山水同盟
青山依舊在，幾度夕陽紅
愛因斯坦場方程是個美人，但是不幹活。農村人說她是個廢物，城裏人說她是個玩物。總起來講就是一個繡花枕頭。
愛因斯坦重力場方程[編輯]
其中
- 稱為愛因斯坦張量，
- 是從黎曼張量縮並而成的裏奇張量，代表曲率項；
- 是從裏奇張量縮並而成的標量曲率(或裏奇數量)；
- 是從(3+1)維時空的度量張量；
- 是能量-動量-應力張量，
- 是重力常數，
- 是真空中光速。
這個方程式的左邊表達的是時空的彎曲情況，而右邊則表達的是物質及其運動。“物質告訴時空怎麽彎曲。時空告訴物質怎麽運動。”（惠勒語）它把時間、空間和物質、運動這四個自然界最基本的物理量聯係了起來，具有非常重要的意義。
透過弱場近似以及慢速近似，可以從愛因斯坦場方程退化為牛頓重力定律。事實上，場方程中的比例常數是經過這兩個近似，以跟牛頓重力理論做連結後所得出。
場方程看似無所不能，其實就是一無所能：不能解釋宇宙膨脹，不能解釋暗物質，也不能解釋暗能量。
但是，場方程嬌羞地說：“我有幾個繡花枕頭。”
１、先看看什麽是史瓦西解：史瓦西度規，又稱史瓦西幾何、史瓦西解，是卡爾·史瓦西於1915年針對廣義相對論的核心方程——愛因斯坦場方程——關於球狀物質分布的解。此解所對應的幾何，可以是球狀星球以外的時空，也可以是靜止不旋轉、不帶電荷之黑洞（稱“史瓦西黑洞”）的時空幾何。 任何物體被壓縮成史瓦西度規將會形成黑洞。（一個繡花枕頭）
２、什麽叫雷斯勒-諾德斯特洛姆度規：雷斯勒-諾德斯特洛姆度規是廣義相對論中描述描述靜態球對稱帶電物體的引力場的度規，是廣義相對論的一個著名的精確解，是雷斯勒（H.Reissner）以及諾斯特朗姆首先提出的。具有這樣的度規形式的黑洞稱為雷斯勒-諾德斯特洛姆黑洞。（兩個繡花枕頭）
３、什麽叫克爾解：廣義相對論中，克爾度規或稱克爾真空，描述的一旋轉、球對稱之質量龐大物體（例如：黑洞）周遭真空區域的時空幾何。其為廣義相對論的精確解。（三個繡花枕頭）
４、什麽叫弗裏德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規：羅伯遜-沃爾克度規是H.P.羅伯遜和沃爾克分別於1935年和1936年證明的。（四個繡花枕頭）
５、什麽叫德西特宇宙：1917年，荷蘭天文學家德西特繼愛因斯坦之後提出的一個宇宙模型。它與愛因斯坦靜態宇宙模型一樣，認為宇宙的空間不隨時間而變，故屬靜態型。但是，它又認為宇宙的物質有運動，不過物質的平均密度趨近於零。在這些條件下，求解愛因斯坦引力場方程，得德西特靜態時空度規。（五個繡花枕頭）
６、什麽叫哥德爾宇宙：哥德爾的宇宙表明，宇宙的旋轉以一種極端的方式扭曲了空間，以至於把時間都閉合了。哥德爾證明，這樣的宇宙滿足愛因斯坦場方程，但不滿足牛頓引力。（六個繡花枕頭）
７、什麽叫托布-NUT度規：托布-NUT度規是一個愛因斯坦場方程的精確解，為廣義相對論的框架下所建構出的宇宙模型。（七個繡花枕頭）
８、什麽叫反反德西特空間：數學與物理學中，一個n維反德西特空間，標作AdSn為一最大對稱的洛倫茲流形，具有負常數的數量曲率。其為雙曲空間的洛倫茲類比，一如閔可夫斯基空間與德西特空間分別為歐幾裏得空間與橢圓空間的類比。（八個繡花枕頭）
但是，場方程的粉絲不樂意了：“什麽？這是繡花枕頭嗎？！這是八大金剛！！！”
拜托，這個場方程真要是身強體壯，給我們幹點實事好嗎？
粉絲問了：“幹什麽實事？”
“告訴我們暗物質是什麽？”
“不知道。”
“告訴我們暗能量是什麽？”
“宇宙學常數。”
“具體一點好嗎？”
“不知道。”
看來，愛因斯坦場方程是個美人，但是不幹活。
強烈反駁：“看起來美，就夠了，已經讓你賞心悅目了，還需要幹一些體力粗糙活嗎？”
