難忘的潮汐奇觀 （下）

有一段攝於2011年聖地亞哥海灘的發光潮汐（又稱 Red Tide， 引起發光潮汐的浮遊生物在白天呈紅色，故稱此種現象為紅色潮汐）的配樂視頻，放在本文結尾處，作為讀後的餘興，順祝諸位中秋快樂！

作為“看潮汐奇觀，讀趣味物理”的續篇，本文將對潮汐作用力略作深一步的分析，對數學一點也不喜歡的讀者可略去下麵四個自然段，可直接從“月球引力勢的四極分量所引起的作用力……”處讀下去。

上文中的圖C和圖D是理解潮汐引成機製的關鍵，其中圖D來自圖C，而圖C源於引力矢量的級數展開後的第二項。王博士為我講解引力矢量方程和它的級數展開時有兩張手稿，受過大學理工基礎訓練並有興趣的讀者應都可以看得懂（點擊看手稿第一頁 , 點擊看手稿第二頁）。級數展開後的第一項與地球上各點的位置無關，是大小不變，方向與X軸平行且指向月球的常數，月球引力的這一部份不會引起海水各點的相對運動，它們僅提供地球上各點繞月球作相同角速度旋轉的向心力。從級數展開的第二項可看出，月球引力的這一部份作用在地球表麵的各點是不相同的，從而引起地球上海水之間產生相對運動，正是由於海水內部之間相互擠壓、推波助瀾才造成了海洋潮汐，這才是真正的潮汐作用力。

圖C 月球引力勢的四極分量引起的潮汐作用力

圖D 月球潮汐作用力垂直於地球徑向的分量（切向分量）

有關潮汐起因的中英文資料網上很多，但正確全麵介紹潮汐的科普文章實在少見，中文資料裏的百度百科和維基百科更難令人滿意。它們雖然都提到了這樣一點，即由於月球到地球表麵各點的距離不盡相同，因此地球表麵各處受到的引力的大小和方向均不相同，也就是說地球表麵有一個月球引力場的分布。但它們均無法正確簡明地導出潮汐作用力的方程和圖解（即本文中的圖C）。維基百科比百度百科略勝一籌，它未加任何說明就直接給出了一張與我們圖C相似的潮汐作用力，但仍缺乏對潮汐作用力在地心引力環境下如何影響海洋運動的深入分析，也就是說它們均沒有想到殊為關鍵的圖D。

圖C和圖D都是月球的潮汐作用力在地球的X-Y切麵上的二維分析圖，這是為了敘述和理解的方便，而地球表麵的海洋是一個三維立體球麵，但前麵已經指出月球的潮汐作用力是沿X方向軸對稱的，在X-Z切麵（垂直於圖C和圖D中的X-Y平麵）上也有與圖C和圖D完全一樣的月球潮汐作用力，事實上在地球任何沿X軸的切麵上均有完全相同的月球潮汐作用力。可以作這樣的想象，以Y-Z平麵把地球上的海洋切開分成兩隻“圓碗”，在月球的潮汐作用力下，每隻碗的碗口處的海水全部湧向碗底中心，因此在碗口處（即地球在Y-Z平麵的圓環上）海水同時向X軸正反兩個方向流失，海平麵降低，即是低潮；而在兩隻碗底部處海水從各處湧過來，海平麵升高，即是高潮。

如果一個地球上的觀察者恰巧站在靠近月球的碗底處，他看到了潮起；過了六小時，由於地球的自轉，他就處於Y-Z平麵的碗口處，因而看到了潮落；再過六小時，觀察者處於背離月球的碗底處，所以又一次看到汐漲。如果另一觀察者處在太空中某一固定點，他總能看到靠近和背離月球兩處同時（請注意“同時”兩字，也就是說，每時每刻，地球上總有兩處高潮）都有潮起汐湧。

月球引力勢的四極分量所引起的作用力造成了地球表麵海洋的潮汐運動，或者更確切地說，是該作用力垂直於地球徑向的切向力造成了海洋潮汐。圖C和圖D是對潮汐作用力的最印象的表述，真是一圖勝百字。網上的中英文資料中少有提及圖C，圖D更是從未見過。值得指出的是，本文中的兩圖均非手工隨意繪製，而是由數學推導加電腦編程得出，更具說服力，太感謝我的好友王博士了。

考慮到地球自轉的同時，月球還在繞地球轉動，也就是說地球上正對月球的一點，經過一天（二十四小時）後，並不再正對月球了，月球在這一天裏向前移動了約 1/30 圈，而地球每小時轉 1/24 圈，因此每一天地球需另加 24/30 小時（約50分鍾）才可重見潮湧，這也是潮汐每天推遲約50來分鍾，每月一循環的原因（30天後推遲24小時，回歸零點，循環重啟）。“早潮才落晚潮來，一月周流六十回。不獨光陰朝複暮，杭州老去被潮催。”白居易這首詩對潮汐周期規律的描述非常客觀生動。

事實上，太陽也對地球表麵海水施加潮汐作用力，其作用機理與月球的完全相同。太陽的質量雖然比月亮大許多倍，但是它與地球的距離要比月球要遠得多，而引力的大小與距離的平方成反比，通過簡單計祘可以得知太陽的潮汐作用力大約隻有月球的45%，所以潮汐確實主要由月球引起。打個比喻，如果某地潮水最高時有10米高，差不多7米是月球造成的，太陽的貢獻隻有3米，其它行星不足0.6毫米。

