2016年諾貝爾物理學獎頒給了David J. Thouless （華盛頓大學）、F. Duncan M. Haldane（普林斯頓）、J. Michael Kosterlitz （布朗大學）三人。93萬美金獎金一半給了 Thouless，另一半則是後兩人分享。諾貝爾獎金數量取決於諾貝爾基金當年的收入。幾年前是1000萬瑞典克朗，現在降到了800萬。這三位諾獎獲得者的貢獻是把拓撲學運用於凝聚態物理。其中的 Thouless 用拓撲學解釋了整數量子霍爾效應，相關的方法被擴展到其他問題上，發現了很多奇特並且可能有極大應用前景的物理現象。相關的介紹文章很多，我就不重複了。這裏稍微介紹下拓撲與物理的關係（凝聚態物理中充斥著各種人名命名的概念，我這裏盡量少用術語）。
在量子霍爾效應中，霍爾電阻精確等於普朗克常數除以電子電荷的平方，準確到幾十億分之一。這個極其精確的電阻數字與樣本大小、磁場大小、樣本形狀、樣本的屬性都沒有關係，樣本粗糙、有一定的雜質效果甚至更好。這個顛撲不破的驚人精確度與實驗條件的隨意性困擾了物理學相當長時間。Thouless 用拓撲不變性從理論上解釋了這個問題。
諾貝爾委員會在介紹其成果時圖片如下，這可不是給與會人員發點心吃。
上圖是兩個食品有個基本的區別，一個有兩個孔，另一個隻有一個。這兩個東西無論怎麽變形（但不能撕裂），其孔的數量 g 是不變的。這在數學裏叫做拓撲不變量。歐拉在很久以前發現，任意一個多麵體的頂點數量 V，邊的數量 E，麵的數量 F 有這個關係 V - E + F =2 。比如說一個立方麵，有八個頂點 V=8，12 條邊，6個 麵， 8-12+6=2。你可以試試其他的多麵體，都滿足這個關係。一個球麵可以看成有兩個頂點，一個邊，一個麵，2-1+1=2 （試試看）。如果是有 g 個孔的，那麽 V -E -F = 2- 2 g 。如下圖，有一個孔 V - E + F = 2- 2*1=0。有興趣的可以自己數數。讀者可能問，這有什麽特別嗎？ 特別的地方在於，無論把這個怎麽變形，這個數字隻取決於孔的數量。比如說，你可以把下麵這個六角環變成一個圓環的玉鐲形狀 （Torus），一個頂點，兩個邊，一個麵 ， 1-2+1=0.
現在我們考慮另一個問題，如果我們在操場上圍著一個圓心跑一圈、回到出發點，我們繞了360度（2 pi）；但如果我們不是走圓形路徑，而是走一條彎路，最後回到出發點，那麽我們繞圓心轉了多少度呢？不管你是怎麽繞的，繞一圈就是360度，繞兩圈總共是720度。不管你如何走彎路，你可以把走的路分成很多小段，把每一段繞圓心變化的角度加起來，變成一個積分，結果肯定是 360度的整數倍，倍數是轉圈的數量。路徑變形（但保持圓心在路徑內），這個圈數不變。我們說，這個圈數是一個拓撲不變量。
類似的，圍繞一個球心的球麵角度是
.如果把球麵變形，這個角度也是這個數字。對於有 g 個孔的情況，高斯有個普遍公式，對於一個光滑而且沒有邊界的麵，曲率乘以麵積的積分等於 4 PI 乘以 1-g.
對於半徑為r的球麵，沒有孔 （g=0），曲率等於 1/r^2, 麵積為
，我們很容易驗證結果正確。如果是圓環，有一個孔，結果是0 -- 圓環內側的曲率是負值，結果跟外側的抵消了。這個公式的“神奇”在於，左邊是幾何曲率的積分，右邊卻是一個拓撲屬性，不管怎麽變形，右邊都是固定的。這就把整體的幾何屬性跟拓撲結構聯係起來了。
拓撲可以解釋物理中某些基本而又困難的問題。我們知道，電荷總是電子電荷的整數倍 （誇克電荷可以是1/3，但誇克不能自由存在），從未發現過0.12個電荷之類。這個電荷的整數特性被稱為電荷的量子化。為了解釋這一點，DIRAC 假設存在磁單極子，然後考慮電荷繞圈，那麽從角動量的量子化就可以推導出電荷的量子化。可以說，DIRAC 這個電荷量子化的解釋是拓撲的。問題是，到目前為止，並沒有發現磁單極子，而且我們也沒有另一種電荷量子化的解釋 --- 盡管這是一個明擺著的事實。
對於一個與某些參數相關的量子係統，如果這些參數沿著某個路徑緩慢變化，但最終回到開始的值，這個量子係統會回到原來的狀態。但是量子波函數可能出現一個相角的變化。如果計算這個角度的總變化，是一個環路積分。可以證明，這個相位的變化與路徑有關但與動態過程無關，是一種“幾何”性質。但我們知道，環路積分可以跟環內的麵積分對應（這叫著斯托克斯定理）。如果我們考慮反向路徑的積分，那麽應該跟外圍的麵積分對應。反轉與順轉的結果應該抵消，但是相角的總變化可以是 2 PI 的整數倍。因此，整個麵積分應該是 2PI 的整數倍。相關的複數理論之前已經被陳省身發展出來，這個整數叫著陳數（Chern number）。
Thouless 正是利用了這樣的數學解釋了量子霍爾效應。他從線性響應出發推導出霍爾電導的方程，並證明了霍爾電導隻與 K 空間的拓撲屬性有關。（此處省略N字。。。）這被稱為 TKNN 不變量,其中T指 Thouless (點擊查閱這個姓氏的起源）。也就說明了為什麽量子霍爾電導的精確度是如此的堅實、可靠，不受幹擾。
也許用半經典的模型更好理解。下圖中，磁場垂直向紙內，由於電子帶負電，根據右手法則，從左向右運動的電子會受到向下的力，從右向左運動的電子會受到向上的力。在磁場足夠強時，中間的電子會做順時針的圓周運動，不參與導電，這叫拓撲絕緣體。在下邊的邊緣處，電子向右運動半個圈就會遇到邊緣勢壘反彈回來；但由於磁場的存在，反彈的電子即使是遇到障礙，也不會從左邊出去，而是順時針繞回去繼續向右前進。類似的，上麵邊緣處的電子隻能向左運動，無法反彈轉向。這就把向左運動與向右運動的通道隔離了。由於兩個邊緣的距離遠大於中間圓軌道的半徑，一個在下麵向右運動的電子要跑到上麵轉向成向左的幾率極小，因此上下兩個通道的電子輸運完全是沒有反射的，或者說傳輸效率為100%。在一維量子輸運中，我們知道理想情況的電導是 
（這叫做 Landauer 公式）。這個情況跟一維理想的 ballistic 輸運非常類似，隻是這裏電壓是加在垂直於電流的方向，導致的是霍爾電導 Ix/Vy。
由此可見，量子霍爾效應中磁場的作用是把左右兩個邊緣通道從空間上分開了。用現在流行的行話來說，形成了兩個方向的 chiral state，破壞了time reversal symmetry，雲雲。如果沒有磁場，但能把左右運動的兩個通道完全分開，也應該有類似的量子霍爾效應。這種直觀的模型似乎更加容易解釋相關的物理。
