數學家的故事 （一）

 

1 Thales

 

數學史上，第一位留下名字的數學家是誰呢？他叫Thales，古希臘人。關於他的生平，大家所知甚少。他的數學成果，也都是後人轉述，他自己並未留下任何專門著作。據說他曾成功預測了公元前五八五年的日全蝕，後人據此推測他的生活年代，大約在公元前六二四年至公元前五四六年。

 

Thales 居住在Miletus，在當時是一個非常富有的商貿城市。那裏是希臘哲學，數學和科學的發源地。

 

Thales 是古希臘七賢之一。他是一個精明的商人，經常靠一群騾子運送食鹽。在一次渡河的時候，一個騾子不慎滑了一跤，背上裝滿食鹽的麻袋泡在水裏，鹽被融化了，背上負重減輕了不少。於是每次渡河，這個聰明的騾子就故伎重施，都要有意滑它一跤。當然這瞞不過睿智的Thales，於是有一次他在麻袋裏裝滿了海綿而不是鹽，終於治愈了騾子的毛病。

 

Thales 經商賺了很多錢，於是就像很多富有的商人一樣，早早退了休。與別人不一樣的是，他把閑暇時間用在了哲學，數學和天文學上。所以他也是哲學家和天文學家。

 

有天晚上，Thales又在仰望星空，一門心思琢磨天上的事情，結果不小心栽到腳底下的小水溝裏去了。照料他的老傭人抱怨說，你腳底下的水溝都看不清，又怎能明白天上的事呢？

 

Thales 的數學是從巴比倫人和古埃及人那裏學來的。古希臘人最偉大的地方就是，能夠快速學習先進的外來文化，並且將之歸納提高。

 

Thales 都有那些數學成就呢？這裏簡單列舉幾條：

 

1. 半圓上的圓周角是直角。
2. 任意直徑都等分一個圓。
3. 對頂角相等。
4. 等腰三角形的兩底角相等。
5. 如果兩個三角形的一條邊和兩個相應的角分別相等，則兩個三角形全等。

 

這些定理中的特例，也許他的巴比倫和埃及老師早已知曉，但Thales 是第一個將它們抽象概括出來的。

 

這些結果看似簡單，卻開啟了數學的新紀元。數學，作為一門嚴格的科學，就這樣誕生了。

 

2 Pythagoras

 

網上查了一下，Pythagoras生活在公元前570年至公元前495年。我讀的數學史上稍有差異，說是公元前580至公元前500年。和中國的老子孔子是同時代人。網上的百度說了，孔子生於公元前551年9月28日，卒於公元前479年4月11日。老子的生卒年代不詳，生於公元前約571年，卒於公元前約471年。那真是個偉大的時代，很多思想家哲學家都在那時誕生。

 

Pythagoras出生地是Samos，古希臘人，離Thales 的Miletus 不遠。他和Thales 年齡相差也不太大，五十幾年吧，可以說是同時代人。有些書上說，他是Thales 的學生。當然也有人質疑。不管是不是學生吧，Pythagoras的名氣可大多了。著名的Pythagorean Theorem ，沒聽說過的人不多。

 

Thales 的哲學思想是萬物皆水，Pythagoras的信條是萬物皆數，由此可見他對數的執著和癡迷。他要是在數學史上不留下重彩， 這世上還有天理嗎？他是不是數學史上第二個留下名字的數學家呢？不敢妄議。

 

Pythagoas所說的數實際是有理數。他的一個門徒後來發現，世界上還真有“無理”的數。比如說，邊長為1的正方形，它的對角線就很“無理”。這樣的發現在當時真是大逆不道，其發現者據說被同門兄弟活活給扔進大海淹死了。

 

同Thales 一樣，Pythagoras 去過埃及，巴比倫甚至印度。埃及和巴比倫是當時的學問中心，他的數學不用說吸取了當地的數學精華。旅行回來後，大約在公元前529年，他定居在Crotona ，並在那裏建立了一個很隱秘的兄弟會，宣揚他的數學，哲學和宗教。那裏一切公有，奉行素食，頗有點共產主義的味道。兄弟會的一切發現，都歸功於兄弟會的創立者，所以其發現後人都以Pythagorean 命名。

 

萬物皆是有理數，多麽美好！可惜萬物皆有例外，無理數尤其眾多，遠遠超過有理的數了。

 

嗚呼！有可奈何？

 

注：無理表示不能寫成兩個整數的商。

 

3 Eudoxus

 

無理數的發現，對於Pythagoras學派來說，簡直是地基上陷了個大坑。

 

地基上陷了個大坑，那該咋辦？

 

有啥辦法？想辦法填坑補洞唄。

 

填坑補洞可不是件容易的事情，非得很多非凡的人不成。Eudoxus （公元前408年——公元前355年）就是其中一位關鍵的人物。他是古希臘偉大的數學家，在古希臘其數學地位僅次於後來的Archimedes。

 

說起Eudoxus ，就得說起他的老師Plato（公元前429年——公元前348年）。說起Plato ，又得說起他的老師Socrates，這樣就沒完沒了了。所以就從Plato 說起。

