數學談藝錄

數學談藝錄 引子 常聽說有人在夢中獲得靈感，寫出好詩，心中暗自稱奇。心說 這人和人就是不一樣耶。人家一夢就夢見寫詩，本人睡覺常夢見墜入深穀（魯迅有詩曰：夢 墜空雲齒發寒），要不就是夢見到處找廁所。於是，真想具體問一問做夢寫詩的詳情和秘 訣，可又覺得似這等天機，他人必然不肯泄漏。思來想去，覺得唯有多睡才能多夢，唯有多 夢才能有雅夢。說不定那天做個夢，在夢中發現個把定理，發明幾項專利也未可知。於是， 告了幾天假，專門做起夢來（包括白日夢）。這夢還說來就來，真讓本人給夢著了。在夢 中，小蔡、老夫子和本人一同去參加一個聚會，不過聚會的沒有詩人，全是數學家。依稀記 得我們與數學大師們有一些對話，現錄在下麵。可惜的是一些更精彩的對話都全然忘記了， 這須怪不得我，在夢裏的事咱自己也控製不了。本人做的夢，老夫子和小蔡他們就更加控製 不了，對不？ 有人說道，數學既是一門科學，也是一門藝術。所以，本人就順手借用錢鍾書先生現成 的書名，給這場對話起了個題目。幾個小標題，也是後來加上的，我覺得它們也許代表了獲 得成功的幾個重要的因素（必要條件），不知道諸位行家同意否？ 另外，必須說明, 這裏的幾個人物都是經過夢中的非線性映射而形成的，因此，他們所 說的話，並不一定代表其本人觀點。 出場人物： 小蔡：江南才子、商學院經貿學院院長、經濟學家。此人精明而且聰明，善於利用數學 理論研究複雜的社會經濟問題，並以此獲得了博士的學位和教授的職稱。其人腦子活、路子 野、懂交際、通外語。在市場經濟條件下，混的那是如魚得水。 老夫子：數學博士。對純數學和應用數學都有深入研究。近來，主要集中在組合數學和 數學模型的研究。此公由於家學淵源, 從小喜讀古書, 嘴中念念有詞，滿口之乎者也，尤其 是喜歡引用古代的名人名言。因此，經常被兄弟班級的女同學當成是中文係的人。 黃某：武俠小說研究者。國際金學研究會高級會員。數學界天龍八部學派的創始人。往 往不自覺地將武俠小說的行為模式應用於現實世界當中，因而常常碰壁。 一、興趣　 (哥兒幾個到處轉悠，碰見了陳景潤先生。隻見他還是一副中青年科學家的模樣，目光 炯炯有神，隻是眼珠轉動的次數有限。看到這位鼎鼎大名的人物，老夫子趕快撩起長衫擦了 擦布滿了灰塵的黑框眼鏡，黃某緊張地清了清嗓子準備大侃而特侃, 小蔡則連忙用唾沫整了 整自己那原本就光滑的連蒼蠅都站不住的頭發。） 老、小、黃：（恭敬萬分地）景潤先生，您好？ 陳：你們認識我？ 老：唐朝高適有詩雲：“莫道前路無知己，天下誰人不識君。” 黃：您的大名可以說是如春雷貫耳、似皓月當空、和日月同輝、與天地同壽。江湖上誰要是 提起你陳大俠，沒有一個不豎起大拇指的。 小：想當年，您可是我們崇拜的偶像。我要是女的，說不定都會嫁給你的。徐遲先生的一篇 “哥德巴赫猜想”影響了整整一代人。你是那個時代的英雄。唉，真是可惜了這份無形資 產。如果放到現在，我一定會策劃一個project, 讓您做一個產品的形象代言人。比如，腦 白金腦白癡什麽的。 陳：你們都是學數學的嗎？你們的講話怎麽聽起來都怪怪的。 老：當然是啊，我們正趕上科學的春天。說起七七、七八年，那可是一個激情燃燒的歲月。 遙想老夫當年，高考成績在我們地區排在第三。若是有幸生在在古時候，鄙人可就是探花 郎，是可以欽賜跨馬遊街的。更不用說那黃金般寶屋，那如玉之容顏…… （往下使勁咽口 水，麵現神往之色）。 黃：不錯。剛恢複高考那時候咱學數學的人可自豪了。隻有一個字可以形容---牛。數學係 人數多，人氣旺，人才也多，我們班是全校取分最高的班之一（覺得露臉，顯出得意之 色）。象我當年……(想象自己當年也不咋地，頓時語塞，趕忙轉換話題)。