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自己考慮問題的一些心得
1 引言
由於集合論悖論的存在，使人們認為概括公理（comprehension axiom）不能保證集合的存在。但如果現在將概括公理修改為：
公理：設P(x)是定義於考慮範圍的一個性質，S是由具備性質P(x)的對象所構成的聚集，如果在考慮範圍內不存在使等價關係表達式 x∈S↔P(x) 取值為假的對象，則S構成一個集合。
那麽，改進後的概括公理就能避免集合論悖論。這是本文的基本觀點。
羅素悖論的集合R的定義為R={x|x∉x}，上述公理的表達式對於羅素悖論的集合R在對象R時為R∈R↔R∉R，其值為假。因此羅素悖論可以被避免。本文還將證明，導出羅素悖論的過程是一個邏輯錯誤。因此羅素悖論也不成立。
更進一步，集合論中的三個主要悖論，羅素悖論，基數悖論，和序數悖論，都可以由上述公理來解決。
上述公理可以否定康托爾的冪集合基數定理的普遍有效性。事實上，康托爾在證明該定理時所使用的一個集合不是一個集合。因此他的證明無效。本文還將舉出反例來證明該定理不是普遍成立的。因此基數悖論不成立。
所有序數的聚集按上述公理的條件不能構成集合。因此，所有序數的集合問題也可以被上述公理所避免。本文還將證明，導出序數悖論的過程也是一個邏輯錯誤。因此序數悖論也不成立。
等價關係是兩個命題之間同真同假的一種關係。真也可以用1來表示，假用0表示，以下將不加說明地混合使用1和真，0和假。等價關係通常用符號↔來表示。如果a和b分別為兩個命題，則a和b等價通常記為a↔b，這時人們可以從a為真的前提得出（推斷出）b為真的結論，也可以從a為0的得出b為0。反過來也一樣，可以從b為1得出a為1，也可以可以從b為假得出a為假。今後將這種推出相同取值推斷稱為根據等價關係的推論。 在命題邏輯中，等價符號↔也被當作一個運算符來使用，因此等價關係的記法a↔b也是一個表達式。等價運算的真值表是： a↔b b 0 1 a 0 1 0 1 0 1 即當a和b取值相同時，a↔b取值為1（真），表示存在等價關係。當a和b取值不同時，a↔b取值為0（假），表示不存在等價關係。當存在等價關係時（a↔b取值為1時），人們可以在a和b之間按等價關係進行推斷。但如果表達式a↔b取值為0，則說明等價關係不存在，這時人們就不能按等價關係進行推斷了。因此在根據等價關係表達式a↔b進行推論時，注意該表達式的取值是很重要的。如果該表達式的取值為0，則不能根據等價關係進行推論。根據真值表，在知道a, b和a↔b中任意兩個的取值時，就可以推斷出第三個的取值，這是根據等價關係進行推論的依據。 如果f(x)和g(x)為兩個命題函數，這裏的命題函數，是指取值為真或假的函數，而它們的自變量x則不必是一個命題，可以是取值於某個考慮範圍的對象（object），則表達式f(x)↔g(x)也是一個命題函數。如果對於對象a，表達式f(a)↔g(a)取值為1，則稱函數f(x)和g(x)在a點存在等價關係，如果取值為0，則稱它們在a點不存在等價關係。如果對於所有考慮範圍內的對象x，表達式f(x)↔g(x)的取值都是1，則稱函數f(x)和g(x)之間存在等價關係。如果f(x)和g(x)之間存在等價關係，則可以由f(x)的取值按等價關係去推斷g(x)的取值，也可以由g(x)的取值按等價關係去推斷f(x)的取值。但如果存在對象s使表達式f(s)↔g(s)取值為0，則f(x)和g(x)之間不存在等價關係，特別地，這時不能由f(s)的取值按等價關係去推斷g(s)的取值。2 等價關係，真值表，和根據等價關係推論
3 集合的定義
