裏葉變換頻譜，現在想一想，連續的螺旋線會是什麽樣子：
想象一下再往下翻：
是不是很漂亮？
你猜猜，這個圖形在時域是什麽樣子？
哈哈，是不是覺得被狠狠扇了一個耳光。數學就是這麽一個把簡單的問題搞得很複雜的東西。
順便說一句，那個像大海螺一樣的圖，為了方便觀看，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負頻率的部分沒有顯示出來。
如果你認真去看，海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚的看到的，每一條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉半徑），頻率（旋轉周期）以及相位。而將所有螺旋線連成平麵，就是這幅海螺圖了。
好了，講到這裏，相信大家對傅裏葉變換以及傅裏葉級數都有了一個形象的理解了，我們最後用一張圖來總結一下：
好了，傅裏葉的故事終於講完了，下麵來講講我的故事：
這篇文章第一次被卸下來的地方你們絕對猜不到在哪，是在一張高數考試的卷子上。當時為了刷分，我重修了高數（上），但是後來時間緊壓根沒複習，所以我就抱著裸考的心態去了考場。但是到了考場我突然意識到，無論如何我都不會比上次考的更好了，所以幹脆寫一些自己對於數學的想法吧。於是用了一個小時左右的時間在試卷上洋洋灑灑寫了本文的第一草稿。
你們猜我的了多少分？
6 分
沒錯，就是這個數字。而這 6 分的成績是因為最後我實在無聊，把選擇題全部填上了C，應該是中了兩道，得到了這寶貴的 6 分。說真的，我很希望那張卷子還在，但是應該不太可能了。
那麽你們猜猜我第一次信號與係統考了多少分呢？
45 分
沒錯，剛剛夠參加補考的。但是我心一橫沒去考，決定重修。因為那個學期在忙其他事情，學習真的就拋在腦後了。但是我知道這是一門很重要的課，無論如何我要吃透它。說真的，信號與係統這門課幾乎是大部分工科課程的基礎，尤其是通信專業。
在重修的過程中，我仔細分析了每一個公式，試圖給這個公式以一個直觀的理解。雖然我知道對於研究數學的人來說，這樣的學習方法完全沒有前途可言，因為隨著概念愈加抽象，維度越來越高，這種圖像或者模型理解法將完全喪失作用。但是對於一個工科生來說，足夠了。
後來來了德國，這邊學校要求我重修信號與係統時，我徹底無語了。但是沒辦法，德國人有時對中國人就是有種藐視，覺得你的教育不靠譜。所以沒辦法，再來一遍吧。
這次，我考了滿分，而及格率隻有一半。
老實說，數學工具對於工科生和對於理科生來說，意義是完全不同的。工科生隻要理解了，會用，會查，就足夠了。但是很多高校卻將這些重要的數學課程教給數學係的老師去教。這樣就出現一個問題，數學老師講得天花亂墜，又是推理又是證明，但是學生心裏就隻有一句話：學這貨到底幹嘛用的？
缺少了目標的教育是徹底的失敗。
在開始學習一門數學工具的時候，學生完全不知道這個工具的作用，現實涵義。而教材上有隻有晦澀難懂，定語就二十幾個字的概念以及看了就眼暈的公式。能學出興趣來就怪了！
好在我很幸運，遇到了大連海事大學的吳楠老師。他的課全程來看是兩條線索，一條從上而下，一條從下而上。先將本門課程的意義，然後指出這門課程中會遇到哪樣的問題，讓學生知道自己學習的某種知識在現實中扮演的角色。然後再從基礎講起，梳理知識樹，直到延伸到另一條線索中提出的問題，完美的銜接在一起！
這樣的教學模式，我想才是大學裏應該出現的。
最後，寫給所有給我點讚並留言的同學。真的謝謝大家的支持，也很抱歉不能一一回複。因為知乎專欄的留言要逐次加載，為了看到最後一條要點很多次加載。當然我都堅持看完了，隻是沒辦法一一回複。
本文隻是介紹了一種對傅裏葉分析新穎的理解方法，對於求學，還是要踏踏實實弄清楚公式和概念，學習，真的沒有捷徑。但至少通過本文，我希望可以讓這條漫長的路變得有意思一些。
最後，祝大家都能在學習中找到樂趣…
最新評論
寫的確實不錯，原作者真的是用心了。連畫的圖都是自己畫的，有自己的獨特分析。好！
1 讚
其實好多圖以前都在別處見過……
1 讚
很好，謝謝，特別是後麵對工科教學方法的建議很中肯，當年感同身受
1 讚
能靜下心來寫這種帖子...真是佩服.........
