玄野的博客
朝聞道夕死可也。
論奧數教育的症結(無格式版)
玄野
注:文中用^代表指數運算，因為大部分網絡閱讀器不支持微軟的公式，而且也不支持字符的升降，讀起來會有些不便。
作為應試教育的極端，奧數已經侵淫中國二十餘年，同時在歐美發達國家的基礎教育中也影響巨大。人們對奧數教育微辭頗多，甚至於深惡痛絕，稱之為雜耍數學教育，毀滅孩子的正常理性思維。然而奧數教育卻在一片質疑聲和斥責聲中蓬勃發展，如火如荼。當然這種現象也不是數學教育中獨有，各類應試教育都有相似格局，隻是這奧數發展得比較極致，其對孩子的理性思維造成的淆亂比較嚴重，為其他應試教育無法相比。數學是一切科學的基礎，不適當的教學路徑對學生造成的影響深遠而嚴重。但是公允地說，奧數教育就隻是坑害學生嗎？私以為並非如此，至少幫助孩子們建立了合適的學習習慣，其解題思路雖然光怪陸離，但孩子依然會從其中領悟到數學與科學需要的是一些嚴密複雜的流程，而不是靈光一現就解決了問題。問題在於，對於悟性一般的孩子，專注於解題思路，而不是著重在科學概念的理解上，會造成其對科學概念與解析流程的理解紊亂，無法構建正確的理性思維架構。而實際中能達到從老師的怪異解題方法中悟出正確原理的孩子應該是很稀少的。教孩子們科學知識，尤其是數學知識，目標必須在科學的基本概念和現實物理意義上，而不可以局限在解決某種題目的方法上。洋洋自得於解題方法，與孩子們沉迷於電子遊戲無異。這些都與孩子們理解自然事理和實際應用沒有太大關係，反而會成為大多數孩子心中的障礙。奧數的症結在於其專注在解決各類數學考題的高效快速的方法上，而不是將解題作為一種手段幫助孩子們正確理解數學與科學的基本原理概念和正確的分析流程，有坐井觀天之虞。下麵我們以一個實際的奧數題目為例來解析一下奧數教育的症結所在。
有這樣一個奧數題目:
如果274!可以被12 ^x整除，那麽x的最大可能整數值是多少？
顯然，這個題目是考查素數的概念，就是如下的原理:
一，任何一個整數都可以分解成多個素數的乘積。
二，任何素數隻能被一和其自身整除。
三，任意多素數的乘積，如果因子中不含有某個素數，這個乘積也必然不可以被這個素數整除。其肯定意義上的表述為:如果這個乘積可以被某素數整除，那麽其因子中必然含有這個素數。條件與結論互為充要條件。
直觀地說，題目的要求就是在被除數中能分解出多少個12。
解決這道題，首先要看除數，因為其根12是一個合數，而我們不能直接在被除數中簡單地尋找12的倍數來解題，因為兩個偶數和另外一個三的倍數就可以構成一個因子12，例如14，22，和15的乘積就可以湊出一個12。
那麽第一步就是分解12:
12 = 3 * 2^2
第二步，尋找被除數中有多少因子3和因子2。
一般來說，尋找有合數因子的數比較麻煩，而尋找有素數因子的數就很簡單。274的階乘中有多少個因子3呢，首先就是１到274這些數中有多少個三的倍數，每三個數一個嗎，用274一除就行了，取整就是其中有多少個三的倍數。
更細致的問題是，某些數中不止有一個因子3，比如９有兩個因子3，所有９的倍數也有兩個因子3。27有三個因子3，而27的倍數也會有三個因子3;依此類推。那麽這第二步就應該分解成多個步驟來解決:
第一，274除以3，棄尾取整得到有多少個數至少有一個因子3，得A1。
第二，274除以9，棄尾取整得到有多少個數至少有兩個因子3，得A2。
第三，274除以27，棄尾取整得到有多少個數至少有三個因子3，得A3。
依此類推，直到最後的商An小於三。
最後，因子3數量如何算呢？9中有兩個因子3，是否要A1+2*A2？顯然不行，因為９作為三的倍數已經在A1中被記過一次因子3了，所以A2所貢獻的因子3隻能再算一個。而27呢，因為在A1和A2中被記過兩次，所以也隻能再算一個。
那麽，最後因子3的數量將會是
A=A1+A2+A3+…+An=135
因子2的數量也依此計算出來:
B=B1+B2+B3+…+Bm=271
第三步，計算指數x的最大值。
除數12^x可以化作兩個因子的冪，即
(3*2^2)^x=3^x * 2^(2x)
這裏麵有一個極其重要的概念，就是指數運算的分配律。這從加法的分配律衍生出來，基本可以算作人思維的基礎直覺，看似簡單沒意思，實則是最重要的概念。這就像建築中的基本原料水泥一樣。
(a*b)^n= a^n * b^n
通過以上運算可以知道
274!= 3^135 * 2^271 * C
其中Ｃ是不含有因子2和3的某個整數。x所必須滿足的條件是:
3^x * 2^(2x) <= 3^135 * 2^271
最後的條件就可以簡化成:
一，x≤135
二，2x≤271
因為兩個條件是“與”的關係，也就是說，兩個條件必須同時滿足，答案才是正確的。這裏麵又是一個更加重要更加基礎的概念，就是邏輯中的運算因子“與”或者說形式邏輯中的兩個必要條件構成一個充分條件。這裏不必要追溯到數理邏輯的同一律，排中律和矛盾律，但邏輯常識應該借此機會講授。由此可以得出答案，x的最大值為135。
