兩個牧羊人的難題－－理解一下奧數教育的潛在問題

兩個牧羊人的難題－－科學方法與人的智慧

 

玄野

 

數學教育的宗旨不是數字遊戲和炫目的技巧，而是要喚起人意識底層的數理直覺，從而自人的心靈底層構築起強大的力量與興趣來認識和解析宇宙奧秘，並將人在大千世界中的生存變得遊刃有餘。

在家鄉一直流傳著這樣一道題：有兩個放羊的，一個在坡上麵放羊，一個在坡下麵放羊。坡上麵的說：＂如果你給我一隻羊，我的羊就是你的羊的兩倍了。＂坡下麵的也不示弱，說：＂如果你給我一隻羊，咱們倆的羊就一樣多了。＂兩個人各自有多少羊呢？

這個題目很有趣，比當地的任何笑話都流傳得廣。學過初中數學的人都知道，這是一個很簡單的二元一次方程組問題。但是，如果用這樣的數學工具解決，這道題就變的索然無味了。其實，科學方法並非枯燥無味的，其中的每一個符號都蘊涵著豐富的實際物理意義，隻是由於理解和跟蹤符號的靜態與動態物理意義過於複雜，從而人們隻留意符號運算的準確性了。因此，科學才會變得乏味。解決這個問題用直觀的數學工具是足夠的，而且速度會更快。用方程式解決的過程和這種方法是等價的。

首先用方程組來解決。定義坡上麵的羊群數目為x，坡下麵的羊群數目為y。

x+1 = 2(y-1)

x-1 = y +1

由第二個方程式

x=y+2

將其置換入第一個方程式

y+2+1 =2y-2

y = 5

x = 7

再用直觀的數學方法來解決。從坡下牧羊人的話可以知道，坡上的羊比坡下的羊多兩隻。這樣的話，我們就知道，如果按照坡上牧羊人的話做－－坡下的羊再給一隻到坡上麵，坡上麵的羊比坡下麵的羊多幾隻呢？太簡單了，那就是四隻。坡上牧羊人說，這種情況下，坡上的羊就是坡下的羊的兩倍了，這個意思很明顯，坡上比坡下多了四隻就多了一倍，那麽此時坡下的羊就是四隻。四隻是在坡下的羊給到坡上麵一隻的條件下得到的，那麽，坡下的羊一定是五隻。

如果我們將方程組的解題過程稍微改動一下，就會發現，兩個解決過程是完全一致的。

x+1 = 2(y-1)

x-1 = y +1

由第二個方程式

x=y+2

(這一步對應於上文的“從坡下牧羊人的話可以知道，坡上的羊比坡下的羊多兩隻。”)

將其置換入第一個方程式

 (y+2)+1 = 2 (y-1)

因為x+1 = (y+2)+1 = y+3 = (y-1) + 4，

(這一步對應於上文的“如果坡下的羊給一隻到坡上麵，坡上麵的羊比坡下麵的羊多幾隻？太簡單了，那就是四隻。”)

所以

(y-1) + 4 = 2(y-1)

(這一步對應於上文的“坡上牧羊人說，這種情況下，坡上的羊就是坡下的羊的兩倍了”)

y-1 = 4 ((這一步對應於上文的“這個意思很明顯，坡上比坡下多了四隻就多了一倍，那麽此時坡下的羊就是四隻。”)

y = 5

x = 7

科學方法的教育並不一定就能夠給人的智慧帶來直接的效果，除非你對這個方法的各元素的物理圖景有了深刻的理解，如同發明這種方法的人的理解一樣。無疑，發明一種方法的人是最理解其中的物理意義的。他首先要透徹地掌握並明膫事情的各個方麵，然後才能壓縮成符號係統或者簡明的理論。在現實的教育中，人們往往注重的是對這種方法的掌握，而不是對事物本質的理解。當然前者會容易的多，但是這種做法帶來的問題是一大批人掌握了這種方法，卻沒有應用到實際中的能力。在他們的頭腦中符號就是簡單的符號，和它背後的物理意義難以聯係起來。中國古代有一個書蟲的故事，說某士人書庫中的書蟲嚼了許多四書五經一類的經典，出來混世道的時候卻經常被蚊子蟑螂等野蠻之類欺淩。於是它就回來問士人，士人告訴它：你雖然嚼了許多經典，但食而不化，又有什麽意義呢？當中國引進了科學方法之後，教育所造成的食而不化現象遠比中國的經典嚴重。其實，即使你能夠將科學的方法嫻熟的應用於實際當中，也並不需要你對這個方法有完全透徹的理解。科學方法的教育首先是給人一個向自然索取財富的能力，而對智慧的熱愛隻是人類心靈的需求。

對這個問題的徹底討論足以顛覆曾經為幾代大陸中國人所廣泛接受的認識論與實踐論。顯然這已經不是這樣的一個短文所能展開的話題了。這裏我們討論一下它在教育中的實際意義。這種思維方法的意義絕不在於讓人們掌握一種另類的思路與解題技巧，也不在於如同所謂逆向思維式的鍛煉人們的大腦。它的意義在於，讓學生在學習科學方法的時候，體會到符號的每一運算過程都代表著十分實在的物理意義，而不是陶醉或迷失於符號在紙上或計算機屏幕上的裸奔遊戲中。科學教育的目的應該是解決現實課題與任務，將複雜的實際問題抽象成簡單的數學模型也就成了關鍵之關鍵。在中國，學生依然在分數的競爭中疲於奔命；在北美，雖然工程實踐的鍛煉很早的介入到教育中，但是還沒有係統的方法鍛煉學生的抽象能力。這種思維方法在教育中的重要性是不可低估的，也是有待發展的。