讚
謝謝作者精彩的講解，雖然從歐拉公式開始看的有點暈，不過至少有個概念了。看得出來作者是個注重理解的大牛
2 讚
很認真的看了，我還是沒懂，真是為自己的智商汗顏
讚
精彩呀，很少看到這樣深入淺出的文章
讚
作為一個高中生，看完了。挺有意思的~~三克油
讚
理解很到位，大牛
讚
寫的真不錯，雖然大學時學過這東西，但是離開大學時就已經還給老師了，現在看這個就像初中生一樣，不過還是看懂絕大部分了，除了公式不懂之外。
讚
掐死你
讚
看得快感動哭了，作者解決了我多年的問題，功德無量啊，太讚了
1 讚
請問那些一個個的圓環套圓環，圓的直徑大小怎麽對應頻率分量的高低？也就是說，大圓對應高頻還是低頻分量？小圓呢？
讚
這個隻是時間-頻率的傅裏葉變換，還有空間-倒空間的傅裏葉變換。當然，他們的數學模型是一模一樣的。如果隻是實際應用的話，這篇文章確實不錯。
讚
我還是不理解離散的傅立葉級數是怎樣變成連續的傅立葉變換的
讚
可以掐個半死嗎
讚
謝謝， 很直觀的表達。
讚
開頭看得很搞笑，這樣的文章居然也能看得笑出聲來，但是看到最後感覺有點心酸……感謝你能回過頭來指引路上的人，我雖然是無神論者，但此時好想說，願你得到神的眷顧。
讚
抱歉，看不懂！我想重新學下數學，能推薦基本書嗎。
讚
深受啟發，難得的好文章，謝謝作者！
讚
寫的不錯，有些地方一次看不明白，需要多看幾次
mark一下
另外，怎麽能收藏呢？
讚
= =...學的是電信的。。 看到這個 覺得好簡單的理解方法。。
雖然我的 S域 傅立葉變化都學得不錯。。但是看到這個還是真心的 不錯的。。
讚
很厲害
讚
謝謝，學習了，講得真的很好，如果學校裏的老師能像這樣上課，那該多好！
讚
每次回看，都不一樣的感覺，受益頗深
讚
啊，高一的真不該滾來看這個。。。撒淚＋滾遠
讚
作者寫的很好 可惜歐拉那部分沒看懂 淚奔
讚
數學工具對於工科生和對於理科生來說，意義是完全不同的。工科生隻要理解了，會用，會查，就足夠了。
讚
如果考慮一下混沌（對初始條件的敏感依賴），你會發現，自己太低估了上帝的能力。
讚
如果學校的老師都能這麽有意思地授課，還會有多少人逃課呢
讚
真的能看懂？試試看，最近在搞OFDM，越來越覺得自己智商太低
讚
為了做數字信號處理來看這篇文章也蠻拚，雖然還不能完全理解，但感同身受，因為我的高數和信號也掛了......然後老師用Matlab演示了圖像處理，接著說用c語言給我寫個自動打靶識別環數的程序，我也是醉了。。。。。。
讚
寫的非常好！very good!
