悖論的啟示

悖論雜談 - 消失的方塊

特有理

2014-11-18

悖論，是在哲學思考中必然出現的一種無法簡單判定對錯，但又引人深入思考的哲理性問題。悖論的英文Paradox，最早的中文翻譯是：似是而非；而英文的原意則是：似非而是。隨著網絡的發展和東西文化交流的深入，象牙塔內的哲思問題被迅速擴展至世界範圍，Paradox也有了新的含義。就像中文“悖論”這種全方位的表述，Paradox的詞義也被修正為既包含似非而是，也包含了似是而非的思辨矛盾狀態。悖論的出現，往往不僅是社會語言表達的不嚴謹或邏輯關係的不洽和，其深層次的原因是相同邏輯體係的缺陷（bug），以及不同邏輯體係的矛盾衝突所造成的。

原始的哲學悖論，主要產生於自然語言的不嚴謹和哲學邏輯體係的不完善；而近代的科學悖論則反映出科學係統中細微誤差所導致的深入性矛盾和不同理論模型之間的不契合。

正如Wikipedia上解釋的：“Most logical paradoxes are known to be invalid arguments but are still valuable in promoting critical thinking，許多已知不能自洽的邏輯悖論仍然具有引人思辨的價值”。悖論的存在向人們展示了人類文明發展中，思維軌跡上的關鍵點和矛盾點。同時，悖論的成因也揭示了人類語言表達的誤差，特別是思維方法上的種種缺陷。即使經典的悖論有不少已經有了明確的解答，但相同實質、不同表達形式、不同表達方式、不同複雜程度的悖論仍然不斷出現在社會思維的各個方麵。許多經濟和政治性的悖論，不但造成社會的思想矛盾，往往還會造成社會的動蕩及流血的衝突。馬克思的《資本論》就是一個典型的政治經濟悖論，它的出現不但造成了全球範圍內社會階層的衝突，更造成了數以億計的生命消隕和世界性的軍事對立。

深入剖析一些經典的悖論，有助於我們找到人類思維中，原始起點失之毫厘的誤差所在。麵對日益複雜的社會結構，以及高速發展的科學技術，修正基礎思維的偏差是防止人類不被自身文明摧毀的必要措施。

1、消失的方塊

          
 【圖1】

這個圖形遊戲是由美國魔術師Paul Curry在1953年發明，後又被美國數字遊戲專家Martin Gardner在雜誌《New York City》中予以介紹的智力遊戲。圖中顯示：當把不同顏色的圖塊重新拚接後，如下圖：圖形底邊有一個單元的方塊竟然缺失了。在視覺感官上，每個色塊的形狀和尺寸都沒有任何變化，圖形的邊角尺度範圍也還是在相同的標格上。但消失的方塊到哪去了呢？這雖然是一個幾何方麵的魔術，但同樣也可以看做是一種視覺上的悖論，因為在人們幾何學的印象中，簡單的拚接轉換是不會影響圖形整體麵積的。而當我們把上圖的“三角形”進行鏡像對拚時就會發現：在接合麵之間出現了一條縫隙。原來謎底在於紅、藍兩個三角形銳角的角度有細微的差別，因此，兩個三角形在拚接出的斜邊並不是真正的直線。也就是說，四個色塊拚出的圖形並不是真正的三角形。根據幾何學的常識可以判定：上圖的斜麵是向下凹的；下圖的斜麵則是向上凸的。消失的方塊部分被巧妙地轉移到了紅、藍三角形所拚接的斜麵上。而小方塊的形狀，從正方形變成了一個具有接近180^o大鈍角的平行四邊形。這個扁扁的平行四邊形麵積，實際上就等於一個單元格的麵積。

【啟示1】：通過分析得出，【圖1】上邊的“三角形”實際上是一個似是而非的偽三角形。拋開原設計者的魔術意圖，這個圖形的經典意義在於通過視覺的直觀描述，向世人展示出：人的直觀感覺，在對事物的分辨率上是有極限的。也就是說，人對事物感知的準確度與現實存在有誤差。就像圖中的斜麵而言，人通過眼睛很難判定那是不是一條真正的直線。如果沒有圖塊的重新拚接，隱藏的問題是不容易暴露的。要想檢驗圖形是否符合直角三角形的定義，人們需要借助幾何知識，以及相應的測量工具。在人類科技工程的實踐中，有這樣一個現象：越是精密的檢驗，越需要更多的科學模型的積累；越是複雜的驗證，越需要更廣泛的科學基礎。也就是說：人的認知精度越高，所需的知識就要越多；或者推論說：要想認知的誤差趨於零，所需的知識便會趨於無窮。這會不會導致哲學的一個基礎性的悖論，即：世界不可知論？希望在後麵的探討中予以判斷。但是可以肯定的是：人的認知誤差，必然會導致思想的誤差和行為的誤差，進而便會導致人的思想矛盾和社會衝突。“天圓地方”這個觀點曾經是古人類普遍的認知，“地球是宇宙中心”的思想也曾經神聖不可侵犯，質疑者還曾付出了生命的代價。中國古代的法家代表商鞅推崇“農戰”思維，認為民眾對知識的追求將會導致社會的混亂，主張愚民以強國。雖然這個方針使秦統一了中國，但秦的勝利卻使中國從此被叢林法則所束縛，使得幾千年的中國文化中缺少了科學的元素，進而導致了中國目前與先進文明的巨大差距。