太陽的潮汐作用力雖然不算太大，但還是會影響總體潮汐的大小。有時它和月球形成合力，推波助瀾，有時是斥力，相互牽製抵消。在新月或滿月時，太陽和月球在同一方向或正反兩個方向施加潮汐作用力，產生大潮；但在上弦或下弦時，月球的潮汐作用力對抗太陽的潮汐作用力，產生小潮，其周期約半月，詳見圖F。當太陽、地球、與月球在一條直線上，地球又在兩者之間時，按理太陽和月球對地球的引力是相斥相減的，但事實上在新月時也是大潮，每月有二次大潮這個事實再一次證明潮汐的引成取決於以X軸對稱的潮汐作用力。

圖F 太陽與潮汐的關係

以上隻是討論分析了潮汐引成的物理原因，實際上地球各處潮汐的起始時間和水位高低的確定則遠為複雜得多。地球表麵的海洋並非是一完整的球麵，大陸對潮湧的影響也必須考慮進去[1]，同時還要計入風力、溫差等因素，月球繞地和地球繞日軌道的形狀，地球自轉軸與公轉軌道平麵的夾角都會影響潮汐作用力[2],最終的計祘模型變得十分複雜。使用最完善的計祘模型，由超級巨型計祘機得出的潮汐時間、高度等數值預報仍常常與實測數值有不少出入，這和天氣預報是一回事情。而且在海濱城市，這兩種預報常常是放在電視節目的同一時段，我們這裏的地方電視台就是這麽做的。

潮汐對人類的生活的影響當然不隻是增添海灣的觀賞性，它對海上航運、海岸建設、海洋生物資源的利用都有緊密的關聯。為了中國走向深海，為了利用潮汐發電造福人類，那麽深入認識和掌握潮汐規律是中國人必須做好的功課。

圖G 海港與潮汐

海洋潮汐及每月兩次的大潮、低潮的規律深深地影響著海洋生物的生命曆程，在很大的程度上它們成了海洋生物的生物鍾。因此，他們的生物節律往往是潮汐周期的整倍數。許多生物物種，例如脊椎動物，其發育與成長的節奏，特別是它們的妊娠和卵孵化的節奏與潮汐周期有關。我們人類婦女的排卵即與月球公轉周期基本同步，因之稱為月經，時段大約相等於兩次大潮周期。這樣的相似之處暗示所有的動物都來自海洋，而且很可能在進化的漫長過程中，起源於陸上的哺乳動物的某一支又回到海洋之中生活，而人類正是從這一支哺乳動物進化而來的。

地球上海洋潮汐的巨大能量消耗是以月球動能的減少為代價的，也就是說月球在慢慢地減速，並漸漸遠離我們地球[3]，總有那麽一天，月球離開我們是如此之遙遠，看著如同天空中一顆尋常的星星而已，我們地球最終又回複到久遠的洪荒時代，那個月亮還沒有從地球脫離出去的時代。我們地球將重回那孤獨寂寞的歲月，孤零零地無人相伴，獨自在太空中飄零。當我們的子孫們讀著唐詩宋詞裏的許多有關月亮的句子，他們能明白怎麽一回事嗎？“明月出天山，蒼茫雲海間。”“明月鬆間照，清泉石上流。”“海上升明月，天涯共此時。”這些千古佳句對他們還有什麽意義嗎？他們又如何去體會其中的美感和背後的深意呢？如果把與月亮相關的詩全部剔除，唐詩三百首還能剩下多少？我是不是又有點“忋人憂天”了呢？

還是讓我們忘記這一切吧，“人生今朝不稱意，明日散發觀大潮。” -- 請看下圖的錢塘江大潮。

圖H 錢塘江大潮

2011年聖地亞哥海灘的發光潮汐的配樂視頻

[1]由於不規則海岸線對海洋潮汐運動的阻隔，使得地球各處的潮汐的表象會有許多差異，多數地方的潮汐為半日潮，但也有些地方可觀察到全日潮，甚至還有介於二者之間的混合潮。到目前為止，我們一直隻分析月球引力的四極分量對海洋的作用力，在大陸阻隔的某些特別區域，月球引力的八極分量甚至更高級的分量也會引起有意義的作用，從而導致複雜的潮汐形態。對這些現象的研究已經屬於工程問題，已經超出了本文討論的範圍，我們隻求給出物理模型，對潮汐的普遍現象給出定性的描述。

[2]從一年看來，也同樣有高低潮兩次。春分和秋分時，地球、月球和太陽幾乎在同一平麵上，這時引潮力比其他各月都大，造成一年春、秋兩次高潮。此外，潮汐與月球和太陽離地球的遠近也有關係。月球的公轉軌道是個橢圓，大約每27.55天靠近地球和遠離地球一次，近地潮要比遠地潮大39%，當近地潮與高潮重合時，潮差特別大，若遠地潮與低潮重合時，潮差就特別小。地球圍繞太陽的公轉軌道也是橢圓，在近日點太陽引力大，潮汐強，遠日點，引力小，潮汐弱。

[3] F=ma  F=GMm/R^2  a=mv^2/R
  GMm/R^2 =mv^2/R
  GM=v^2*R
由此可知速度平方乘軌道半徑是一常數。當月球速度變小時，軌道半徑一定隻能增大，以維持 v^2*R 為常數。

[洞庭東山人]

回複 '水師營' 的評論 :
F=ma F=GMm/R^2 a=mv^2/R
GMm/R^2 =mv^2/R
GM=v^2*R
由此可知速度平方乘軌道半徑是一常數。當月球速度變小時，軌道半徑一定隻能增大，以維持 v^2*R 為常數。
你提了一個很好的問題，希望這樣的回答能讓你滿意。

[水師營]

若潮汐消耗月球動能，即月球減速，月球將離地球越來越近，而不是遠離地球。