筐裏有8964個雞蛋—趣味數學

有一道趣味數學題：一筐雞蛋，若兩個兩個，或三個三個，或四個四個，或六個六個，或九個九個地拿，正好拿完；若五個五個，或七個七個，或八個八個，或十個十個地拿，則剩四個；若十一個十一個地拿，則少一個，這筐雞蛋最少是多少個？

 

這題可以傻做。往筐裝十個雞蛋，兩個兩個往外拿，如果能拿完沒剩就把所有拿出的雞蛋放回去，接著三個三個拿，····。如果有剩或達不到餘下的和不夠的要求就往筐中加一個蛋從頭來起。隻要不怕煩，總會知道滿足要求時的雞蛋數目。隻是別數糊塗和不小心把雞蛋給砸了。

 

這是沒學過算術的農村老大娘的做法，我們多少學過點算術不能這樣做。昨天群裏有人做，都有招數，但沒有高招，有算到2000還沒出結果。

 

也想湊熱鬧，又怕把自己算暈了。想寫個程序用計算機來算，又怕人笑話。不算了。但指出要不想傻算就要找規律。根據題意指出三點：1。雞蛋的個數S一定是36的整數倍；2。雞蛋的個數S減去4以後一定是5*7*8=280的整數倍；3。雞蛋的個數S加1以後一定能被11整除。還是要試算，隻是減少了試算的次數。想到有人算到2000還沒到頭，又打退堂鼓了。

 

再次開始想是半夜醒來睡不著了。腦子裏列了三個方程，有了解題思路。早起後完成。

 

S=k*4*9······（1）

S=m*（5*7*8）+4=4*（m*70+1）······（2）

S=n*11-1······（3）

S是雞蛋數目，k，m和n是從1開始的自然數。式（1）滿足S被2，3，4，6和9整除；式（2）式滿足S被5，7，8和10整除後餘4；式（3）滿足S被11除缺1。由同時滿足式（1），式（2）和式（3）的最小的k，m和n的組合可算出最小的Ｓ，即滿足預設條件的筐中最少的雞蛋數

 

結合式（1）和（2），得

k*4*9=4*（m*70+1）

 

化簡後可求出同時滿足條件（1）和（2）的所需的k和m的關係

k=（m*70+1）/9······（4）

 

m*70+1可表為由71開始，公差為70的等差數列

｛m*70+1｝=｛71，141，211，281，351，431，····）······（5）

 

能被9整除的多位數的各個數字和必須能被9整除，數列（5）中第一個可被9整除的數是351，對應的m=5。所有的能使k為整數的m組成初始值5，公差為9的等差數列，

｛5+（m1-1）*9｝=｛5，14，23，32，43，54，···｝······（6）

m1是從1開始的自然數，

 

由數列（6）計算得k在從39開始的公差為70的等差數列

｛39+（k1-1）*70｝=｛39，109，179，249，319，···｝······（7）

k1是從1開始的自然數。

 

再計算得S在從 1404開始的公差為70*36=2520的等差數列

｛1404+（p-1）*2520｝=｛1404，3924，6444，8964，11484，····｝······（8）

p為從1開始的自然數。

 

還可能可以用式（1）和式（3）來縮小範圍，但不很簡單，不如直接依次把數列（8）的元素代入式（3）試算簡單。

 

式（3）可化簡為

n=（S+1）/11······式（9）

第一個滿足n為整數的S即為答案。

 

用11除公差2520得到的商的整數部分和整除後的餘數，公差2520可表為

2520=229*11+1······（10）

 

由此知｛Ｓ｝的相鄰元素經過式（9）Ｓ｝運算的小數部分之差為1/11。

因此最多試探11次就會到結果。

 

試算如下：

（1404+1)/11=127.7...

（3924+1)/11=356.8···

（6444+1)/11=585.9...

（8964+1)/11=815

 

通過4次試探就得到整數，8964就是滿足所有條件的4最小數。

 

這種方法還有三次無用的試算，不是完全推理。進一步分析，上述滿足條件1和2的數列的通項為

S=1404+（p-1）*2520·····（11）

 

代入式（9）

（1404+（p-1）*2520 +1）/11=整數······（12）

 

用11除1405所得的商的整除部分和整除後的餘數可改寫

1404+1=127*11+8 ·······（13）

 

把式（10）和式（13）代入式（12）化簡後得

1404+（p-1）*2520+1=127+8/11+（p-1）*229+（p-1）/11+1/11······（14）

 

當8+p=n1*11，n1是從1開始的自然數，式（12）成立。

所以

p=n1*11-8

所以滿足本題三個條件的筐中雞蛋數為

S=（127+（n1*11-8）*229）*11+n1*11-1

或

｛8964，36684，64404，92124，···｝

而最少的雞蛋數為8964。

 

結論：筐裏的雞蛋數為8964個。這麽多雞蛋大約900斤重，這個筐需要很大，還要足夠結實。另外這麽多雞蛋，下麵的雞蛋可能都壓碎了，大概沒有人能完成這項艱巨任務。出題老師應該把雞蛋換成爆米花和玻璃彈子這些小朋友喜歡的東西，他們做完題可吃可玩，興趣會濃些。

 

到此已用推理試算法和推理運算法導出滿足所有預設條件的筐中雞蛋數為8964。

 

後記：前天做完但就是發不到微信，今天可以了。原來是做完題時沒有想到昨天8964犯忌。

 

庸貓，2020年6月5日