【啟示2】：在某種表達方式中的細微差別，在另外表達方式中的反映有可能很明顯；反之，在某種表達方式中很明顯的差別，在另外表達方式中可能會變得不易察覺。在圖中，表現的就是三角形的角度和圖形麵積的差別。我們可以計算一下紅、藍兩個直角三角形（假設圖中標格是精準的），其中底邊與斜邊夾角的差別來體會一下。
設底邊與斜邊的夾角為θ，其中紅色的為θ_r，藍色的為θ_b。則：tg (θ_r) = 3/8,
tg (θ_b) = 2/5; 因此：θ_r = tg^-1，(3/8), θ_b = tg^-1 (2/5); 得出：θ_r = 20.556^o；θ_b = 21.801^o

兩個角度的差為：Δ θ = |θ_b – θ_r| = |21.801^o - 20.556^o| = 1.245^o

與算數平均值的差比為：Δ θ/ (|θ_b + θ_r|/2) = 5.88%。

在麵積方麵，設標格的單位長度為1，可以相對簡單地得出：

偽三角形的麵積：S₁ = (5x13) / 2 – 1/2 = 32

如果是真正的三角形，其麵積：S₂ = (5x13) / 2 = 32.5

麵積差為：Δ S = S₂ - S1 = 32.5 – 32 = 0.5

與算數平均值的差比為：Δ S/ (|S₁ + S₂|/2) = 1.55%

計算的數據顯示：麵積的差比甚至比角度的差比還小，但正是由於下邊圖塊的拚接方式發生了改變，也就是位置的表達方式發生了改變，角度的誤差就很明顯地通過缺失的方塊表現了出來。

但是，這並不是說麵積的差異一定比角度的差異更容易識別。設想比較上下兩個圖形的包絡麵積，也就是重新拚接後的缺口被掩蓋時，僅憑肉眼幾乎無法發現兩個圖形的差別，無論是角度，還是麵積。這就給了我們另一個啟示。

【啟示3】：要想判別一個事物是否為另一個事物的不同表達方式，也就是其本質是否一樣時，必須確定二者的基本模塊或基本分量元素是相同的。在這個問題中，我們首先要驗證的，就是【圖1】上邊的四個色塊在變換位置後，有沒有被近似的圖塊所替代。此題中的標格給了我們檢驗的標準。值得注意的是：給出的標格是我們憑視覺做出判斷的最大精度，也就是說我們隻能通過標格度量出的信息進行判斷，即三角形及多邊形的邊長是什麽樣的長度關係；但是我們無法分辨出色塊自身的幾何特性是否被巧妙地篡改，如每個三角形色塊本身的斜邊是否真正是直線? 這也印證了【啟示1】中的描述。

這個啟示給了人們思辨中一個必要的原則，從而使得我們的思維不至於在事物表達形式的變換中迷失。這個原則之所以重要，一方麵是因為人類自身表達方式的多樣化並具有誤差的自然分布；一方麵也是因為人的認知水平在不斷提高，對事物的描述和表達也會不斷變化；更是因為有的人會在轉換表達方式時，故意對事物的某些模塊進行巧妙地篡改，從而最終達到完全改變事物概念的目的。

【啟示4】：在事物的描述中，有些誤差是絕對的，有些則是相對的。很大的相對誤差，有可能來自於很小的絕對誤差。根據幾何常識，角度的誤差是不會雖空間尺度的變化而變化的，這是一個非常奇妙的自然現象。最常用到的實例，就是放大鏡無法將角度放大。（其中的涵義希望有機會深入探討）。然而圖中方塊的尺寸是相對的，它的尺度可以是一毫米，也可以是一光年。可想而知，這樣的誤差在大尺度時，會對人們產生什麽樣的影響。根據這個啟示，我們應該在遇到任何問題時，都要對任何細微的誤差和描述的差別予以重視，因為它很有可能就是災難性後果的根源。同時，更要警惕故意而為的微小誤差和蓄意淡化的細節差異。

確定差異的性質是非常關鍵的一部，其中涉及事物的相關性和時序過程的數學描述。這需要後續的詳細解析。在這個圖形的問題中差異的性質是直觀的，因而也很容易判定。在現實問題中，能夠用數學模型描述的事物，也可以通過數學分析將誤差性質予以確認。難點是那些目前還不能用數學模型描述的事物，如人文、社會、政治。因此，創立對這類事物的建模理論將會極大推動人類文明的發展。

經過以上的鋪墊，希望之後的悖論解析更加明確和透徹。