想我係當年 可是天下第一大幫，估計丐幫都無法與之爭鋒。 小：當年各個學校數學係招生的人數都很多，有條件的招，沒條件的也招，這種投入和產出 完全不成比例，經營活動也缺乏針對性和目的性。從邊際效益的觀點看來，或者從市場的角 度來分析…….(搔到了癢處,正欲做長篇大論)。 陳：說的部分有理，數學畢竟不是搞人海戰術，也不能搞土法煉鋼。在這一行裏，一百個臭 皮匠也頂不了一個諸葛亮。眾人搭人梯想登上月球那是根本不可能的。關鍵要有高水平的研 究氛圍和相互之間的學術討論。華老師當年在數學所的討論班裏，也沒有幾個人，但幾乎每 個人都很有建樹。不過話又說回來，這幾年數學係的招生也有點太不景氣了， 畢竟數學除 了高水平的基礎研究之外,還是需要大量的教育和應用人才的。 小：現在學生的數量減少、質量也不行，您的“哥德巴赫”也許會被大夥當成文學家歌德、 音樂家巴赫什麽的。 黃：不當成他哥的拔河就不錯了。 老：子曰：“朽木不可雕也”。說句不好聽的，我教過的極個別學生比豬還苯。 陳：（正色地）不能這樣講。這樣講是不禮貌的。豬的智商是很高的。這種說法對豬是很不 公平的，對它是一種極大的侮辱。我們中國科學院動物所的研究表明，豬是一種非常聰明的 動物，豬不僅會計數，還有一定的形象思維能力。好了，這些和生物有關的東西應該不是今 天討論的主題。哎，你們都曾經讀過徐遲的“哥德巴赫猜想”？ 小：寫的真是好。一篇關於數學和數學家的報告文學居然能夠引起如此大轟動和如此深遠的 影響，家喻戶曉，這是很難得的…啊。從廣告和媒體傳播的角度，真正做到了覆蓋區域廣、 受眾數目多。 黃: 我初入江湖時, 就早早知道了哥德巴赫哥大俠和您陳大俠。好象您隻亮了一招 “一加 二等於三“，那手“一加一等於二”絕招尚未出手，就已經是天下第一，獨步江湖了。幾十 年過去了，這一招至今尚無人能破。 老：哥氏猜想曰：凡大偶數必可示之為二素數之和也。然否？ 陳：大體如此。不過我沒有能徹底證明這個猜想。簡單地說，我隻是證明了偶數一定可以表 示成為一個素數和兩個素數的乘積之和。 小：定理對我的影響並不大，I don’t care. 我隻記得報告文學提到哥德巴赫猜想是什麽 皇冠上的明珠。因此，幼小的心靈裏不時在猜想那顆明珠價值幾何，價格多少？說實話，當 時的新聞報道雖提高了數學的影響，但對人們心目中的數學家造成了一些誤解，好象搞數學 的都不食人間煙火，不通人情世故。走路就專往電線杆子上頭撞，騎車就偏往汽車輪子下麵 鑽。 黃：拿頭撞電線杆，屬於硬氣功。功夫高的還可以撞樹，境界最高的人腦門撞了樹，樹當時 並不斷，過些天樹才會慢慢枯萎。（開始暗自運氣） 老：凡夫俗子們哪裏懂得，心無旁鶩才是做學問的至高境界。荀子的“勸學篇”上說了，絕 利一源, 用師百倍…（開始搖頭晃腦） 陳：（打斷）當你在做一件不尋常的事的時候，怎麽可能和平常人想的一樣呢？我不僅不在 乎人們在議論什麽，甚至，我根本就不知道別人在議論。 小：沒錯，歌德說過，走自己的路，讓別人說去吧。巴赫說過，譜自己的曲，讓別人唱去 吧。不過，證明那個猜想就那麽重要嗎？我聽說計算機已經驗證了幾十萬位以上的大偶數， 猜想都是對的。也就是說，社會生活中如果用到這個定理，一定是成立的。為什麽非要動用 人力物力證明他呢？這個投入究竟會得到什麽回報呢？ 黃：色即是空，空即是色。猜想證不了是空，證明了也是空。武功的最高境界是無招勝有 招。 陳: 虧你們還是學數學的,怎麽這麽世俗？這些猜想是對人類思維的挑戰，同時，由解決這 個問題引出的數學理論已經在許多領域獲得了應用，將來也會為人類做更多的貢獻。 小：您在科研方麵鍥而不舍，在文革時也沒有中斷，這種執著令人敬佩。在當時，研究數學 出不了名，更沒有經濟利益，真不容易。 