再試解決集合論悖論問題（上）

當前版本： v01

1. 引言

在前一篇博客“集合論的混亂局麵該結束了”裏我聲稱用改進的概括公理可以解決集合論悖論的問題。但後來發現集合論的問題並沒有被解決。於是我自己加了一個評論，承認了錯誤，並匆匆做出判斷，沒有奇點隻是一個性質能否定義集合的必要條件，而不是充分條件。再進一步判斷如果找到了充要條件，集合論悖論的問題就可以得到解決。但現在看來，這些判斷也是錯誤的。兩個性質分別可以定義集合，但它們的邏輯與卻不能定義集合，這不是一個條件充分不充分的問題，根本問題是，自從羅素悖論以來，集合就沒了定義，所以，在搞清楚集合是什麽之前談論集合論本身就是錯誤的。

當代流行的公理化集合論把集合的定義放在一邊不論，通過公理劃定一個很小範圍的集合，並隻在這一很小的範圍內討論集合論。由於這一很小範圍的集合已足以表示數學的基本元素例如數，形等，所以這樣的集合論已足以作為數學的基礎。但這樣的集合論與人們通常所談論的集合卻相去甚遠，例如，將一個班級的同學看成一個集合就得不到這些集合論的支持。因此，進一步解決集合論悖論的問題可能對數學已經不重要，但對於邏輯學和人們的思維卻仍然十分重要。而且，在沒有搞清集合的定義之前，集合論公理的可信度並不比概括公理更強，隻是還沒有發現矛盾而已。盡管所有公理的可信度都隻在於所屬理論係統還沒有出現矛盾，但是越往深處挖，所找到的公理將來就有越多被檢驗的機會，從而所屬理論係統就會越可靠。因此，搞清集合的定義才是解決集合論悖論問題的最終出路。

對於集合定義的懷疑源於羅素悖論，因此要給集合一個清楚的定義，還要從弄清羅素悖論如何推出矛盾開始。在此，我們先退一步，引入一個“聚集”(collection)的概念用以表示樸素集合論意義下的集合，以便和數學意義下的集合區別開來。先讓我們考慮如下論述(discourse)：

設D是一個聚集的範圍(range)，現考慮由D內的滿足條件x∉x的聚集x所構成的聚集R，則我們有R∉R，而且R不是D中的聚集。R∉R因為如果R∈R，那麽R是D中的一個聚集但它不滿足x∉x的條件，因此不該被選來構成R，這與R∈R的假設矛盾。R不是D中的聚集因為對任意D中的聚集F，如果F∈F，則F與R不同因為F∈F但F∉R；如果F∉F那麽F與R也不同因為F∉F但F∈R。例如，當D隻有空聚集Ø一個聚集時，R={Ø}，可以驗證R∉R且R不是D中的聚集。

隻要D不是“所有聚集”，上述論述就沒有問題。當D是所有聚集時，矛盾就發生了，它就是羅素悖論：如果R∉R，那麽R應該被選來構成R因為R是聚集而D是所有聚集，因此有R∈R，矛盾。而其中“R是聚集而D是所有聚集，所以應被選來構成R”的推理所根據的是人們關於“宇宙”(universe，宇宙這個詞在此並不很好，在找到更好的之前先暫時用著吧)的認識。在此宇宙不是指物理存在的宇宙，而是指思維(mind)的宇宙。人們認為宇宙U包含一切對象(object)，R是一個對象，因此R是U中的一個對象，而所有聚集是指U中的所有聚集，因此R應是D中的聚集。所以，導致矛盾的根本原因還是U包含一切這一人們對宇宙的認識。

但U為什麽要包含R呢？難道U在構造R之前就已經包含R了嗎？當D不是所有聚集時，R不是D中的聚集說明思維是具備創造性的：由D中聚集構造出的聚集R是一個不同於D中所有聚集的新聚集。在此我們說思維有創造性是因為，即使R在U中，但我們並不知道，我們從已知的D中獨立地創造出了一個D中不存在的聚集，這是名副其實的創造。我們能從D中創造，為什麽我們就不能從U中創造了呢？其實，我們可以用前麵，當D還不是所有聚集時，用過的證明R不同於D中所有聚集的方法，證明當D為所有聚集時，如果不把R強行歸入U中，則R與U中的所有聚集都是不同的，也就是說，如果不把R強行歸入U中，那麽R是由思維創造出來的相對於U是新的對象這一點並沒有任何問題，羅素悖論不能導致矛盾。是我們目前對於U包含絕對一切這一關於U的靜止的認識，才使得我們把R強行歸入U中，進而導致了羅素悖論的矛盾。