讚
寫的真好，學習了，謝謝分享！
讚
簡直寫得太漂亮了，各個維度都描繪得很清晰，很用心，亦很有趣。
讚
高一妹子表示隻看得懂歐拉公式……
讚
寫的真好。牛，大讚一個
讚
正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉的圓。
這句話我不懂呢。
由正弦波疊加的？？是不是類似於y=2x y=3x+4 疊加變成y=5x+4 這樣？
讚
堅持看完了，智商問題麽？感覺還是稀裏糊塗的啊！
讚
雖然我這個小白還是有些一知半解，但是比其它描述形象多了。繼續加油～
讚
讚一個
數學是非常美妙的東西，有時候學數學就好像在看懸疑片，開始劇情很慢，但是學到最後你發現，哦，tmd，原來是這樣啊，原來就是原來的東西啊。還有，一些完美主義者應該很欣賞數學，因為數學中很多完美的公式
讚
我極少給人寫評論，作者能將如此生澀難懂的公式以圖形的方式講解出來，讓人由衷欽佩，感謝分享。當代中國的教育真是悲哀啊。
再次感謝作者！！！祝你在學術上取得更大成就！！！
讚
缺少了目標的教育是徹底的失敗，說得好！
讚
我想掐死的是國內的老學究，編的一套書不是公式堆，就是一堆術語一堆繞得不知所謂的話，就是說不清楚到底是個什麽東西。看他們編的書除了浪費時間就是摧毀自信，
1 讚
不要抱怨了，這說明他們也沒有理解這個東西的原理，但是又要出書，怎麽辦？
讚
看完很開心！頻域和時域，有中耳目一新的感覺。大家都努力來理解吧，真的很有意思^_^
Ps我也是工科生，但也喜歡琢磨～
1 讚
看完了就深信這是個好網站，為了給樓主點讚立刻注冊了。
樓主謝謝啊！
讚
我專門注冊了個新號開表達對博主的敬佩之情，能把傅立葉變換講的如此透徹如此明了的人真的很少，大致上是因為他們自己隻是了解皮毛，或者隻是會使用相應的工具，或者隻是靠記憶力記住了一些公式罷了。希望博主多出這樣的精品文章，使得區區在下能領略到更多數學之美與奧秘^O^/
1 讚
信號以重修←_←
讚
大神啊，要是早點能看見就好了
讚
專程來感謝的，太好了
讚
我是 今年才剛剛半路出家學習通信係統的，之前是學習生物的，因為基礎不是很好，便從網上找關於傅裏葉變換的介紹，很巧合的就點擊了這篇文章，也很巧合的被定場詩吸引了，然後就看了下去。
當我看到動態圖關於點在麵上運動的投影所出現的波形的時候我感覺我被震驚到了，莫名其妙的心動，我找到我的興趣，就這樣我接著看下去，看到了歐拉公式，再次，關於複頻域的海螺圖有種深深的心靈撞擊感。
嗯 ，這篇文章可以說激起了我學習通信的興趣，我會把這門學科當做一種愛好來學習與研究，另外，我是學習生物的，對於計算什麽的已經拋棄很久了，但是我也會跟著作者的腳步走上數學工具應用和通信的道路上!!!
1 讚
看了這篇文章我更堅信了大學裏沒有墮落的學生，隻有隻會講ppt的老師
讚
這篇文章寫的真是用心，讚
讚
樓主你好有才，給你個大大的讚
讚
中國有你這樣的人才，真的感覺到驕傲，給你一個大大的讚！
讚
樓主太棒了！！！！！！！
讚
很棒，學習了！
讚
我理解了這麽多年才想清楚的問題……
讚
棒！
讚
太讚太讚太讚啦！作者辛苦啦！有幸自己看到這篇文章！祝好！
讚
寫的很好，中國需要教育改革，需要好老師
讚
改變世界觀，改變認識，謝謝作者！
讚
我好好好佩服你啊啊啊！我也是數學專業的，然後這篇文章真的好容易消化，因為上節課嘴賤問了句，老師，傅立葉變換到底是啥啊，然後老師說，下課了，你的任務就是把傅立葉變換是啥，給我徹底搞懂，下個星期上課用你自己的理解解釋給我聽。幸好看了你寫的！
讚
受益匪淺！
讚
謝謝大神的知識，一下子就大腦清醒了
讚
通俗點我還是沒懂
讚
連續的螺旋線怎麽理解？海螺麵的生成可以再講得詳細點兒嗎？
讚
感謝，看完了，填補了好麽些空白
讚
感謝題主～豁然開朗
讚
好厲害，絕對分享點讚
讚
