神秘的空間 （上）

（對外在世界的認知之七）

 

不以物喜，不以己悲。生活了大半輩子，本來覺得已經修煉得對各種躁動能淡漠相處了，可最近發生的一些事情，還是令我心生波瀾難抑感慨。當然，實際上我是進一步確認了，不同的人真是有不同的特質，當你能把自身的潛能特質在合適的地方發揮出來，你就能創造奇跡。

 

比如說，搞政治的人，就得臉皮厚，能欺人的同時還要能從容不迫地自欺，等自己喜歡的謊言在自己的嘴裏和別人的嘴裏都說得情真意切的時候，那麽見證奇跡的時刻就要來到了。現在，中美兩國人民好像都有這個福分，都在等待偉人即將創造的奇跡。與此相反的是，傾心搞藝術搞科學的人，臉皮就不能厚，因為他們要保持思維和感覺的敏銳，這樣才能發現和創造新的理論新的成果。不單臉皮不能厚，他們通常還很神經質，不能容忍任何謊言、差錯甚至不完美。由於這種人大多是天才，而真正天才的人追求的是腦力能夠到達的極限。

 

1777年出生在德國布倫斯維克的數學王子高斯，就是這樣的一個天才。據說他小的時候說話較晚，不善言辭。有天晚上，做小生意的父親坐在燭台下算賬，等他比比畫畫忙了一陣子把最終結果寫出來時，坐在旁邊話還講不利索的高斯弱弱地說道：爸爸，你算錯了！

 

高斯的神童名聲在他十一歲時就已經在當地家喻戶曉了，布倫斯維克大公聽說後，專門把他選拔出來送到了最好的學校去培養。在大學校園裏，高斯結識了一個來自匈牙利的叫做鮑耶（Farkas Bolyai）的音樂天才。這鮑耶有點像是畢達哥拉斯的再世傳人，他喜歡音樂但也精通數學。有一次他們兩人一起步行90多公裏去看望高斯住在鄉下的父母，高斯的母親問鮑耶，她的兒子這麽幸苦自己，是在積攢什麽嗎？鮑耶說，高斯正在積攢成為歐洲第一的數學家。聽聞此言，高斯的母親頓時淚流滿麵。果然以後不久，高斯就開始在天文學、電磁物理學和數學等諸多領域成績斐然，剛剛三十歲，就出任哥廷根大學的物理學教授及哲學係主任。

 

高斯的成就，不單單在於那些以他的名字命名的定理公式，同樣可貴的是他埋下的一些種子，一些日後引起了腦力革命的種子。高斯說，自1792年他十五歲的時候起，有個問題就在他的腦後不停地蠕動。這是一個冬眠了超過兩千年的問題，是來自歐幾裏得幾何原理裏麵的第五公理，平行線的定義問題。高斯曾在一封信中告訴鮑耶說，大多數人把這個當成公理，但我不這麽認為。

 

在原著中，歐幾裏得書中第五公理的陳述有些繞口，他的原話是說 ：若兩條直線都與第三條直線相交，並在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。歐幾裏得之後，很多數學家看到這個公理都覺得有點冗長費解，就試圖去證明它，但都是無功而返。後來，我們前文提到的那個開普勒也對這個問題下了一番功夫，經過一番深思熟慮之後，他把這個公理重新定義了一下，開普勒的說法是，兩條平行的直線相交於無限遠處。這話看上去的確就好懂多了，但也開始有了點反叛的意味。不過疑問好像並沒有解決，事實真是這樣嗎？無限遠又是多遠呢？開普勒自己也無法證明。

 

高斯對這個問題一直沉吟猶豫決心不定，但他能感覺到這裏一定有個出口存在，而通過出口，可能會有一片全新的天地。就這樣，時光一晃就過去了三十幾年，直到有一天，他的好友鮑耶發表了一部有關科學基礎理論的著作，他看到後大吃一驚。讓高斯感到震驚的，倒不是這個大部頭著作本身的內容，而是一段叫做“展示絕對真實科學的空間”的附錄章節，這裏麵展示出來一個不依據歐幾裏得平行線公理的全新幾何世界，而這段理論的發明者是高斯好友老鮑耶的兒子，雅諾什. 鮑耶（Janos Bolyai）。

 

說起來這個小鮑耶可真是個混世魔王般的人物，他天分極強又不安分守己。與他爸爸一樣，小鮑耶屬於畢達哥拉斯的又一代傳人，他喜歡音樂，拉得一手漂亮的小提琴。二十出頭的時候，小鮑耶在軍隊服役，但他個色的天性得罪了班上所有的人，他們都提出來要與他同一天決鬥，十二個人輪番進行。鮑耶接受了挑戰，但他給出了一個條件，就是在前一場決鬥結束後，如果他還活著，他要有時間去拉一段小提琴，然後再進行下一輪。不知道是神佑還是命硬，鮑耶創造了奇跡，他通贏了這十二場決鬥。所以，這就難怪了，這麽一個福大命大的天才，義無反顧地投身到對歐氏幾何的反叛中去，能夠得到的，肯定是令人吃驚的戰果。

 

幾乎與雅諾什.鮑耶同時的年代，在俄國的喀山大學，洛巴切夫斯基也獨自想通了這個問題，他從推翻第五公理的方法入手，給出兩條平行線能夠相交，以及直線外的一點可通過多條與之平行的直線，這樣的反推理假設，一步步倒推回去，結果發現除了歐幾裏得的第五公理，別的公理都能適用，整套以此反推理的假設演算出來的理論合乎邏輯。隻不過，歐氏平行線特征隻是在曲率為零的麵上延展的；而鮑耶和洛巴切夫斯基他們想到的這種可能相交或者漸開發散的平行線，是在馬鞍型雙曲麵上彎曲變化的。至此，孤獨了兩千年的歐氏幾何終於迎來了一個異族同類，非歐幾何，鮑耶——洛巴切夫斯基幾何。

 

能給出直觀印象的洛巴切夫斯基曲麵用微分幾何的概念成型的話，是一個曲率是負值的曲麵。那麽，曲率為正值的時候，麵線關係又會是什麽樣子呢，那又會帶給人們什麽樣子的空間觀感呢。

 

 

 

圖中從左至右，零曲率麵，正曲率麵， 負曲率麵