做一道題目， 學一個公式 （2）

做一道題目， 學一個公式， 每一顆子彈消滅一個敵人！

[問題]： A vertex of a Tetrahedron is called trirectangular if all edges of the vertex are perpendicular to each other. Let ABCD be a tetrahedron with A trirectangular. Area [ABC] = 15, [ACD]=16, [ABD]=240. What is the area of [BCD]?





問題來源：http://groups.wenxuecity.com/groups/bbs.php?act=bbsview&gid=1731&basecode=968444
Picture was drawn by ca981.

[學一個公式] 有類似戈股定理的關係：
[BCD]^2 = [ABC] ^2+  [ACD]^2 + [ABD]^2


公式證明 （by student99 http://groups.wenxuecity.com/groups/bbs.php?act=bbsview&gid=1731&basecode=968444)

發表於: 2013-12-17 09:19:22 [引用]

我想6700417所說的公式可以這樣證明： 假設三個麵積分別是a, b, c. 那麽三個垂直邊則分別是：sqrt(2abc)/a, sqrt(2abc)/b, sqrt(2abc)/c. 所以ABCD的體積是sqrt(2abc)/3. 假設A 是原點，三條垂直邊分別是x, y, z軸。那麽平麵BCD 的方程就是：ax + by + cz = sqrt(2abc), 根據點到平麵的公式，我們可以求出A 到 BCD 的距離：sqrt(2abc)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) 由此得出：[BCD] * sqrt(2abc)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2 ) * 1/3 = sqrt(2abc)/3. 所以 [BCD]^2 = a^2 + b^2 + c^2 .