U包含絕對一切這一關於U的靜止的認識事實上否定了思維的，至少是關於聚集構造的，創造性：所有可能構造出來的聚集都已經在U裏了，不可能再構造出不在U裏的新聚集。U包含絕對一切這一關於U的靜止的認識否定了人們構造聚集時的創造性，它是否也否定人們在其它方麵的創造性呢？我們可以再看一個例子：

設D是關於裝置設計的一個範圍，D為所有裝置設計這一範圍。有人在研究了D中所有設計後，沒找到解決問題的設計。於是他自己設計了一個新裝置並解決了問題。但問題是此人的設計S不可能是一個新設計，S必定是D中的一個設計因為D包含所有裝置的設計。這個例子盡管隻是很直觀，但足以讓人感受到絕對化的“所有”與新事物不相容，因而否定創新的一麵。

因此，集合論的問題不能在集合論裏解決，它有更深層的原因。問題出在哲學的認識論上，具體地說，就是人們對宇宙的認識上。目前人們對宇宙的理解是靜止不變的，它使得在邏輯上將“所有”絕對化。這種絕對化的“所有”事實上否定了思維的創造性。羅素悖論所揭示的實際上是思維的創造性和“所有”的絕對化之間的矛盾。所以集合論的問題首先應當在哲學層麵上解決。

如果我們假設思維具備創造性，具體地說就是論述中的構造具備創造性，那麽宇宙U在一個論述中就不是一個靜止不變的對象，而是一個變化的對象。在論述中宇宙就不是一個U，而是由一係列實例(instance)構成的一個演進的U。我們將此稱為演進式宇宙模型(evolutionary model of the universe)，對應地，將原來的對宇宙的認識稱為靜止式宇宙模型(static model of the universe)。在演進式宇宙模型的基礎上，在數學上我們就可以構造一個不含矛盾的集合論。該集合論可以證明目前流行的公理化集合論的基礎部分ZF係統。因此該集合論可以包含ZF係統。

本人的論文”On the base of set theory”具體地說明了如何構造那個集合論，在此隻簡要地介紹那個集合論的內容，所有證明都略去了，其實都很簡單，不含什麽特別的技巧。本人試圖在arXiv上發表該文，也找到了舉薦人(endorsor)，原定於2016-11-07公布，但兩周快要過去了，目前卻還處於等候(on hold)狀態，等待審查人(moderator)的批準。因此目前還無法引用該文。但我想，並沒有必要等待審查人的批準。沒有人可以壟斷對一個想法是否正確的判斷，該文是否正確，各位也可以有自己的判斷。

2. 對象，宇宙和聚集

任何可以成為思維內容(subject)的東西都是對象。因此，所有我們可以談論的東西都是對象。論述是用以表達一個想法的一係列思維活動，敘述和證明都是論述的例子。宇宙，這裏指的是思維的宇宙而不是物理存在的那個宇宙，有兩個含義。第一個含義是指所有對象的整體(totality)。第二個含義是指一個論述所涉及的對象的範圍，也就是論域(domain of discourse)。第一個含義是相對於思維的，第二個含義隻相對於一個論述。本文一般使用第一含義的宇宙作為論域，所以在一般情況下宇宙的兩個含義在本文中是一樣的。

宇宙是變化著的，因此當我們談論宇宙時，我們指的是某一時刻的那個宇宙的實例，其中當前宇宙(the current universe)就是當前的那個宇宙實例，它是我們通常談論宇宙時所指的那個實例。宇宙的變化，或說演進，就是從一個實例U₀演進到另一個實例U₁。U₁和U₀的差別，就在於U₁比U₀多了新產生的對象。由於本文主要考慮宇宙在一個論述中的演進，因此宇宙的演進被認為隻朝對象增加的方向演進。像“忘記”這種使宇宙中對象減少的情況不予考慮。

定義1：聚集是由當前宇宙中的任何對象，包括空，被聚集起來構成的整體。被構造的聚集不是當前宇宙中的一個對象，除非同樣的聚集已經被構造過。

定義1所定義的聚集與樸素集合論所定義的集合的差別隻在於定義1指出定義一個聚集是創造一個對象。因此，定義聚集D將使宇宙由實例U₀演進為實例U₁。U₁與U₀的差別隻在於U₁比U₀多了一個對象D，這被記為U₁=U₀∪{D}。