 

Plato 是個很有個性的哲學家，創辦了西方世界第一個現代意義的學院：雅典科學院。當時的雅典可不得了，儼然是西方世界政治商業和文化的中心。在演講廳，Plato 讓人在大門上寫著：Let no one destitute of geometry enter my doors！就是說，幾何知識貧乏的人別進我的大門。聽聽，他可不會說，沒有財產的窮小子別進我的大門。

 

Eudoxus 恰恰是個沒有財產的窮小子，來自Cnidus。貧窮和好學，真不是一對好搭擋。雅典是個高大上的城市，Eudoxus 囊中羞澀，住不起呀。沒辦法，他隻能寄住在靠海的Piraeus ，每天來回步行十幾英裏到雅典。那可是塵土飛揚的泥土路啊！好在他在數學和天文學上天分極高，最終獲得重要的位置，並到埃及，意大利和西西裏旅行，見到了許多有名的學者。他在那次旅行中見到了他的另一位老師，幾何學家，Pythagoras 學派的Archyras（公元前428年——公元前347年）。公元前368年，在他四十歲的時候，回到了雅典。陪伴他回來的還有一群他自己的學生。

 

Eudoxus 是如何填坑的呢？

 

Pythagoras 學派已經知道了無理數的存在，但對如何處理無理數卻束手無策。知道是一回事，如何應對卻完全是另一回事。Eudoxus 提出的比例（proportion)概念則成功地解決了這個問題。

 

有了比例這個概念，數學家們總算喘了一口氣，數學的高樓大廈，可以繼續接著蓋了。

 

注：According to “men of mathematics “ by E.T. Bell, page 25, Eudoxus’s first teacher was Archytus. But from “The great mathematicians “ by H.W Turnbull, it seems that Plato was his first teacher.

 

4 Zeno

 

Eudoxus 是填坑補洞蓋大樓的，用時行的話來說，是充滿正能量的人。Zeno （公元前495—-公元前430）正相反，是專門尋找漏洞挑毛病的人，滿滿的負能量。Zeno 是著名的哲學家，他的好多悖論，叫人不好應付。也正因為這些悖論，讓數學家們謹小慎微，避免了不少可能的陷阱，使得數學這個高樓大廈，得以建立在堅實的地基之上。

 

前麵我們說過，Archytas 是Eudoxus 的另一位老師。Archytas 住在Tarentum，意大利南部的一個城市。

 

還記得Crotona嗎？就是Pythagoras 在那裏創立兄弟會的地方。在Crotona 和 Tarentum 之間，有個叫Elea 的城市，Zeno 就住在那裏。他和他的老師Parmenides 在那裏建立了Elea學派。

 

Pythagoras 學派認為空間和時間是連續的，是無窮可分的。Zeno 有兩個有名的悖論，是說無窮可分是不可能的。

 

第一個悖論叫Dichotomy 悖論，用以證明，假如空間無窮可分，那麽人就永遠不可能從A點走到另一個B 點。他的推理是這樣的，要走到B，就一定要先到AB的中點C，而要到C呢，又得先到AC的中點D，依此類推，這樣弄下去，根本就沒法子邁開第一步。

 

第二個悖論叫Achilles悖論，是說不管你Achilles能跑多快，都不可能追上你前麵爬行的烏龜。下麵是他的推理：假設Achilles在A點，烏龜在B點，當Achilles跑到B點的時候，烏龜已經在前麵的某個C 點了，而當Achilles跑到C點時，烏龜又在前麵的某個D點了，如此這般，就算Achilles 能日行千裏，也追不到步履蹣跚的烏龜呀。

 

這麽說來，Zeno 不認同無窮可分論，一定認可它的對立麵囉？

 

不，他的另外兩個悖論，就是用來說明對立麵也同樣有問題。

瞧瞧，Zeno老先生多麽可愛！他就是這麽任性，這麽愛挑剔！

 

[朝霞滿天]

回複 '小二哥李白' 的評論 : 是的，應該就是這個意思。不過現在都叫慣了有理數了。習慣成自然了。

[小二哥李白]

Rational 是不是 ratio 的詞根，應該叫 “可比數”，Irrational 就應該叫 “不可比數”。

[chufang]

至今尚未能真正破除Achilles悖論。

[我不再沉默]

很有意思。能不能說一說proportion是怎麽定義的？根據我的理解，它就是兩個數的商。但如果是這樣的話，那從有理數上永遠也推不出無理數。

[Brit_英倫97]

科學的分科其是歸根到底談的是哲學，是不同角度隊友周結構的認識。但基於三維理論的科學是難以解釋世間萬物，因為宇宙是多維係統，三維理論有局限性。人們常說持是無聲勝有聲，其實揭示了一個道理，高級的道理可能不是語言和文字所能表達的，人類的語言很有限，同樣人類的數學想要解釋清楚所有，那是萬萬不能的。

[泥中隱士]

說說希臘人怎麽看出來地是圓的。