集合在開始時被認為就是對象的聚集（collection）。由於集合可以包含任何對象，而在討論具體問題時人們沒有必要考慮宇宙萬物，所以在考慮具體問題時，通常引入考慮範圍對對象加以限製。例如，在考慮數的問題時，沒有必要考慮動物和建築物等對象，可以將考慮範圍限於數。自從出現集合論悖論後，人們發現，用有些性質定義的集合存在矛盾，因此又將集合和聚集分成兩個概念，集合隻包含那些沒有矛盾的聚集。可惜的是，至今人們不知道如何正確地定義一個集合，以保證集合的存在。如何判斷一個聚集是否構成集合，是本文所要處理的問題。
定義一個集合S，就是要對考慮範圍內的每一個對象x，確定命題x∈S的取值，如果確定x∈S為真，則對象x屬於被定義集合S，或稱x是S的元素，如果x∈S為假，則x不屬於S。在定義集合之前x∈S是沒有取值的，並且是可以由集合定義完全自由地確定其取值的。人們通常用性質來定義集合。性質P(x)是一個定義於考慮範圍，並取值於真或假的函數。用於定義集合的性質稱作期望性質，是人們期望所定義的集合所擁有的性質。如果對象a具備期望性質，則P(a)=1（真），否則P(a)=0（假）。用性質P(x)定義的集合S可以記為S={x|P(x)}。集合由所有使性質P(x)取值為1的對象構成。 當人們用性質定義集合時，事實上隱含地確立了一個對象關於所定義集合的從屬關係和對象是否具備期望性質之間的等價關係，即： x∈S↔P(x) (1) 這一等價關係的含義是，對象x屬於集合S（x∈S為真或1）當且僅當對象x具備期望性質（P(x)為真或1）。當人們應用集合的定義進行推論時，例如，當人們說對象a使P(a)=1，根據集合S的定義有a∈S時，所依據的就是這個等價關係。也就是說，應用集合定義進行推論，就是在假設等價關係成立的前提下作根據等價關係的推論。因此，保證作為前提條件的等價關係式(1)成立是很重要的。如果沒有這個等價關係，人們就不能應用集合定義進行推論。那樣的推論是沒有了邏輯依據的。 人們之所以無限製地使用集合定義，是因為人們認為等價關係式(1)在全考慮範圍內總是成立的。人們之所以這麽認為，是因為人們認為該等價關係的左邊x∈S是可以自由取值的，隻要根據右邊P(x)的取值給左邊x∈S取適當的值，就總能保證等價關係的成立。根據這一隱含的考慮形成的一種觀點是，人們以等價關係式(1)在全考慮範圍內總是成立為依據，根據P(x)的取值對x∈S的取值作根據等價關係的推斷，再以所得的結果去定義x∈S的取值。給x∈S取適當值以保證等價關係成立，或根據等價關係推斷x∈S取值以定義x∈S，在沒有下麵將要提到的奇點時，是等效的。但人們的這一隱含的考慮是不夠周到的。有些特殊的期望性質，對於某些特定的對象，會使等價關係式(1)的兩邊發生關聯，從而使得左邊x∈S被固定為右邊P(x)的反麵，從而使得等價關係不能成立。例如羅素悖論的期望性質P(x)=x∉x在對象為被定義集合R時，就使等價關係式(1)成為R∈R↔R∉R，其值為假。這是因為，對象R被同時代入左邊和右邊，使得左邊被固定為右邊的反麵，從而使得等價關係不能成立，其表現就是使等價關係式(1)取值為假(0)。正是由於人們在期望的等價關係式(1)不成立時應用R的集合定義，才導致了羅素悖論。 使等價關係式(1)取值為假的對象稱為奇點。在奇點處集合定義所隱含地依賴的等價關係不成立。被定義集合在奇點處還沒有被定義，之所以還沒有被定義，是因為它不能由期望性質來定義。因此人們不能在奇點處應用集合定義進行推論，否則就是犯了推理的邏輯錯誤，因為這時推理所依據的等價關係是不成立的。這正是為什麽本文的公理要求在定義集合時，對不存在奇點進行檢驗的原因。表達式(1)也稱為奇點檢驗表達式。 如果沒有奇點，則集合定義所隱含的等價關係在全考慮範圍內成立。