定義2：任何兩個聚集D和F相等當且僅當它們含有同樣的元素。

這與所有集合論用外延定義集合相等是一至的。定義2可以用外延公理來表達：∀D∀F(D=F↔∀x(x∈D↔x∈F))。定義1可以用創造公理更準確地表達：

創造公理：任何當前宇宙U內的對象被聚集起來而構成一個整體時創造一個聚集D。D不是當前宇宙內的對象除非同樣的聚集在此之前已經被創造過。D的創造使得宇宙演進為U₁以包含D為其對象。另一方麵，對於任何聚集D，D是由某個不包含D為對象的宇宙實例U'創造而成的，且D隻白含U'中的對象。

由創造公理可知，任何聚集都是由思維創造而來的，沒有天生的聚集。除了空聚集Ø可以由任何宇宙實例創造外，任何其它聚集D隻能從包含所有D的元素的宇宙實例創造而來。由創造公理也可知，當前宇宙可以構成一個聚集，但它不是當前宇宙中的一個對象。由創造公理可以證明聚集的不自包含定理：

不自包含定理：對任何聚集D，D∉D。

還可以證明不循環包含推論：不存在聚集D, F, G使得D∈F，F∈G和G∈D。不循環包含還可以被推廣到涉及更多聚集的循環包含。

3．性質和概括定理

定義3：普通性質(ordinary property)是一個由對象到命題的命題函數P(x)，並且對任何對象b，P(b)的真值不隨宇宙的演進而改變。對任何對象b，如果P(b)為真，則稱b具備性質P(x)，如果P(b)為假，則稱b不具備性質P(x)。

由性質P(x)定義聚集的想法是要確定一個聚集C，從而使得C包含所有當前宇宙U內具備P(x)的對象，即：

         ∀x(P(x)→x∈C)                          (1)

且C隻包含U內具備P(x)的對象，即：

         ∀x(x∈C→P(x))                          (2)

邏輯與(1)和(2)可得：

         ∀x(x∈C↔P(x))                         (3)

C隻包含其定義前的當前宇宙U₀內的對象，但一旦C被定義，當前宇宙將演進為包含C的宇宙實例U₁，所以(3)應當在U₁上考慮。本文引進了一個等價方程式(equivation)的概念。一個等價方程式是一個含未知變量的等價命題。例如，若將C視為未知變量，則(3)就是一個等價方程式。等價方程式的解是一個能使該等價方程式命題為真的對象。對於等價方程式(3)，它的解是一個聚集D，將D代入(3)後，使(3)在包含D為對象的演進後宇宙實例U₁上為真。

定義4：聚集D被稱為是等價方程式(3)的解當且僅當D隻包含宇宙實例U₀中的對象且(3)在演進後的宇宙實例U₁=U₀∪{D}上為真。

如果等價方程式(3)有解D，則D就是包含所有且隻包含U₁中具備P(x)的聚集。如果P(x)是一個普通性質，則由C隻出現在等價式的左邊，且解隻包含U₀中的對象可知，D是唯一的解。由此，用普通性質定義聚集的問題被轉化成對等價方程式(3)求解的問題。使用等價方程式的一個優點是可以擴展對於性質的定義。如果讓性質P(x)含C，C為由P(x)定義的聚集，那麽回出現循環定義的邏輯問題。但在等價方程式的情況下，讓命題函數P(x)包含C則是完全合理的。

當P(x)中含有C時，等價方程式(3)的解可能不唯一。如果等價方程式(3)有兩個解D，F且D⊂F，則稱D為(3)的一個部分解。如果一個解不是部分解，則稱其為一個極大解。如果(3)有唯一解，則該解也是唯一的極大解。(3)有多個極大解但它們互不包含的情況暫時還不能被排除，盡管目前還沒有例子證明它的存在。

定義5，略。

定義6：一個特殊性質是一個命題函數P(x,C)，x為對象，C為聚集，且當用P(x,C)替代(3)式中的P(x)時，等價方程式(3)有唯一極大解。若D為該唯一極大解，對任意對象b，如果P(b,D)為真，則稱b具備P(x,C)，如果P(b,D)為假，則稱b不具備P(x,C)。