還有另外一個題目，用來給大家參考。同樣的，這也是家鄉流傳的題，是一個順口溜：一群老頭兒去趕集，路上見到一筐梨，一人分倆多一個，一人分仨少倆梨。請問，幾個老頭兒幾隻梨？

定義老頭兒數目為x，梨子數目為y，列出方程組

2x + 1 = y

3x = y +2

很快得出答案

x = 3

y = 7

如果用直觀的方法來解決，你會發現，用方程組來解決就象被人發現騎驢找驢一樣的尷尬。我們可以這樣分析這個問題，給老頭兒們分梨，一輪一輪分，每輪每人分一個。第一輪每人一個都分到了，第二輪同樣。第三輪的時候，第一個人分到了，基於題中所說：一人分倆多一個。這時，還有幾個人沒有分到梨呢？是兩個人，基於題中所說：一人分仨少倆梨。第三輪中一個人分到了，兩個人沒分到，顯然，一共有三個人。這個問題比一加一等於二複雜一點，是一加二等於三。兩種方法的等價過程，大家可以試著找一找，不再贅述。

最後，我們討論一個比較複雜的題目。也許它對任何人來說都具有一定的挑戰性。這個題目是十幾年前北京的育英中學入學考試中給小學畢業生的一道選作題。

某學校的某年級共有兩個班。兩班的總人數相同。其中，甲班的女生比乙班的男生多八人，乙班的男生比乙班的女生多八人，兩班男生的總和占全部人數的五分之二。請問，兩個班一共有多少人。請用小學的數學方法解決。

方程式是初中數學的課程，顯然在這裏用四元一次方程組是不符合要求的。即使用方程組，過程也是很複雜的。

定義甲班的女生為x1，定義甲班的男生為y1，定義乙班的女生為x2，定義乙班的男生為y2，則有四個方程式

x1 + y1 = x2 + y2

x1 - y2 = 8

y2 – x2 = 8

y1 + y2 = (x1 + y1 + x2 + y2)* 2/5

可想而知，運算過程是繁複的，也許有人會用行列式解決。但是，如果我們用直觀的物理意義結合符號運算就會十分簡單。甲班的女生比乙班的男生多八人，

x1 - y2 = 8; 同時，兩班的總人數相同。那麽我們可以推斷出來，乙班的女生比甲班的男生多八人。

x2 – y1 = 8

進而，我們可以推知，女生的總和比男生的總和多十六。

(x1 + x2) – (y1 + y2) = 16

最後一個條件，兩班男生的總和占全部人數的五分之二。

y1 + y2 = (x1 + y1 + x2 + y2)* 2/5

由此直接可以推出兩班女生的總和占全部人數的五分之三。

x1 + x2 = (x1 + y1 + x2 + y2)* 3/5

因此，女生的總和比男生的總和多的人數就是全部人數的五分之一。

(x1 + x2) – (y1 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2)* 1/5

我們已經知道了女生的總和比男生的總和多的人數，是十六。那麽兩個班的總人數就是

(x1 + y1 + x2 + y2)* 1/5 = 16

(x1 + y1 + x2 + y2) = 80

題目給出的條件對於問題而言是有冗餘的，第三個條件沒有用到。

y2 – x2 = 8 (乙班的男生比乙班的女生多八人)

這個條件隻是限定解的唯一性，對總人數沒有影響。

這樣的題目對於沒有掌握足夠數學工具的小學生來說是極其困難的；而對於那些熟練了各種數學工具，但在頭腦中數學符號的運算過程僅僅是毫無實際意義的工具的人，如果要求他們放棄複雜的數學工具，而僅僅用小學知識去解決的話，所遇到的困難可能會更大。惟有透徹理解了方程組的實際意義，又通曉了解方程各步驟的物理內涵的時候，才能夠輕易地解決這樣的題目。教育機構出這種題目來做小學生的升學標準，我們隻能用誤入歧途來評價。一個人犯了認識上的錯誤本身是無所謂的事情；然而，一個教師，一個教育機構，一種教育理念出現了偏差，卻會遺害無窮。在那之後的十數年中，中國又發展出了轟轟烈烈的奧數教育。

應試教育有利有弊，在職業教育中應該是相對簡潔的好形式，而在基礎教育中則弊端太大。關鍵在於其弊端是什麽。中國教育部徹底否定奧數教育的理由是增加了學生的課業負擔，然而，任何概念任何理論任何知識，沒有一定強度的訓練你都談不上熟悉理解與應用。為什麽國家越否定，奧數教育反而越流行，甚至對歐美基礎教育都產生了強烈影響？兩害相權取其輕，與奧數的機械做法相比，對學生放縱所產生的問題更大。家長很明白，我不為升學加分，隻為孩子得到充分的訓練。對於一個大家明知有弊端卻又不得不接受的教育形式，我們每一個做家長的人都有責任義務去認真甄別其在孩子學習過程中的弊端所在。以參加國際比賽為目的而學習奧數，我相信沒有多少家長會如此糊塗，而強化訓練應該是個不錯的理由，但奧數的強化訓練模式不是一個適合大多數孩子的模式。這就像發大水灌溉農田，僅有那些高出水麵的莊稼得益，而絕大部分水麵以下的莊稼都被窒息了。即使對於數學思維較強的孩子，奧數教育也是一個相對低效的模式。真正合適的教育是將數學的學習建立在真正的理解之上，然後強化這個理解，而不是強化那些瑣碎的數字技巧。