題外之話，如果改變階乘的基數274為其他數值，求其中的因子2和因子3的數量，可以發現因子2的數量總大約是因子3數量的兩倍。有興趣的人可以邏輯上推演一下，最後的結論就是比較這樣兩個數的關係
1/2+1/4+…+2^(-m)
1/3+1/9+…+3^(-n)
當m，n趨近於無窮大時，Ｍ=１，N=1/2。一般來說，n必然要小於m，因為這是遞減的等比數列，頭幾個數值基本決定了Ｍ和Ｎ的大致值，所以Ｍ總是Ｎ的兩倍多一點。
我們再來看奧數班的講解方式。
當然，解題思路不會有什麽變化，隻是其中細節可以找點巧處。如果有哪位奧數老師會強調講解以上所提到的幾大基礎概念與原理，那就是學生們的福氣了。但我極其懷疑在當代奧數教育中一百個老師裏會不會找到一個老師這麽講，因為這種講解方式與奧數教育目標是完全相反的。
兒子從奧數課上回來，這道題讓他做得簡潔得難以接受。整個解題過程就剩下這樣幾步（以下等式為取整運算。）:
274/3=91
91/3=30
30/3=10
10/3=3
3/3=1
91+30+10+3+1=135
274/2=137
137/2=68
68/2=34
34/2=17
17/2=8
8/2=4
4/2=2
2/2=1
137+68+34+17+8+4+2+1=271
135<271, so the final answer: the biggest x=135
我相信老師在講解此類題目時已經完整地講解了具體思路，但是學生所記住的隻有針對於此類題目的這種解題過程與公式應用，每步是什麽意思完全不理解。最明顯的，不用274/9計算A2，而是用91/3計算A2，導致其數學過程更難以理解，與真正的物理意義隔閡更大。當然這樣算提高了速度，卻為學生的正確理解增加了一堵牆。
這就像教孩子如何建房子。學習過程中總要找一些簡單的建築來教授，比如雞舍鴨房之類，但目標卻是高樓大廈。所以我們應該提供給孩子們磚塊，水泥和鋼筋等基礎建築材料，再教給孩子們正確的建築流程，其中過程可能十分複雜繁瑣。某些人嘩眾取寵，爭奪教育資源，顯示自己教學方法何等高效，於是就將普通的建築材料預製成幾塊合成板料，可以讓孩子快速學會搭建雞舍，麵對考試時能比其他人快速準確地搭建起來。當孩子們長大了，需要建高樓大廈了，他們需要的是磚頭，水泥和鋼筋，但這些材料都被老師做成建雞舍的預製板料存儲在孩子的倉庫裏了，他們如何建得了高樓大廈呢？這些預製板料與垃圾又有何異？
其中有某些原理是必須講解明白的，我相信老師都提到了，但絕沒有強調，強調的隻是這取巧提高解題速度的雞舍預製板。比如其中的邏輯“與”問題，必須花大力氣講解透才行，這是現實生活，科學原理以及解題的絕對基礎，最有用的東西。老師怎麽講的不知道，但這學生解題時一點兒這方麵的考慮都沒有，直接用135<271就得出結論了。這裏有一個巧合就是題目要求的是12，也就是因子2的數量恰為因子3的兩倍，而被除數中恰好因子2的數量大於因子3的數量的兩倍。解題時根本用不著走邏輯“與”這個過程。於是我問他，如果將題中的12換成24，那答案是多少。回答是135。當然，正確回答應該是271/3=90<135，答案是90。原因是24中有三個因子2。顯然，其解題思路中就沒有正確細致的邏輯“與”這一步。教學過程中，這關鍵有用的一步不過是走個過場而已。
還需要強調一下，如今這奧數教育在數論領域的份量極大，與數論本身在科學應用中的比重有天壤之別。因為這個領域可以很容易地編出無窮無盡的繞人題目來，而且學生的父母一看就暈菜，也再不敢有什麽質疑。而數論知識在實際生活中的應用十分有限，除非大家一起玩通信編碼解碼，那就是全民吃錯藥了。
諸位兄弟姐妹，為了防止具有數理天賦的孩子們長大後隻會搭雞舍而不會蓋房子，請關切一下孩子們的奧數教育內容，及時補充強調數理學習中最本質最有價值的那些基礎原理。不能讓他們隻認識搭雞舍的預製板，縱然不能教他們從和泥脫坯開始，也要讓他們知道磚塊水泥的用法，讓他們學習一個正確完整的建築流程。
奧數教育的蓬勃發展影射出一種巨大的社會力量，就是人們對基礎教育中理性思辯的迫切需求，而且這種需求被各國的基礎教育忽視了。這種需求是否合理，與人的理性成長過程是相契合的還是相悖逆的，難以簡單地下定論，需學術界給出充足證據才可以。但兩個方麵是比較確信的，奧數教育對培養孩子的學習習慣有比較好的效果，理應肯定;同時，以解題為目標的教學，尤其在理性思辯的科目上，完全是喧賓奪主的教育，就像人的飯桌上醬油醋成了主食，米飯饅頭變成配菜，其對人健康的危害就可想而知了。所以，不能說奧數教育徹底負麵，但為滿足社會的巨大需求，啟動一些正確的理性思辯教育是必須的，以此取代局限於應試的奧數教育。
k = [n/p]+[n/p^2]+....
Applying this formula for p=2,3, one can find x in the original problem.