陳：當你在其中獲得了極大的樂趣，就以此為樂了。有興趣的執著才是真的執著，為名為利 的追求隻能是暫時的。有興趣就會堅持，你會發現有不少人玩麻將通宵達旦，完全是興趣所 至。 老：麻將很好玩的。其實，麻將和數學有許多聯係，組合論、概率論、甚至模式識別。有的 高手用手就可以識別所有的麻將牌。 黃：這又有何難。本人用左手都隨便可以識別。說起打麻將，本人可是家學淵源。七歲我就 上牌桌了。 陳: 興趣是支撐的關鍵。就像你們喜歡經濟學、古代文學，和武俠世界，都獲得了樂趣。 黃：他們倆小的一個可以用興趣來招搖撞騙，大發橫財，老的一個可以冒充中文係的夫子， 騙來文學青年崇敬的目光。我喜歡武俠，卻無法和街邊的小痞子鬥毆 ，警察會幹涉的(頻頻 搖頭)，再說，壞人很可能藏有武器。 老：您成功的秘訣是什麽？ 陳：哪有什麽秘訣？ 黃：數學界難道沒有什麽“葵花寶典”，“九陽神功”之類的法門？ 陳：如果真要問有什麽關鍵，我想，決心、恒心和耐心，這“三心”對於成功是重要的。而 這一切還是要以真興趣作為基礎的。 小：好一個“三心”，至理名言、千真萬確。家父也曾經告訴我，鑽研學問要有一顆“童 心”，對待名利要有一顆“平常心”，遇到困難要有一顆“癡心”。 黃：不管“癡心”不“癡心”。反正，高深的數學理論對我來說，是看起來 “揪心”，提 起來 “傷心”，想起來 “痛心”。 陳：說了許多，浪費我們大家不少時間，這才讓我痛心。我得抓緊時間去和高斯討論幾個經 典的數論問題（匆匆離去）。 二、基礎 （江澤堅先生帶一副眼鏡，步態從容，悠然而至） 老：江先生好。 江：幾位是學數學的？讀過我寫的書沒有？ 小：當然讀過，當年您的書就是我們的Bible。 江：發音不好，就不要中英文交叉使用了，別人不容易聽的懂。 小: Yes, Sir. 黃：您的書對我等而言, 就是數學的”武林秘籍”。您是我們老師的老師，按照江湖上的規 矩, 我還是稱您為“師祖”吧？ 江：學術界裏，江湖氣不宜太重。 小：我們剛一進大學校門，第一課就開始背您書中的公理。什麽：“非空的有界數集必有上 確界和下確界”。您用詞十分簡明，這不僅節約學生時間，還節約紙張。 黃：對我們剛入校的小青年而言，您這公理和文字艱澀的佛經有什麽區別？西方有句名言， 好象是說：如果你不能說服對方，就先將對方說糊塗了。我初窺門徑時，沒有被您說服，但 好歹被您給說糊塗了。 江：我的書不應該算是難讀的。數學本來就是這樣的，既然要嚴格，話就必須說的沒有漏 洞，要說的沒有漏洞，就的將詞匯界定清楚。你們過了這一關，以後就會輕鬆。據說你們的 基礎還不錯，也不知是真是假。要打好基礎，剛開始的訓練可以說是功不可沒。 小：數學的新內容爆炸性的增長，基礎上花的時間太多，必然影響對新內容的掌握。從經濟 學的角度而言，在已知的東西上花費太多資源是不劃算的。 老：不敢苟同，基本的東西、重要的東西值得花一輩子的經曆去體會。四書五經曆經幾千年 而不衰。古時候的許多大學問家，都是通過注解六經而抒發自己的理念和見解。 黃：沒錯，基礎還是要打的。我們武林人士都知道，馬步站樁是基本功，根基不紮實，下盤 就虛，這下盤一虛，就很容易被人撂倒。（開始比劃） 江：萬丈高樓當然需要萬丈的地基。沒有紮實的基礎，就不可能有將來突出的成就。我寫的 書有許多都是很基本的，但願它們為數學係學生打好基礎起到了一些作用。 老：您的書寫得非常清楚，大家手筆，畢竟不凡。江澤堅著的《數學分析》和《實變函數 論》在全國享有赫赫大名，曆久而彌新。我還讀過北大江澤涵先生的《拓撲學》和江澤培先 生的《多複變函數論》。 小：本人精讀過江澤民關於市場經濟方麵的論著。（又想把話題引入經濟學領域，被黃某識 破，打斷了他的話） 黃：您們江家澤字輩的幾兄弟在我國數學界可真是泰山北鬥，令人高山仰止。