“GPS全球定位係統必須進行相對論修正，否則就不幹活。”（這個回答，仿佛有人要舉手反駁。但是，無論如何還是信了。否則，真的是.........）
回答讓我心服口服，無地自容。仿佛我娶了一個絕世美女，還天天要求她幹一些粗老笨重的體力活。這裏有地縫嗎？
補記：愛，哎，唉，哀，......舉世敬仰了一百年的一個高大上，原來是一個金玉其表，敗絮其中的繡花枕頭。最好的安慰就是：有個繡花枕頭就不錯了，還想怎的？
其實，愛因斯坦的場方程的理論很完美，數學結構很完整：
在找尋這個方程時,愛因斯坦要用到一個很重要的對稱原理叫做等效原理,就是說這個引力方程無論用什麽坐標去描述都有同樣的結果。這個原理在伽利略時代已經開始討論,而且實驗也得到證實。有了這個原理後,我們推廣牛頓方程,這個方程用一個Poisson方程來描述,左邊由Laplace算子作用在引力場來表示,右邊是物質分布的密度。由於愛因斯坦的方程在引力不是很強的時候,需要還原到牛頓方程。和牛頓力學比較後,愛因斯坦發現方程一邊需要由引力張量表示,另外一邊則需要是物質張量。我們要找到廣義相對論中這兩個場怎樣描述,引力場的勢能由一個黎曼度量來描述,物質場應當是引力場的微分得出。(如果不是微分,場方程不再是局部方程,會產生奇怪的現象。)從牛頓方程看,最自然的是二次微分。我們的結論是物質張量是引力張量的二次微分得出來的,由於等效原理,它必須是個張量。
愛因斯坦堅持讓Grossmann幫忙去尋找從一個黎曼張量通過二次微分得到新的張量的可能性。最後Gross-man在圖書館找到了這個張量:在19世紀時意大利幾何學家Ricci 發現了一個後來以他的名字命名的張量叫做Ricci張量,它是黎曼曲率張量的二次縮並得出來的張量。於是愛因斯坦和Grossmann在1912年和1913年寫下兩篇文章。
在1914-1915年間,愛因斯坦不停地找幾何學家幫忙,其中著名的有Levi-Civita 和Hilbert ,都是名家。尤其是他和Hilbert的討論對廣義相對論的貢獻極度重要。事實上,Hilbert在1915年11月20日,比愛因斯坦還要早5天在Gottingen科學院宣布他找到引力場方程,並找到推導方程的拉格朗日算子a lagrangian。(愛因斯坦聽到這個事情後,在11月25日於柏林宣布他的結果。)這事引起愛因斯坦的不滿,但是愛因斯坦熟悉這個場方程的物理意義,用它來解釋了一直懸而未決的水星進動角問題。所以Hilbert也認為應當叫這個方程為愛因斯坦方程。其實這個方程就是上述的Ricci張量減去它的跡乘以1/2的度規張量。為什麽要加這個項?因為隻有這樣,方程才能夠滿足物質守恒律,而且這個定律可以由Ricci理論的一個恒等式推導出來。
幾年後愛因斯坦為了建立一個靜態的宇宙學模型,就修正他的方程;在左邊加上一個常數乘上引力張量,這個常數叫做宇宙學常數。當1929年天文學家Hubble 用望遠鏡發現宇宙的確在不斷膨脹時,愛因斯坦說他一生最不應當做的事，就是引進了這個常數。
這是曆史上一個很有趣的事情,直到20世紀80年代,一般物理學家認為宇宙常數必須是零,同時宣稱這是人類觀察自然界得到的最準確的數據。但是在20世紀90年代發現暗能量的現象,有很多物理學家認為用非零的宇宙常數可以解釋暗能量。無論如何,宇宙常數是否是零仍舊是一個重要問題。
從以上丘成桐的敘述中，我們不難發現，這個場方程美女的確是係出名門（與Hilbert沾邊就是數學貴族），其優秀不必懷疑，我們唯一懷疑的是她的幹家務能力。
有人可能會問，別的美女幹家務活怎麽樣？算是問著了，牛頓的萬有引力理論，不僅美輪美奐，而且幹家務活的能力超強！！！！！（家務活是什麽？就是具體應用，實際應用。）
“還有別的美女嗎？”
“有，還有一位絕世美女”。
“誰呀”？