人們可以安全地應用集合定義。因此，本文否定集合論內部存在內在缺陷的觀點。 在一般情況下，奇點檢驗表達式並沒有固定的取值。這是因為在一般情況下，該表達式左邊x∈S是可以自由取值的，而集合定義正是通過使左邊取適當的值以保證該等價關係成立的。但奇點是一種特殊情況，它使左邊和右邊發生關聯，從而使得無論左邊x∈S如何取值，該表達式的值都被固定為假。因此要證明對象a為一奇點，就是要證明將a代入奇點檢驗表達式後的表達式a∈S↔P(a)總為假。為此，可以分a∈S為真和a∈S為假兩種情況分別計算a∈S↔P(a)的取值，如果在這兩種情況下的計算結果均為假，則對象a為一奇點，隻要有一種情況的計算結果為真，則對象a不是一個奇點。 現以羅素悖論為例，證明羅素集合R是一個奇點。將R代入羅素集合的奇點檢驗表達式後得R∈R↔R∉R。如果R∈R為真，則右邊R∉R為假，左邊真，右邊假，等價關係不成立（等價關係表達式取值為假）；如果R∈R為假，則右邊R∉R為真，左邊為假，右邊為真，等價關係也不成立；因此奇點檢驗表達式為假，R為一奇點。 如果s是一個奇點，則s∈S↔P(s)總為假，也就是說如果假設s∈S為真，則P(s)為假；如果假設s∈S為假，則P(s)為真。而這與集合定義是相反的。如果在這時應用集合定義進行推論，則由s∈S為真的假設，會得出P(s)為真的結論，這就與P(s)為假的計算結果相矛盾了。同樣由s∈S為假的假設，也能推出類似的矛盾。因此不能對奇點s應用集合定義，也不能用集合定義討論奇點是否屬於被定義集合的問題。這樣做都是犯了邏輯錯誤的。 可以再舉一個反麵的例子來說明奇點檢驗不會檢出錯誤的奇點。設F為偶數的集合，即F={x|x為偶數}，試檢驗3是否為奇點。將3代入奇點檢驗表達式得3∈F↔(3為偶數)，如果3∈F為真，右邊“3為偶數”為假，左真右假，等價關係不成立；如果3∈F為假，右邊“3為偶數”仍為假，左假右假，等價關係成立；因此3不是一個奇點。
4 羅素悖論
羅素悖論是最有影響的一個集合論悖論。因為它隻涉及集合的定義和元素的從屬關係，所以自從它出現以後人們才真正相信樸素集合論有問題了。
羅素悖論：考慮由所有不包含自己的集合構成的集合R={x|x∉x }。如果R∈ R，根據定義應有R∉R；如果R∉R，則R滿足定義R的性質，根據定義應有R∈R；矛盾。
前麵已經討論過，R是羅素集合的一個奇點，因此性質P(x)=( x∉x)不能定義一個集合。因此本文的公理可以避免討論羅素集合R。
但羅素悖論不是一個悖論，因為導出羅素悖論的過程包含邏輯錯誤。前麵已經討論過，在奇點處應用集合定義討論奇點是否屬於被定義集合是沒有邏輯根據的，因為在奇點上應用集合定義所依賴的等價關係不成立。由邏輯錯誤而導出的矛盾不能成為一個真正的悖論。
在等價關係失效的時候應用等價關係去推出矛盾，作為證明等價關係失效的一種更直觀的反正法是可以的。但得到的結論，應該是等價關係失效了。並就此停住。但如果忽略了等價關係失效這一事實是使期望性質不能定義集合這個問題的根本原因，那就會因失去了認識問題的鑰匙而陷入疑惑的迷霧之中。如果要繼續追究為什麽會發生等價關係失效這樣的現象，這也是可以的。但那已經不是集合論的問題了。就集合論而言，追究到等價關係失效就已經可以了。接下來的工作，應該是找到如何識別什麽樣的期望性質不能定義集合這一問題的方法。如果有了識別問題的方法，那麽期望性質就被分為可以定義集合的和不能定義集合的兩類。而集合論隻研究可以定義集合的這一類。因此，就集合論而言，問題就已經解決了。本文所提出的公理，就是解決問題的一種嚐試。
