關於稱球，我們已經折騰了好多次了，現在作個小結，以便暫時告別這一話題。
如何小結？ 就是用舊文提到的方法，去解下麵的問題：
現有39個外表一模一樣的球，其中有一個壞球重量不同於其他38個，其它球輕重一致。隻允許使用四次天平，如何找出壞球並弄清輕重？
先注意一個事實：如已知壞球是輕或是重，一次便可找出3個球中的壞球，二次便可找出9個球中的壞球。
我們用三種不同的方法解決這一難題。
一 用信息論原理
使用一次天平，就是將感興趣球的球分為三部分：天平左邊，天平右邊，和不在天平上，分別用L，R和B表示。所謂用信息論原理，就是在使用天平時，盡量使壞球在三組中的概率相等。
第一次使用天平最為簡單，就是三等分39個球為L,R和B三組。將L組放在天平左邊，R組放在天平右邊，看看結果如何。
1 天平左右平衡
這意味著，壞球在B組的13個球中。從B組中隨便取出9個球為B_1組放在天平的左邊，從L組中隨便取出9個(好)球放在天平的右邊。如還左右平衡，說明壞球在B組中剩下的四個球中，如左右不平衡，壞球必在B_1組中並且輕重已知。這兩種情況，再用兩次天平，可輕易找到壞球和輕重，不贅述。
2 天平左重右輕
這意味著，壞球在L或R這26個球中。雖然有26個球，但我們有額外的信息：如壞球在L中則重，在R中則輕。
第二次如何使用天平？這時有幾種不同方法，原理都是一條，就是將26個可能的壞球分為三組，使壞球在三組中的概率盡可能相等。如何做到這一點？從L中取出6個(歸入X_1組)放到天平左邊，6個(歸入X_2組)放到天平右邊，再從R中取出3個(歸入Y_1組)放到天平左邊，3個(歸入Y_2組)放到天平右邊。還有8個球不在天平上。
第二次稱球，仍有三種可能：左右平衡，左重右輕和左輕右重。
第二次稱球如左右平衡，則壞球在剩下的8個球中。剩下的8個球，有1個是L組的，餘下7個都在R組中。如何兩次找到答案？同樣有幾種辦法，我們用法如下。
將R組中的6個球等分為兩組，分別放在天平兩邊。如左右平衡，則壞球必在剩下的兩個球中，將其中之一與好球相稱便可得到答案。
如左右不平衡，則壞球必在輕的那邊，再稱一次也可知答案。
第二次稱球如左重右輕，則表示壞球要麽在X_1中，要麽在Y_2中。將X_1中的球等分為二，放在天平兩邊，如天平左右平衡， 則壞球在Y_2中且輕，再稱一次可知答案；如天平左右不平衡，壞球必在重的那邊，再稱一次也可知答案。
第二次稱球如左輕右重，可如法炮製，不贅述。
3 天平左輕右重
可按2如法炮製，不贅述。到此方法一完。
二 用遞歸方法
所謂遞歸方法，就是將複雜的問題，劃為較簡單的問題，並由簡單的問題的解答，給出複雜問題的解答。數學歸納法就是如此。
同樣，第一次使用天平最為簡單，就是三等分39個球為L,R和B三組。將L分為L_1和L_2兩小組，L_1有4個球，L_2有9個球。類似，也將R和B分別分為R_1，R_2以及B_1和B_2兩小組，R_1和B_1各有4個球，R_2和B_2各有9個球。第二次使用天平如下：
L_1和B_2放天平左邊，R_1和L_2放天平右邊，B_1和R_2不在天平上。比較兩次稱球的結果。
如兩次結果相同，表示壞球沒有挪窩，在L_1，R_1和B_1等12個球之中；如兩次結果不同，壞球必在L_2，R_2或B_2三者之一中。
先看兩次結果相同的情況，即同為左右平衡，同為左重右輕或同為左輕右重。這時B_2和L_2中的球必為好球，所以第二次使用天平與L_1放天平左邊，R_1放天平右邊等價。我們已經知道如何用三次天平找到12個球中的壞球和輕重，所以在這種情形，再用兩次天平，就可找到壞球並知輕重。
再看兩次結果不同的情況。
如第一次左右平衡，則表示壞球在B組中。第二次如左輕右重，壞球必在B_2中且為輕；第二次如左重右輕，則壞球必在B_2中且為重。注意B_2中有9個球，再稱兩次便可找到壞球並知輕重。