特殊性質P(x,C)也可簡記為特殊性質P(x)。對於特殊性質P(x)及某些對象b，可能P(b)的真值會隨宇宙的演進而改變，這是一個在論述中因當考慮的問題。當談論性質P(x)時，P(x)可以是普通性質，也可以是特殊性質。

定義7：對於性質P(x)，當且僅當等價方程式(3)有唯一極大解D，則稱P(x)可以定義聚集，且稱D為由性質P(x)定義的聚集。如果(3)沒有解，則稱性質P(x)不能定義聚集。

對於一個特殊性質P(x)，它是一個合規的性質已經隱含了它可以定義聚集。

可以證明，定義7所定義的由性質P(x)定義的聚集D就是原先所考慮的那個由P(x)定義的聚集，即D是唯一的在演進後的宇宙實例U₁中包含所有且隻包含具備性質P(x)的對象的聚集。

概括定理：對任意普通性質P(x)，P(x)能定義聚集當且僅當包含所有且隻包含當前宇宙中具備P(x)的對象的聚集D不具備P(x)。

由概括定理可知，普通性質P(x)=(x∉x)不能定義聚集。因此羅素悖論不成立。普通性質P(x)=(x=x)也不能定義聚集，因此宇宙不是一個由普通性質定義的聚集。

如果普通性質P(x)不能定義聚集，可以證明特殊性質P'(x)=(x≠C)∧P(x)可以定義聚集。由P'(x)定義的聚集D是包含所有且隻包含當前宇宙U₀中具備P(x)的對象的聚集。如果P(x)可以定義聚集，則P'(x)也可以定義聚集，且由P'(x)定義的聚集就是由P(x)定義的聚集。

定義8：對於普通性質P(x)，特殊性質P'(x)=(x≠C)∧P(x)被稱為P(x)的合理性質。由P'(x)定義的聚集被稱為P(x)的合理聚集(rational collection)。

合理聚集定理：對任意普通性質P(x)，可以定義P(x)的合理聚集D，且D是包含所有且隻包含當前宇宙U₀中具備P(x)的對象的聚集。

如果普通性質P(x)可以定義聚集，則由P(x)定義的聚集D就是P(x)的合理聚集。當演進後的宇宙實例U₁成為當前宇宙時，D是當前宇宙中的一個對象。如果P(x)不能定義聚集，那麽P(x)的合理聚集D永遠不能成為當前宇宙中的一個對象。當演進後的宇宙實例U₁成為當前宇宙時，D是當前宇宙中的一個對象，但D已不再是P(x)的合理聚集。雖然D仍然是等價方程式(3)的一個解，但D已不是(3)的極大解。當U₁成為當前宇宙時，(3)的極大解是D∪{D}，這是因為由於P(x)不能定義聚集，所以D具備P(x)。

這裏可能已經會產生疑問，為什麽D在U₀中是P(x)的合理聚集，但在U₁裏又不是P(x)的合理聚集了呢？P(x)的合理聚集一忽兒是D，一忽兒又不是D，那它到底是什麽呢？當用普通性質定義聚集時，性質相當於該聚集的內涵，而聚集所包含的元素是該聚集的外延。在每一個宇宙實例中，通過內涵可以確定一個外延，這就是該聚集在該宇宙實例中的實例。當宇宙演進時，該聚集相應的實例也會發生變化。因此，用性質定義的該聚集也是一個變化的聚集。該聚集的實例則是相對於某個宇宙實例的由外延定義的聚集，因此，該聚集的實例是不隨宇宙的演進而變化的。由內涵定義的聚集是會變化的，而變化著的聚集相對於宇宙實例的實例則是不變的，這就是解答上述疑問的答案，D，或者說D₀，是P(x)的合理聚集相對於U₀的實例而不是合理聚集本身。當U₀為當前宇宙時，P(x)的合理聚集是D₀。而當U₁=U₀∪{D₀}成為當前宇宙時，P(x)的合理聚集不再是D₀，它變成D₁=D₀∪{D₀}了。

由上述分析可以看出，一個普通性質P(x)可以或不可以定義聚集的差別就在於它們的合理聚集能或不能成為當前宇宙中的一個對象。當P(x)不能定義聚集時，它的合理聚集D不能成為當前宇宙中的一個對象。由於D不能成為當前宇宙中的一個對象，D就不能參加任何聚集的定義，因此也就不能成為任何聚集的元素。宇宙是普通性質P(x)=(x=x)的合理聚集，P(x)不能定義聚集，因此宇宙不能成為任何聚集的元素。但是，某個宇宙實例則可以是當前宇宙中的對象，因而可以成為某個聚集的元素。