正是由於忽視了在奇點處集合定義所隱含的等價關係不成立這一基本事實，而在奇點處濫用集合定義，才導致了羅素悖論的矛盾的結果。而由於缺乏對產生矛盾的原因的正確認識，才產生了集合論內隱含矛盾的誤解。而這一誤解竟然困擾了人們一百多年，這真是一件令人匪夷所思的事實。
5 基數悖論
基數是有限集合的元素個數這一概念推廣到無窮集合後的概念。可以把基數當作集合的元素個數這一概念來考慮。集合S的基數通常用|S|來表示。以集合S的所有子集為元素構成的集合稱為集合S的冪集合，記為M(S)。基數理論有一個著名的康托爾定理：集合的基數小於其冪集合的基數。也就是|S|<|M(S)|。根據這一定理，任何集合的冪集合都是一個更大的集合（基數更大的集合），因此不存在最大的集合。
康托爾證明他的定理的要點是，證明由S到M(S)的任何映射，都不可能覆蓋整個M(S)，即對任意一個由S到M(S)的映射f(x)，都可以找到一個S的子集L∈M(S)，但不可能存在元素a∈S，使得f(a)=L。因而證明的任務就是找到這個L，並證明不存在那個a。L的構造是L={x|x∉f(x)}，即L由不屬於自己映像的那些元素構成。現在看哪個S的元素a能映射到L。設存在a使得f(a)=L，如果a∈L，那麽根據L的定義a∉f(a) ，而f(a)=L，因此a∉L，這與a∈L的假設矛盾；如果a∉L，由於f(a)=L，應有a∉f(a)，那麽同樣根據L的定義，應有a∈L，又與a∉L的假設矛盾；a是S的元素，L是S的子集，因此a∈L或a∉L二者必居其一，而前麵的證明顯示這二者都不可能，這一矛盾說明，使f(a)=L的a是不存在的。
基數悖論：考慮以所有集合為元素的最大集合U，U的子集也是集合，因此也是U的元素，因此U的冪集合M(U)是一個由U的元素構成的集合，因此M(U)也是U的一個子集。因此|M(U)|≤|U|，但由康托爾定理可知，|U|<|M(U)|，矛盾。
基數悖論是由康托爾定理證明的。質疑基數悖論就是質疑康托爾定理。質疑康托爾定理可以從檢驗康托爾的證明所構造的集合L是否為集合開始。集合L的奇點檢驗表達式為x∈L↔x∉f(x)。對於元素a該表達式為a∈L↔a∉f(a)。由於f(a)=L，因此有a∈L↔a∉L。該表達式的值為假，即a是集合L定義的一個奇點。也就是說L不是一個集合。而康托爾的證明正是由在奇點處應用集合定義討論奇點是否屬於被定義集合而導出矛盾的。這一過程本身就包含邏輯錯誤。因此將矛盾歸結為滿映射f(x)存在的假設是不充分的。由此可知，康托爾的證明不能證明他的定理。
否認康托爾的證明還不足以否定康托爾定理。這裏將舉出一個反例來否定該定理。試看由空集∅和被定義集合的真子集構成的集合Q，即Q={x|x=∅∨x⊂Q}。可以舉出一些Q的元素的例子：∅，{∅}，{{{∅}}}，{∅,{∅}}等。在Q的定義中使用Q隻是為了簡單明了，可以看出，Q的元素是所有可以用四個字符∅{,} 按集合的規則和含義書寫的表達式，Q本身除外，還允許使用…來表示無窮元素的子集。Q的奇點檢驗表達式為x∈Q↔(x=∅∨x⊂Q)，看不出有什麽可以成為奇點的元素。因此按本文的公理Q應為一集合。由於Q隻包含自己的真子集，所以Q不包含自己。如果限製冪集合隻由真子集構成，則可以看出，Q和M(Q)擁有完全相同的元素，即Q=M(Q)。因此Q可以反證康托爾定理。由於包含或不包含S本身的冪集合隻相差一個元素，因此Q也能反證正常定義的冪集合下的康托爾定理。
可以證明，實數集合的基數大於整數集合的基數。還可以證明，實數集合的基數等於整數集合的冪集合的基數，因此康托爾定理在整數集合這個無窮集合上是成立的。
由於康托爾定理不普遍成立，因此基數悖論也就不存在了。
6 序數悖論