能告訴我你高數考6分，信號考45是怎麽出國的嗎
讚
這是現代 “網絡教學” 的典範和現代課件的典範。作者是把數學的一維拓展到空間的二維、三維，這是個重要的思維方法：能看懂三維的，就是因為占到四維了。人類的文明也如此，低維看不懂高維的。
數學的核心就是在腦子裏建立（折射、投影）精準的N維空間變換。
物理的核心就是把宇宙紛繁事實現象投放到數學熔爐裏熔煉（變換），而煉出來的結晶就是入爐前的那些東西的定律、真理。
開放式思維、換位式思考是從低維到高維升級的必要條件。如何做到：1，與生俱來；2，後生求學。若教育都能從黑板、紙張裏，通過多媒體拓展到多維動態的認知空間，將是一個新的文明複興。相信不久的將來，人們就可以用VR，AR，MR看、玩、體驗麥克斯韋方程、11維弦綸。
讚
一個坐在海事大學科學會館的師弟，瞬間人生明亮了！！！！
謝謝師兄
讚
我是在采集心電信號然後計算相關數據遇到問題後，才發現這個文章的，說實話，大海螺真的沒搞明白，不過動畫確實比以前大學時的清析我了。
讚
一直想找類似這樣的中西,居然真有
讚
已讀。請問尊敬的作者是否對音樂律學感興趣？我來自山東的聊城大學。自大三起開始研究音樂律學。我確信音樂律學領域有一片尚未發現的美洲，不需太艱深的知識與智慧足以找到。如有興趣，請加我QQ，542972624，注明傅裏葉變換。願暢所欲言，分享智慧果。
讚
寫的非常不錯 我學習知識也喜歡通過空間想象 來理解各種公式 真的很討厭死記硬背 樓主給正在學這方麵知識的我 指明了一條方向啊 中國就是應試教育害死人老師 從來不追求你理解就要求你所有的題能做對 問題是 題目都做對了對於生活又有什麽幫助 顯示生活中總不可能所有人都去搞學術
讚
你好！可以問一下最後的三幅圖的變化嗎？我知道時域變化到頻域是用傅裏葉公式可以實現，那麽怎麽從時域變化到複頻域或者從頻域變化到複頻域，意思也就是如何獲得複頻域的圖像，再已知時域圖或者頻域的情況下？謝謝，請指導一下！
讚
謝謝博主的文章 很受用
讚
我猜最後那個海螺是一個4維圖，向右是i也就是輔助虛幅值，向裏是幅值實分量，向上是時間分量，顏色表示離各螺線合成麵的距離。
讚
我猜最後那個海螺是一個4維圖，向右是i也就是輔助虛幅值，向裏是幅值實分量，向上是時間分量，顏色表示離各螺線合成麵的距離，也可能是次要分量加入程度？比如大數+小數+小小數那種，最終形成一極限，圖上沒畫出來，應該頂部形成一個圓圈。
讚
太牛逼了
讚
從相位譜開始看不懂了T-T
讚
壯哉我大果殼
讚
"老實說，數學工具對於工科生和對於理科生來說，意義是完全不同的。工科生隻要理解了，會用，會查，就足夠了。但是很多高校卻將這些重要的數學課程教給數學係的老師去教。這樣就出現一個問題，數學老師講得天花亂墜，又是推理又是證明，但是學生心裏就隻有一句話：學這貨到底幹嘛用的？" zan zan zan
讚
好！數學完全改變了觀察事物維度，美！
讚
非常不錯的文章，有空繼續溫習
讚
作為一個作死選了傅立葉分析課題的高中生，我隻能說，這文章拯救全村人啊！！！！
讚
寫的太好了，搞懂這個感覺自己瞬間高大上了好多！
讚
講的太有意思了，剛剛注冊了賬號，隻為給你來次評論
讚
學習沒有捷徑，但確實也是講方法，方法對則事半功倍。
樓主說道，以目的為導向的教學方式，我是深有體會，在大學時為了幫一舍友通過概率統計課程，用了一個晚上，就把要考試的要點過了一遍，就是以結果或目的為目標，而且我這個舍友真的不錯，最後考了62分。
讚
寫的很好的，發現工科生好幸福，隻需要理解，會用即可，我們理科生要看一堆各種各樣的證明，證明，在學黎曼函數的時候，老師的證明寫了4個黑板，但是依然不懂。
讚
為了弄懂論文，陪女朋友在實驗室熬夜到淩晨4點。謝謝樓主精彩分享！
讚
一直聽說FFT能幹事，但總是不知道能幹什麽事，現在終於知道了
讚