“麥克斯韋方程組”。
“幹家務嗎”？
“幹，現代理論後院的家務都是她幹的”。
“也就是說，沒有她打掃後院，現代理論都不太幹淨”。
“說的真對”。
當然，言之鑿鑿的也有：
簡單地說，GPS工作的原理，就是衛星從G鍾讀出示數後，先加上相對論修正項變成，然後發出信號。信號還應包含發信時衛星的空間坐標以便用戶求解傳播延遲方程，達到定時定位授時的目的。因為GPS發給地麵上用戶的時空坐標是經過相對論修正的，所以開頭“坐標”一詞加了引號。 衛星即便接近第一宇宙速度，也遠小於光速，而且衛星軌道處地球引力也不大，相對論效應難道不是非常微弱嗎？非修正不可嗎？計算表明，由於相對論效應，GPS搭載原子鍾每天比赤道上用戶的鍾快38μs，但用戶終端與衛星通過光速傳遞信號，38μs × 光速 = 11.4km 。其他答案有提到，這個11.4km 實際上並不代表每天累積 11.4km 的定位誤差，由相對論效應帶來的誤差要比這遠小得多。當然，作為誤差修正的一環，我們完全可以說GPS和相對論的應用有關。 綜上，即便是手機上一個簡單的GPS定位服務也是有大學問的。
作者：Yang Hong
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謝謝，
王令雋評論：
1）所謂的相對論修正如果小得比其他理論計算的誤差還小，就毫無意義。我在《廣義相對論百年》一文中對水星近日點移動的分析就說明了這一誤差理論的基本原理。對GPS係統的所謂相對論修正也必須遵循這一誤差理論。實驗測量到的水星近日點的移動為每一百年5600弧秒。經典力學算出的理論值為5557弧秒，比實驗值差43弧秒，約 0.8%。但是經典計算所用的模型的誤差範圍應該遠大於0.8%， 所以相對論修正（43弧秒）毫無意義。對GPS係統的相對論修正到底是多少（狹義相對論修正和廣義相對論修正必須分開列出），經典計算的誤差範圍是多大，業內人士最好給出具體數值，才好評估。
2）不同的定位衛星處於不同的經度和緯度才能定位。這些衛星的線速度的方向是不一致的，甚至可以是互相垂直的。這些衛星和地球上的對象之間不存在慣性係之間的關係，而狹義相對論的愛因斯坦延緩隻適用於慣性係。相對論不能處理轉動坐標係。
3)因為定位用差分觀測法消掉衛星鍾誤差，不需考慮相對論影響.
4）因為相對論的權威，許多人會盡量拚湊證據，以圖嘩眾取寵。愛丁頓就是典型。所以，100個人宣稱證實了相對論並不奇怪。一億個人宣稱看到了基督或者佛祖，也不能看作是實驗證據。我在《廣義相對論百年》一文中對廣義相對論的幾個經典的關鍵實驗作了具體的分析，指出了這些所謂“實驗證據”的漏洞和疑點。其他所謂證據也要以同樣的精神來剖析質疑。當然，因為信眾很多，“見證”可以源源不斷。您不可能一個個證偽。你今天證偽了，明天又會有新的見證出來。所以，從理論和邏輯上揭露相對論的錯誤就十分重要。一旦我們從理論和邏輯上認識了相對論的荒謬，就沒有必要對所謂的“實驗證據”逐一證偽了，一如我們如果從理論和邏輯上認識到神學和星相學的謬誤，就沒有必要一天到晚對信眾們的“見證”去證偽一樣。我的《廣義相對論百年》就是為了對廣義相對論的邏輯和理論提供一個係統而深刻的分析。此文的英文版 將在今年12月發表在 Physics Essays 上（Volume 28, No. 4, pp421-442). 初稿掛在我的英文博客上（https://www.academia.edu/12065238/Hundred_Years_of_General_Relativity_–_A_Critical_View）。英文版和中文版略有不同，比如對時空的平坦性的討論更詳細一些。因為中西方文化和思維習慣的差異，英文版的行文風格也有些不一樣。
謝謝，
謝謝介紹!