良序是整數中每一個數都有下一個數的概念的推廣。下一個數也稱為後繼。這一概念使得整數可以排成一列，並一個個地數下去。實數雖然也能按大小排起來，但實數沒有下一個數的概念。這是因為，在比某個實數大的實數裏沒有最小的那一個數。因此，良序的性質應包括，序，即任何兩個元素都可以比較，和任何一個子集都有最小元素這兩點。具有上述兩個性質的集合稱為良序集。因此，良序集就是元素可以按序排起來，並一個個地數下去的集合。一般用小於符號<表示兩個元素之間的序的關係。序是嚴格可比較的概念，也就是說，如果a<b，則a≠b。
在現代序數理論裏，序數被定義為一種特殊的良序集，所用的序是集合的元素對於集合的從屬關係，即如果a和b都是序數，且a<b，則a∈b，也就是說，a是b的元素。考慮到序數a∈a就是a<a，而這是違反良序規定的，因此序數不能以自己為元素。一個序數被定義成一個集合，它由所有小於它的序數構成。最小的序數被定義成空集∅。如果G是一個序數，那麽用命題表達式來表示就是(G=∅)∨(∀a<G(a∈G))。
通常用整數的符號0,1,2,… 來表示比較小的序數。注意，這裏1不是一個整數，而是一個符號，它表示一個序數。可以舉出一些序數的例子。空集∅是最小的序數，記為0。0的後繼包含0，因此是{∅}，記為1。1的後繼包含0和1，因此是{∅, {∅}}，記為2。2的後繼包含0, 1和2，因此是{ ∅ , {∅}, {∅, {∅}} }，記為3。可以這樣一直推下去。但完全展開太複雜了，可以用簡式的展開，例如：7={0,1,2,3,4,5,6}。所有如此定義的由整數符號表示的序數的集合為{0,1,2,3,…}也是一個序數，稱為整數序數，記為ω。ω的後繼是{0,1,2,3,…,ω}，如果再繼續，這種記法就不方便了，現在需要換一種記法，ω的後繼記為<1,0>。為統一記法，可以將前麵的序數也記為二元記法。例如，1可以記為<0, 1>，ω記為<0, ω > 等。二元記法及後麵的多元記法的比較規則是，從左到右一元一元地比，第一個不同的，就是比較結果。當然，隻能是相同元數的進行比較。少元數的總能等效地記為更多元數的記法。這樣，又可以從<1,0>排到<1,ω>，再從<2,0>排到<2,ω>。直至< ω,ω>。< ω,ω>的後繼是< 1,0,0>。如此還可以一直繼續下去。
這裏，序數n的後繼是由序數n構造出來的。構造的方法是，將序數n（一個集合）當作一個元素加進集合n裏以形成一個更大的集合。這個更大的集合就是n的後繼。這樣，序數n的後繼可以表示為n∪{n}。
一個序數n包含所有比它小的序數。反過來說，所有比序數n小的序數構成的集合，也就是序數n自己。這種包含從最小序數0直到某一個序數n之前的全部序數，中間沒有空缺，的集合稱為n的前段。n的前段就是序數n本身。這個前段的概念現在還是相對於一個序數定義的。如果把前段的概念一般化，使之脫離某個具體的序數，而成為一個序數的集合的概念，這樣就能反過來用前段去定義序數了。將前段的概念一般化是這樣的：設G是一個序數的集合，如果對於其中任一元素a，G包含所有小於a的序數，則稱集合G為一個前段。考慮到空集∅是一個特殊的前段,將這種前段的定義寫成命題表達式就是(G=∅)∨(∀a∈G(∀b<a(b∈G)))。例如，序數的集合{0,1,2}就是一個前段，它沒有引用3，但它定義了序數3。在前段的定義表達式中，由於a是序數，所以它包含所有比它小的序數，而對於序數，<和∈是等同的，因此可以將定義前段的表達式中的符號<換成符號∈，因此前段也可以記為(G=∅)∨(∀a∈G(∀b∈a(b∈G)))。如此表述後，前段的概念就被推廣成由從0開始直至某個沒有明確指明的點的所有序數的集合。而這個集合又符合前文關於序數的定義而成為一個序數：它以所有比它小的序數為元素。由這樣定義的前段所定義的序數，就是那個沒有明確指明的點的那個序數。在前文提到ω是一個序數時沒作更多解釋。現在可以用前段進行解釋，所有用整數符號表示的序數的集合{0,1,2,3,…}是一個前段，所以ω是個序數。如果在一個前段裏存在最大序數m，則該前段就是由m及所有小於m的序數構成的集合，它定義了序數m的後繼。但這並不是前段的主要意義。前段的主要意義在於當序數的集合中不存在最大序數時，它也可以定義一個序數，例如前麵的序數的集合{0,1,2,3,…}。像ω這樣的序數被稱為極限序數。它隻有下一個（後繼），但沒有前一個。