現在需要為後麵的討論作一些準備。可以參照集合論的方法在聚集裏定義序(order)的概念並引入良序的概念。空聚集Ø被認為對於任何序都是良序的。可以證明，W(x)=”x對於序∈是良序的”是一個普通性質，而且可以定義聚集。一個聚集是傳遞的當且僅當它的元素都是它的子聚集。可以證明，T(x)=”x是傳遞聚集”是一個普通性質，而且可以定義聚集。空聚集Ø被認為是一個特殊的傳遞聚集。可以定義序數為對於序∈為良序的且是傳遞的聚集。P(x)=”x是一個序數”=W(x)∧T(x)是一個普通性質。

Ø是一個序數，可以證明如果D是一個序數，則D'=D∪{D}也是一個序數。D'稱為是D的後繼。可以證明，在D和D'之間沒有別的序數。不存在作為對象的最大序數，因為如果D是當前宇宙中的一個對象，又是一個序數，那麽D的後繼是一個比D大的序數。可以證明，序數的元素都是序數。

用性質定義聚集具有很強的表達能力。許多定義聚集的方法都可以表達成用性質定義聚集。一般地，如果D是一個聚集，不論D是如何定義的，P(x)=(x∈D)都是一個普通性質。P(x)的合理聚集是D自己。如果D還是當前宇宙中的一個對象，則P(x)可以定義聚集因為D∉D所以D不具備P(x)，由P(x)定義的聚集也就是D自己。因此，任何一個聚集都可以被看成是由某個普通性質定義的，或者是由P(x)定義的聚集，或者是P(x)的合理聚集。

目前我們以宇宙作為論域。當宇宙演進時，論域也在演進。當論域D不是宇宙時，我們假設D也能演進，而且隻朝著包含更多對象的方向演進。命題函數D(x)=”x是論域D中的對象”是一個定義於宇宙上的普通性質。對於任何一個定義在D上的普通性質P'(x)，P'(x)可以被擴展定義為全宇宙的性質，所以P'(x)可以被認為本來就是一個定義於宇宙的性質。也就是說盡管我們在D上討論問題，但所有性質都可以被認為是定義在宇宙上的。

定義9：對於論域D，一個將對象映射到命題的命題函數P(x)被稱為是一個普通性質當且僅當P'(x)=D(x)∧P(x)是定義於宇宙上的普通性質。P'(x)被稱為是P(x)的適配性質。

在D上用普通性質定義聚集的問題由此可轉化為在宇宙上定義聚集的問題。

定義10：對於論域D和定義於D上的普通性質P(x)，P(x)被稱為可以在D上定義聚集當且僅當它的適配性質P'(x)可以定義聚集。由P'(x)定義的聚集被稱為P(x)在D上定義的聚集。P'(x)的合理聚集被稱為是P(x)在D上的合理聚集。

根據定義10，當論域D為宇宙和不是宇宙時的一個不同之處是，當D為宇宙時，一個普通性質P(x)可以定義聚集隻有一個原因：P(x)在D上的合理聚集相對於當前宇宙的實例F不具備P(x)，而當D不是宇宙時，P(x)可以定義聚集可能有兩個原因：F不具備P(x)或F不是D中的對象。另一個不同之處是，當D不是宇宙且P(x)可以定義聚集F時，F不能再論述中被當作對象來使用如果F不是D中的對象。因此，一個聚集可以在論述中作為聚集被使用但不能被當作對象來使用的情況並不隻限於合理聚集的情況。

4．聚集的相對性，聚集的一致性和集合

前麵討論了靜態的聚集，即在當前宇宙中，由性質定義的聚集是什麽。接下來要討論動態的聚集，即在一個論述中，尤其是在含聚集定義的論述中考察聚集，當前宇宙在這樣的論述中是變化的。前麵已經看到，有些合理聚集是隨宇宙的演進而變化的。我們將要看到，這種隨宇宙的演進而變化的現象並不局限於一些特殊的合理聚集。