解釋的這麽明了，太牛了，加手動讚！！另外感謝樓主的分享，跪拜
讚
牛人
讚
我是學醫的，居然就要看的快明白了，等我再翻一翻實數、虛數。我就是學醫裏麵唯一懂傅裏葉變換的了
讚
翻越重重障礙來點讚，666！
讚
我第一次感覺數學也可以這麽美妙，多謝了
讚
比我的大學老師講的好太多了，如果早些看到你這篇文章，或許我會對這門課產生濃厚的興趣，不管怎樣對作者報以崇高敬意。
讚
為了致敬
讚
好吧，我承認，和數學無關的部分都看懂了~~
讚
那個圖二是賣萌的圖難道不是cos(x) + cos(2x)的曲線嗎。。。
讚
雖然還沒看 ，但看到注重理解，我就不得不來給個讚了
讚
我正在處於你大學的狀態，本人屬於想不通就學不會的類型，老師真的就是告訴我是什麽，然後各種證明推理，學得要瘋了，重修信號與係統，高數中。。。。。正在上數字信號處理傅裏葉變換，然後就進來了。。。。看了好幾遍，好像有一點點不那麽抵觸了
讚
不錯，受教了！
讚
大神啊！你很有前途
讚
很強，看了之後，覺得之前學的傅裏葉都白學了，受教了--從另一個角度去看世界，一切變得那麽有意思起來
讚
謝謝你，真的是大開眼界了
讚
雖然我信號與係統考了95，但和你的理解比起來不知道差了多少。。。我完全當數學學的。
讚
上個學期的信號與係統石靠補考過的，這個學期的數字信號處理學著學著就感覺進入了茫然的狀態。仔細地讀了你的文章，又把高數，信號與係統數字信號處理的書拿出來過了一遍。相信我會越學越好的，讚你
讚
我的評論太晚，可能沒人會看到了。
英國留學的電氣狗，剛學到數字信號這裏懵逼了。但是看了之後感覺理解了很多。很讚的一篇解讀。
讚
雖然我本科學的不知道怎麽說 但當兩年前在通自看到你的這篇文章 給了我不少的信心 現在還是感激不盡 大神謝過！看到還有這麽多學弟學妹也觀察到了 覺得以後有機會一定會向大神學習
讚
是我愚昧還是？那個手繪的4個圖 不是餘弦波嗎怎麽說是正弦波呢
讚
正弦波和餘弦波本來隻是相位有區別而已，一般統稱為正弦波，不用糾結這個
讚
高一學生想來掐死你
1 讚
無需多言，良心之作
讚
寫的太好了，剛剛發表了一個評論，後來發現發錯地方了額，又過來重寫，為了發表意見，特意注冊了一個號，真的 寫的太好了， 不來說兩句，實在是對不住作者啊！高手在民間！網絡有大仙呀！。。。能把教科書上的公式堆砌，理論堆砌，變換成形象具體，通俗易懂的圖畫，，真的是厲害
讚
太讚了，厲害。。。我是大連海事的誒，難道是學長麽，我太榮幸了。。不過，我咋不知道這個老師，我今年大三，2014年入學的
讚
大讚！
讚
寫的很棒，讀了好多遍，終於都懂啦，感激，感激，萬分感激！
讚
感謝樓主用心講解。用淺顯易懂的方法讓人感受數學的魅力。但是有一個問，您在文章中寫到：“e^(it)可以理解為一條逆時針旋轉的螺旋線” 我在看圖之後，為什麽覺得如果沿時間方向向前行進的話，應該是一條順時針方向的螺旋線呢，就是從圖底部向上螺旋。還是我理解的不對呢？希望您能百忙之中給予解答啊。感謝
讚
注冊進來，就是為了讚一個，費心費心
1 讚
讓學習變得有趣生動是一門藝術啊
讚
雖然隻是個初中生，但也看懂了不少，作者大大很棒
讚
實在太好了，精辟！！！！
你說的所有內容，我都隻有一個字 “讚”
你的觀點，完全讚同
讚
完了，你讓我放假有了看書的衝動
讚
非常的強勢，很有幫助
讚
之前做圖像處理，看到傅裏葉變換，真是頭大了，真想弄明白傅裏葉變換是個啥東東，時隔2年，今天終於對傅裏葉變換有了全新的認識，感謝博主，寫的非常不錯，
讚
我頂你！
恩，也要加油了
讚
對不起，樓主。我打算先掐死你 然後再看文章，因為我實在對我的智商不放心~
1 讚
說實話，聽自己的導師講了一個學期，還不如看一下你寫的小文章吃透的多看來我真是學渣，啃書去了
讚
真的很感謝作者，你們老師一定會為你感到驕傲的，觀點方法真的很犀利
讚
圖文並茂，深入淺出，通俗易懂！