江家三傑在江 湖上威名遠揚。 江：我們並不是兄弟，名字相類隻能說是巧合。要說數學泰鬥，柯西正好在那邊，你們不妨 和他聊聊。 （柯西柱著拐杖，帶著一副拴著金鏈的金絲邊眼鏡，正端詳著手上的懷表） 老：柯老，你好！ 柯：我很老嗎？ 老：您德既高望又重。柯老是對您的尊稱，無獨有偶, 他們也尊稱我為老夫子。 “老”者非“老朽不堪”之老，乃是“老謀深算”之老也。 柯：你說的文縐縐的，我的聽不太明白。好象你是在誇獎我？ 黃：是的。老夫子他喜歡把複雜問題簡單化，更喜歡把簡單的問題複雜化，他的舌頭很樂意 在嘴裏繞彎。當然，他繞來繞去也沒有繞清楚。其實他就想說一句話：你的活兒不錯。 柯：……（麵現迷茫之色） 小：他是在大大地誇獎您。您是我們最先熟悉的外國大數學家。我們在教科書裏學了您的許 多定理，我正準備將其中一些應用到社會和經濟貿易領域。 柯：（得意）你們熟悉我的定理？最欣賞哪一個？ 小：柯西一致收斂定理， 我發現它和社會主義初級階段中勞動群眾走向共同富裕的理論有 著密切的關係，我正在寫一篇論文，準備展開討論一下。 老：我推崇柯西中值定理，它與孔孟的“中庸之道”有暗合之處。 黃：（推心置腹）說實話，當時還顧不上欣賞，先將定理背熟，習題做完再說。要說到我記 得最熟的，還要算是您的“比較判別法”，當年，本人每天在一堆髒衣服經過比較判別法選 出一件相對幹淨一點的穿在身上，因此，記憶比較深刻。 柯：我沒有想到我的定理在社會學方麵還可以有很多應用。早知如此，我的研究領域還會寬 廣許多。 小：剛才，我們正在與江先生數學的基礎和尖端的問題。不知您的有何高見？ 柯：基礎當然是非常重要的。 而且，我想強調的是，如果有可能，許多理論最好讀大科學 家的原著。歐幾裏得、阿基米德、高斯等等。從大人物最早的著作裏，更容易跟上前人原始 的思想，大師思想的源頭裏有許多的活水，可以給你很多的啟發。 老：此事甚難。非但資料不係統、不好找，而且語言也不易懂。不像我們中華文化，經史子 集，諸子百家，雖洋洋灑灑，但脈絡清晰，萬事皆有章可循。 小：都二十一世紀了，生活節奏很快，誰肯鑽到故紙堆裏。如果可以最新的文獻裏找到我要 的東西，我是不肯查什麽原始文獻的。我追求更新、更快、更酷。 黃：我倒是覺得柯老說的很有道理。能跟王重陽學武功，你幹嗎要跟他的徒弟丘處機學？其 實，人家柯西雖然強調基礎，但人家涉獵很廣，成績斐然。你在大學裏學的實分析、複分 析、調和分析、範函分析哪兒沒人家老柯家的成果？ 老：那是，要放在儒學裏類比的話，柯老的地位雖比不上孔孟，好歹也是朱熹一類的人物 了。 柯：過獎了。其實，我的定理雖多，涉獵雖廣，但主要集中在分析方麵。 比不上人家高斯，老高涉獵更廣，可以說通曉他那個時代的所有數學領域，不論在幾何、分 析、代數還是數論，甚至在物理學方麵都頗有貢獻，名垂青史。高斯的名字都被作為物理單 位廣泛使用。連初中生都知道他，你說，中學裏有誰知道俺柯西柯某人是何許人也？（慨歎 不已） 小：高斯小時候就是神童，不一樣就是不一樣嗷。（聲音漸小）其實本人小時候也是神童， 蘭州市七裏河一帶十村八鄉誰不知道本人。 老：我兒子也是神童（做出神采飛揚狀）。 黃：數學界的大家似乎隻屬於倆類：一類是神童，高斯、維納、馮.諾伊曼等,一類是小時候 特笨的那種,像龐加萊、希爾伯特等等。似我等尋常天分，循規蹈矩，又無特異之處，天生 注定難有大的出息。你想一想，要不你就像喬峰，天賦奇才。要不你幹脆就像郭靖，是個傻 小子，結果也不賴。 老：小時候你不是神童，連裝笨也不會嗎？我小時候，就故意裝的憨憨的，周圍四鄰都說我 是大智若愚。 小：柯老，聽說你在法國科學院當院士，主持工作時，提攜後進做得不夠好。