考慮性質W(x)=”x關於序∈是良序的”和T(x)=”x是傳遞的”。W(x)和T(x)都可以定義聚集。設W和T是當前宇宙中的對象且分別是W(x)和T(x)定義的聚集。再考慮性質P(x)=”x是一個序數”=W(x)∧T(x)以及P(x)在當前宇宙中的實例D。D是由當前宇宙中所有序數構成的聚集。D是傳遞的因為D的元素都是序數，序數的元素都是序數而D包含當前宇宙中的所有序數，因而D的阿元素都是D的子聚集。雖然本文目前還不能證明D不是當前宇宙中的對象，但在本文的晚些時候將證明，D不是當前宇宙中的對象。在演進後包含D的宇宙實例U₁中，D是傳遞的，因此T相對於U₁的實例T₁將包含D。而T相對於當前宇宙U₀的實例T₀則不包含D。也就是說，T也是隨宇宙的演進而變化的。

事實上，由性質定義的聚集都有可能隨著宇宙的演進而改變，隻要新產生的聚集具備定義聚集的性質。因此，由性質定義的聚集是相對於宇宙實例的，這就是聚集的相對性。但也不是所有聚集都隨宇宙的演進而變化。例如，空聚集Ø就不隨宇宙的演進而變化。{Ø}是另一個不隨宇宙演進而變化的聚集。再進一步，由Ø出發，通過外延定義的聚集都是靜止的，例如，{Ø,{Ø}}，{{Ø}}，{{{Ø}}}，{ Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}等等都是靜止的聚集。

定義11：兩個聚集被稱為是內涵相等的當且僅當它們是由等價的性質定義的。

聚集的實質相等是由外延公理定義的外延相等。內涵相等不是聚集的實質相等。因此，由性質定義的聚集相對於不同宇宙實例的實例可能是不相等的，盡管它們具有相同的定義。例如T₀和T₁，盡管它們都是同一個由性質定義的聚集的實例，都曾經擁有相同的定義，但它們是不同的聚集。

定義12：聚集D被稱為是靜止的當且僅當無論宇宙如何演進，D都不會改變。D被稱為是演進的如果它可能隨著宇宙的演進而改變。D被稱為是內容靜止當且僅當如果以內涵相等來判斷，D是靜止的。

{W,T}是一個內容靜止的聚集的例子。內容靜止的聚集是演進的聚集盡管它的內容從內涵的角度來看並沒有改變。

對於一個演進的聚集D，D未必隨每一次宇宙的演進而改變，隻是宇宙的某些演進會使D發生改變。由此來看，一個靜止聚集也可以被當成是演進聚集的一個特例。可以證明，靜止聚集可以成為當前宇宙中的一個對象。

定義13：一個普通性質P(x)是一個靜止性質當且僅當其合理聚集是靜止的，P(x)是演進的如果它不是靜止的。

P(x)=(x≠x)是一個靜止性質的例子。如果聚集D是靜止的，那麽性質P(x)=(x∈D)也是一個靜止的性質。對於一個靜止的性質P(x)，隻有當前宇宙中的對象才能具備P(x)，之後再也不能出現任何滿足P(x)的對象。因此，靜止的性質可以定義聚集。

對於一個普通性質P(x)和它的合理聚集D，當我們在當前宇宙中談論D時，我們所談論的實際上是D相對於當前宇宙這個宇宙實例U₀的實例D₀。當當前宇宙隨宇宙的演進而演進時，D也會隨之演進。在新的當前宇宙U₁中，我們所談論的是D相對於U₁的實例D₁。宇宙和D都是演進的，但它們的實例U₀，U₁，D₀，D₁卻並不再隨著宇宙的演進而改變。它們是靜止的。而且當宇宙演進時，這些實例並不消失，它們仍然是對象，因為我們可以談論它們。給它們下個定義可以幫助我們談論它們。

定義14：對於一個普通性質P(x)的合理聚集D，稱聚集D'是D的相對於宇宙實例U₀的實例當且僅當D'包含所有而且隻包含U₀中具備P(x)的對象。稱聚集D'是D的的一個實例當且僅當D'是D相對於某個宇宙實例的實例。稱聚集D'是一個聚集實例當且僅當D'是某個聚集的相對於某個宇宙實例的實例。

一個演進的聚集D對應於一係列D的聚集實例，每個聚集實例是D相對於某個宇宙實例的實例。聚集的演進，更一般地，對象隨著思維宇宙的演進，與物理存在中的實體的演進不同，物理實體的演進隻保留最後的那個實例，之前有過的實例都消失了。而對象隨著思維宇宙的演進過程中的所有實例都可以保留下來成為對象。人們可以談論1936年的戴高樂將軍就是一個例證。