序數悖論：考慮所有序數的集合Ｏ。因為Ｏ包含所有序數，因而Ｏ構成一個前段，即Ｏ是一個序數。因此Ｏ∈Ｏ，即Ｏ<Ｏ，這與序數Ｏ是良序集的定義相矛盾。
試對Ｏ的定義進行奇點檢驗。如果采用序數的前段的定義並考慮到序數不能包含自己這一點，Ｏ的奇點檢驗表達式為x∈Ｏ↔(x=∅)∨(∀a∈x(∀b∈a(b∈x∧a≠x∧b≠a)))。檢驗對象Ｏ是否為奇點而令x=Ｏ得Ｏ∈Ｏ↔(Ｏ=∅)∨(∀a∈Ｏ(∀b∈a(b∈Ｏ∧a≠Ｏ∧b≠a)))。如果Ｏ∈Ｏ為真，則右邊a和b都可以取值Ｏ。令a和b都取Ｏ並簡化後得右邊為Ｏ∈Ｏ∧Ｏ≠Ｏ∧Ｏ≠Ｏ，其值為假，而左邊為真，因而等價關係不成立。這裏右邊為假也就是因為Ｏ包含自己，所以不再是序數的意思。如果Ｏ∈Ｏ為假，則右邊a不能取Ｏ，於是a≠Ｏ總為真，a是序數，不會自己包含自己，因此b也不會取a，於是b≠a也總為真，Ｏ包含所有序數，所以無論b取何值b∈Ｏ總為真，因此右邊(b∈Ｏ∧a≠Ｏ∧b≠a)總為真，所以右邊為真，而左邊為假，所以等價關係又不成立。所以Ｏ是Ｏ的定義的一個奇點。因而Ｏ不是一個集合。由於Ｏ的定義包含奇點，所以本文的公理可以避免討論全體序數的集合這樣的問題。
現在看序數悖論的矛盾是如何導出的。如果Ｏ不包含Ｏ，則Ｏ是一個序數，沒錯。但由此應用Ｏ的定義而得出Ｏ∈Ｏ，恰恰是犯了在奇點Ｏ處應用Ｏ的定義討論奇點Ｏ是否屬於被定義集合Ｏ的的錯誤。由前麵的分析可知，序數悖論也是一個邏輯錯誤而不是一個真正的悖論。
還值得順便一提的是，序數都是本文前麵定義的集合Q的元素。序數的全體不構成一個集合，這說明存在這樣的性質，它不能在一個集合內定義一個集合。這一點反證了目前普遍相信的，在一個集合裏用性質定義的集合一定存在的觀點。
7 結論
奇點的發現，解開了集合論困擾人們至今的悖論的謎團。本文提出的經改進的概括公理可以保證所定義的集合存在。這使得集合論可以恢複樸素集合論的簡單直觀的風格而不再受悖論的困擾。這是本文認為集合論的混亂局麵可以結束的根據。
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英文版： http://pierredeboussy.blog.com/2014/03/30/the-end-of-confusion-on-set-theory/
沒有奇點是必要條件，所以可以用來排除集合論的三大悖論，但由於不是充分條件，所以不能保證能夠定義集合。一個簡單的例子是：如果將遞歸集（Transitive）定義為所有元素都是自己的子集的集合，令T(x)="x是遞歸集"，W(x)="x是關於∈關係的良序集"，O(x)="x是序數"，則O(x)=T(x)?W(x)，即序數是遞歸的且關於∈關係良序的集合。可以證明，T(x)和W(x)都沒有奇點，但O(x)卻有奇點（序數悖論）。
集合論需要的是一個充分條件來判斷一個性質能否定義集合。滿足該條件的性質沒有奇點，而且關於邏輯運算（或，與，非）封閉，即滿足該條件的性質經邏輯運算後還滿足該條件。如果找到了這一充分條件，集合論就真得有大突破了。
順便說一句，性質P(x)=x∈x也不能定義集合，因為P(x)=?(x?x)，即它是羅素性質的非。