讚
登號就是為了給你點個讚
讚
謝謝你！費心了！ 幫助很大
讚
沒看懂 我要掐死你！
讚
寫的好棒 剛好在準備考試 看完就懂啦
讚
作者最後幾段真是道出工科生的心酸。化學反應速率曲線是用微分方程推導的，可是同學們沒有一個關注的，老師也隻是簡單的談了幾個初中物理問題。
讚
在由離散演變成連續的這一過程，大家也不妨想想一下撲克牌，有著極相似的特點
讚
1 讚
希望對您有幫助吧（Σ( ° △ °|||)︴）
讚
表示看完了才收藏的，說真，我大學專科，學的經濟數學，沒學高數，但我們是計算機專業，第二學期是用的MATLAB學的數學，你的那個螺旋的圖我倒是見過，當時完全不能理解……雖然我到現在也不知道這個傅裏葉變換是物理還是數學，查了一下發現叫物理數學，還是不知道是什麽，但那都不是重點，重點是，我看懂了你在說什麽！這多麽的難得！雖然我高中學的理科，但我的物理一直很差，數學湊合湊合。我也覺得，明明很簡單的東西為什麽要怎麽複雜，明明很簡單的代碼，為什麽寫的書都這麽晦澀難懂，就不能寫得好玩點嗎？當時差點讓我喪失掉寫代碼的樂趣……
讚
研究FFT來到這裏，真的好棒，真的好棒，真的好棒
讚
我肯定沒看懂，因為我都沒有能力看完，看完了肯定也不懂，不過，看圖好像也明白了是啥。謝謝，奉上一份薄禮，膝蓋著地！
讚
你的觀點完全不讚同 不自己好好證明如何做題？ 就是要弄清楚證明過程 得到公式是怎麽來的 這樣才能更好好地學數學 不然完全進入死胡同
讚
初中狗居然成功看懂了！！！！（查了一堆公式）
感謝作者把經驗分給我們。
“學習，真的沒有捷徑。”
讚
講的是真的好
讚
初二狗表示看懂了那麽一點點 不失為同學麵前裝X的利器（？） 不過本意是真心想了解的！還是謝謝了！
讚
可以像這樣介紹一下卷積嗎？
讚
非常不錯的文章，即使是我這樣的初學者也能學到不少東西。
讚
不愧是同是工科生，真是心有靈犀一點通啊！！！
讚
膜拜大神，雖然沒有完全吸收，但對我來說仍然是大有裨益，會多讀幾遍，繼續揣摩～
也希望大神能多出幾篇這樣的文章
最後，辛苦～感謝～祝福～
讚
原作者寫的確實很用心，也很有意思，但是我卻還是不能不掐死你，原諒我的智商沒有看懂，這不怪你
讚
後半部分我想掐死樓主
讚
這文章要是不給好評，天理難容！非常感謝原創作者
讚
愛死這篇文章了，一邊看著一邊笑。同時還有恍然大悟，真希望能看到更多這樣的帖子。讚讚讚讚讚讚讚讚讚讚！
讚
“紙上得來終覺淺”，看得懂又有什麽用？
牛人們，不如給中國曆史、世界曆史、甚至人類科技曆史、文明曆史都做個傅裏葉變換吧，看看是否也有些永恒不變的東東......
讚
最後一張圖，肉眼看過去不太明白怎麽變過去的
讚
經過傅裏葉變換得知，每個人從生到死的人生軌跡疊加起來之後的圖像在實數空間的投影，就是那啥......
讚
跪著看完
讚
馬克一下，實在是太厲害了，茅塞頓開！謝謝樓主不吝刺激，不勝感激！
讚
我想知道傅立葉變換為什麽有負值啊……不是說是從側麵看的幅度嗎，幅度不都是正值嗎
讚
為作者的用心點讚！
讚
本文作者確實用心了，點讚。不過文章中有些地方有些錯誤，比如Asin(wt)比上sin(t)的話形狀隻是高矮胖瘦變化了下，外形並不會發生變化（A=0或W=0除外）；還有文中寫到“注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因為cos（t+Pi）=-cos（t），所以實際上相位為Pi的波隻是上下翻轉了而已。”，我不理解這句話的邏輯，相位譜顯示的相位怎麽會隻有0和π。。。
讚
理解的很透徹啊
讚
非常有意思的一篇博文，樓主用心了
讚
看完這篇文章，源源不斷的留下感動的淚水。大學四年這種在知識中獲得的快樂隻有少許幾次。很感謝。
讚
我要掐死你！！！。。。實話說看得雲裏霧裏，還是沒有天賦一開始就沒搞明白
讚
特別讚
讚