關於理查悖論(Richard paradox)的分析，略。

由於演進聚集在一個包含聚集定義的論述中可能發生改變，這就對聚集在論述中的一致性產生了問題。羅素悖論就是因為忽略了宇宙在論述中不一致這一問題而造成矛盾的。但這一致性問題也啟發了關於集合的定義：

定義15：集合是在一個論述中不變的聚集。

因為集合在論述中不變，因此集合在論述中沒有一致性問題。但另一方麵，某個聚集是否為集合是相對於論述的，這使得該定義也很難被使用。其實，真正的問題是要確定什麽樣的聚集在什麽樣的論述中是集合。

靜止聚集定理：靜止聚集對任何論述都是集合。

另一方麵，也可以從論述入手，考察什麽樣的論述可以保證所有聚集都是集合。如果能找到一些論述的規則，使得隻要遵守了這些規則，所有聚集在論述中都不會改變，那麽所有聚集在這樣的論述中也就都是集合了。

定義16：一個論述被稱為合理論述(rational discourse)當且僅當它的論域為該論述開始時的當前宇宙的那一宇宙實例U₀或者為某個聚集相對於U₀的實例。

宇宙實例和聚集實例都是靜止聚集。靜止聚集的元素都是靜止的，所以在一個合理論述開始時已經存在的聚集都不會在論述中改變。對於在論述中定義的聚集D，論述所引用的是D相對於U₀的實例，因此也是靜止的。如果D是論域中的對象，那麽D不會對論域發生任何影響，如果D是論域中的對象，那麽D在論述中隻能被當作聚集使用，不能作為對象使用，因此對論域也不會有影響。因此，所有聚集在論述中都不會改變。

引理5：一個論述是一個合理論述如果下述規則都被遵守：

1. 當前宇宙被鎖定為論述開始時的當前宇宙。當在論述中定義聚集時，當前宇宙不隨宇宙的演進而演進。
2. 一個聚集D在論述中隻能被當作聚集使用而不能被當作對象使用除非可以證明D是當前宇宙中的對象。因此，D不能成為一個聚集的元素除非可以證明D是當前宇宙中的對象。
3. 隻用普通性質定義聚集，不用特殊性質定義聚集，而且所定義的聚集是合理聚集意義上的聚集。
4. 如果一個普通性質P(x)不含在論述中地定義的聚集，且在概括定理意義上可以定義聚集D，則D可以被認為是當前宇宙中的對象。

引理5是一個更方便使用的關於合理論述的版本。其中鎖定當前宇宙隻是一種形象的說法，當前宇宙是不能被鎖定的。但以U₀作為論域的效果和形象地鎖定當前宇宙是一樣的：當前宇宙在論述中保持不變。第4條的根據是“可能的事可以被認為是已經發生過的事”這一原則。如果一個普通性質可以定義聚集，那麽人們可以認為該聚集在本論述開始前已經被定義過，因此是當前宇宙中的對象。這是一個一般規則，並不特別針對合理論述。放在這裏隻為方便使用。

一個命題被用合理論述證明和被用其它論述證明其有效性是一樣的：所證明的都是該命題在當前宇宙中為真。隻是並非所有問題都能被表達成能用合理論述證明的命題。

合理論述定理：在一個合理論述中，所有普通性質都可以定義聚集，而且所有聚集都是集合。

人們通常使用的不鎖定當前宇宙的論述被稱為自然論述。

5．集合運算

集合運算是一種定義聚集的方法，它根據兩個已有的聚集定義新的聚集。

定義17：對於聚集D和F，如果性質P(x)=((x∈D)∧(x∈F))能定義聚集，則由P(x)定義的聚集G稱為聚集D和F的交。交由G=D∩F表示。

定義18：對於聚集D和F，如果性質P(x)=((x∈D)∨(x∈F))能定義聚集，則由P(x)定義的聚集G稱為聚集D和F的並。並由G=D∪F表示。

定義19：對於聚集D和F，如果性質P(x)=((x∉D)∧(x∈F))能定義聚集，則由P(x)定義的聚集G稱為聚集D相對於F的補。相對補由G=D＼F表示。

聚集的交，並和相對補統稱為集合運算。對應的G稱為運算結果。集合運算對應的性質都是普通性質。在一個自然論述裏，如果D和F為演進聚集，則它們的集合運算是否有意義取決於相應的性質能否定義聚集。所以，集合運算並不對所有聚集都有意義。