伽羅華、阿貝 爾等人的流芳百世的成果都曾被你槍斃過。 黃：柯老的槍法很準？ 柯：往事不堪回首，慚愧慚愧。他們過來了，我無顏以對，還是先走吧。 三、天份 （伽羅華、阿貝爾身穿牛仔衣，帶大墨鏡，哼著流行歌曲走上） 伽、阿：（唱，扭動著身體，動作誇張而富有美感）對麵的夫子快過來、快過來、快過來。 老：老夫來也。 黃：兩位真是好身手，好像是練家子。不知是螳螂拳還是通臂拳。 小：二位這身打扮，真是帥呆了、酷斃了、沒治了。 伽：你是說我們要玩完？ 小：誤會誤會。我是說你們很英俊很瀟灑。 阿：（在學講中文）你 too. 小：我土？比較起來還是這位老夫子土一些吧。 老：好，我土。金木水火土，我算占了一個。在鄙人的眼中，二位可是占著金，是真正的數 學金童。伽羅華、阿貝爾對數學的貢獻怎麽評價都不過分。 黃：要說神童，二位確實當之無愧。伽羅華理論、群論、阿貝爾方法在代數裏有著不可替代 的崇高地位。 伽：神童不神童並不重要，關鍵是對事業要專心、要熱愛，方法要對頭，要有所創造。 黃：可是你在世僅僅二十一年，阿貝爾先生也隻活了二十七八歲，都作出了轟轟烈烈的事 業。您又搞革命運動，又化大量時間談情說愛，局然還有時間創出群論。令人不可思議。 伽：數學有那麽難嗎？人們將大量的時間浪費在枝枝葉葉上，因此，看不見大樹，看不見森 林。我的工作在身前並沒有得到認可。阿貝爾也是一樣。我們因為熱愛和創造，我們渴望得 到承認，但那並不是全部。 阿：我因為我的創造而不朽。 小：我們大學上了幾年之後，就已經二十好幾了，覺得還沒有入門。你們在二十歲就做出了 相當偉大的成就。這讓人十分地疑惑。 黃：沒什麽困惑的，人家有天賦。每個人天賦的資質不同，這是個必須承認的事實。 老：然也，孔夫子早就指出，有人是生而知之，有人是學而知之，有些則是學而不知。 黃：數學研究本來就要求天賦很好參與其中。又不是打群架。有一兩個武林高手就夠了。 阿：我不否認天才的存在。但我認為後天的努力更重要。 老：如何能創造出像群論這樣的成就？ 伽：它也不是憑空而出的。如果沒有阿貝爾他們的成果在先，群論也是空中樓閣。另外，可 以這樣說，數學是對現實世界的一種反映，但它也有自己的發展邏輯和發展軌跡。科學家可 以根據自己雖這門學科的洞察和理解進行新的創造。反過來，如果你幸運的話，你的創造會 對數學和其他科學有指導作用。 小：其實，群論和社會科學聯係可能更有發展前途。研究抽象的集合，定義一種運算。現在 在市場經濟環境下幹事，首先要製定遊戲規則。人群就是你群裏的集合，遊戲規則就是在群 裏定義的運算，當然，要滿足一些條件。很類似吧。關於這一方麵，我已經寫了一片論文， 發表在馬耳他群島的一個著名雜誌上。 伽：恕我孤陋寡聞，我不知道這個著名的群島。 老：您認為群論是您發現的還是您發明的？ 伽：更多地象是發明。要說明的是，想得到向群論這樣的成果，除了天分，努力，你還得有 一些運氣。 黃：我向來手氣不錯。咱們賭兩把你們就服了。 小：我比較有興趣的是，年紀輕輕的你又在科學上富有成果，還有時間鬧革命，還有時間會 情人兒，你有幾個相好，是怎麽安排的？我得好好學一學。對時間的有效利用是經濟學的一 個部分，時間就是金錢嘛。 伽：。。。（一時不知說什麽才好） 老：別問了，這是人家的私事。再說了，老子說：道可道，非常道。 黃：佛說，不可說，不可說。 伽：（堅定地）為愛情而死，我並不後悔。 小：（感慨萬分，眼含熱淚）生命誠可貴，數學價更高，若為愛情故，二者皆可拋。 幾個人說的熱鬧，笛卡爾、費瑪爾、黎曼等人紛紛走過來， 加入聊天行列。 本人又聊了半晌，雖然意猶未盡，但感到喉嚨已經聊得疼痛。這一疼不要緊，把夢給疼醒 了。隻有下次再夢了。