在進行集合運算時，如果G是對應性質的合理聚集，當宇宙演進至包含G的實例U₁時，相應的D和F也發生了演進。如果G在U₁中既屬於D且屬於F，則它們的交沒有意義，否則交有意義。同樣地，如果G在U₁中屬於D或屬於F，則它們的並沒有意義，否則並有意義。如果G在U₁中不屬於D但卻屬於F，則D的相對於F的補沒有意義，否則D的相對於F的補有意義。

引理7：對於靜止聚集D和F，D∩F，D∪F和D＼F有意義，且D∩F，D∪F和D＼F也都是靜止聚集。

推論1：對於靜止聚集D和任意普通性質P'(x)，性質P(x)=(x∈D)∧P'(x)可以定義聚集，且由P(x)定義的聚集是靜止聚集。

在一個合理論述中，當前宇宙不隨著聚集的定義而改變，因此聚集在一個論述中是保持“靜止”的。

引理8：在一個合理論述中，對任意聚集D和F，D∩F，D∪F和D＼F有意義。

在一個合理論述中，集合操作的結果是一個新定義的聚集，因此它在論述中隻能作為聚集被使用，不能作為對象來使用，除非能夠證明它是當前宇宙中的一個對象。

集合操作定理：對於任意集合D和F，D∩F，D∪F和D＼F有意義。

集合操作定理並沒有提供比引理7和引理8更多的信息。把它作為一個定理隻是要說明“集合操作”這一用詞是恰當的。

有了集合操作和合理論述這兩個工具，我們可以證明前麵留下的“由當前宇宙中所有序數構成的聚集是一個序數”這一命題。先引進“序數的前段”這一概念。一個由序數構成的聚集D被稱為是一個序數的前段當且僅當D是一個傳遞聚集。由當前宇宙中所有序數構成的聚集D是一個傳遞聚集因為每個序數的元素都是序數因而是D的子聚集。要證明D是一個序數隻要證明D關於序∈是良序的就可以了。

考察集合論中關於同一命題的證明可知，證明中使用了集合運算，但集合運算的結果都隻被當作集合來使用，沒有將集合運算的結果當作對象來使用的情況。因此，可以將集合論中的證明移植過來，作為一個合理論述，這樣就可以證明所要證明的命題了。下麵將證明的步驟以引理的形式列出，在原文中也隻對個別引理進行了證明作為例子。

引理E1：對任意非空序數u，Ø∈u。

引理E2：對任意序數u和v，u∩v是一個序數。

引理E3：對任意序數u和v，如果u⊂v，則u∈v。

引理E4：對任意序數u和v，下列三種情況有且隻有一種為真：u=v，u∈v或v∈u。

引理E5：如果x，y和z都是序數，且x∈y，y∈z，則x∈z。

引理E6：如果D是一個序數的非空聚集，則D中存在最小元，即∃x((x∈D)∧(∀y(y∈D→((x∈y)∨(x=y))))。

引理E7：如果D是由序數構成的聚集，則D關於序∈是良序的。

根據引理E7，序數的前段關於序∈是良序的，因此序數的前段是一個序數。因為由當前宇宙中所有序數構成的聚集是一個序數，因此普通性質P(x)=”x是一個序數”不能定義聚集。因此序數悖論在此不成立。P(x)的合理聚集D是當前宇宙中的最大序數。D是當前宇宙中的最大序數因為D不是當前宇宙中的對象，因此在當前宇宙中它沒有後繼。序數隻是一個聚集，並不需要是當前宇宙中的對象。D隻是當前宇宙中的最大序數，即隻是相對最大。沒有絕對最大的序數，因為如果存在絕對最大的序數F，那麽當包含F的宇宙實例成為當前宇宙時，F的後繼是比F大的序數，矛盾。靜止的宇宙模型使得序數悖論忽略了相對最大存在的可能性，即那個相對最大的序數不是當前宇宙中的對象，從而導致了矛盾。

至此集合論的雛形已經有了。還剩“聚集係統，構造係統和歸納法”主要處理構造的問題並引出無窮聚集和冪聚集，和“證明ZF係統”兩節。眼下有更重要的事要處理，此事隻好先放一下。先以第一部分的形式發表。