如第一次左輕右重，則表示壞球在L和R中。第二次如左右平衡，壞球必在R_2中且為重；第二次如左重右輕，則壞球必在L_2中且為輕。注意R_2中或L_2均有9個球，再稱兩次便可找到壞球並知輕重。
如第一次左重右輕可如法炮製，省略不提。
方法二到此完成。
三 用軌跡的辦法
用軌跡的辦法，就是記住每個球4次都在哪一組。比如說，lrrb就表示某球依次在天平的左邊，右邊，右邊，然後不在天平上。如果該球是好球，軌跡不能告訴我們什麽。但如是壞球，就提供了有用的信息。為方便敘說，分別用L，R，B表示左重，右重和左右平衡。 如壞球為重，其結果必為LRRB；為輕則為RLLB。同理，如壞球的軌跡為rllb，其結果也是LRRB或RLLB之一；如壞球為重，其結果必為RLLB，為輕則為LRRB。如lrrb和rllb中隻有一個出現，由LRRB或RLLB便可推知壞球軌跡從而找到壞球。由於所述原因，我們稱lrrb和rllb為等價軌跡。隨便給定一個軌跡，將l和r互換，就得到與之等價的軌跡。
下麵列出所有可能的軌跡：
llll, lllr, lllb, llrl, llrr, llrb, llbl, llbr, llbb,
lrll, lrlr, lrlb, lrrl, lrrr, lrrb, lrbl, lrbr, lrbb,
lbll, lblr, lblb, lbrl, lbrr, lbrb, lbbl, lbbr, lbbb,
rlll, rllr, rllb, rlrl, rlrr, rlrb, rlbl, rlbr, rlbb,
rrll, rrlr, rrlb, rrrl, rrrr, rrrb, rrbl, rrbr, rrbb,
rbll, rblr, rblb, rbrl, rbrr, rbrb, rbbl, rbbr, rbbb,
blll, bllr, bllb, blrl, blrr, blrb, blbl, blbr, blbb,
brll, brlr, brlb, brrl, brrr, brrb, brbl, brbr, brbb,
bbll, bblr, bblb, bbrl, bbrr, bbrb, bbbl, bbbr, bbbb
在所列的軌跡中，bbbb表示某球始終不在天平上。不上天平，就無法知輕重，必須排除。同樣，我們也排除軌跡llll和rrrr。然後將剩下的軌跡分為39個等價類，給球用1到39中的數標上號，並將每一個球歸為一個各不相同的等價類。
1:{lllr,rrrl} 2:{lllb,rrrb} 3:{llrl,rrlr} 4:{llrr,rrll} 5:{llrb,rrlb} 6:{llbl,rrbr} 7:{llbr,rrbl}
8:{llbb,rrbb} 9:{lrll,rlrr} 10:{lrlr,rlrl} 11:{lrlb,rlrb} 12:{lrrl,rllr} 13:{lrrr,rlll} 14:{lrrb,rllb}
15:{lrbl,rlbr}16:{lrbr,rlbl} 17:{lrbb,rlbb} 18:{lbll,rbrr} 19:{lblr,rbrl} 20:{lblb,rbrb} 21:{lbrl,rblr}
22:{lbrr,rbll} 23:{lbrb,rblb} 24:{lbbl,rbbr} 25:{lbbr,rbbl} 26:{lbbb,rbbb} 27:{blll,brrr} 28:{bllr,brrl}
29:{bllb,brrb} 30:{blrl,brlr} 31:{blrr,brll} 32:{blrb,brlb} 33:{blbl,brbr} 34:{blbr,brbl} 35:{blbb,brbb}
36:{bbll,bbrr} 37:{bblr,bbrl} 38:{bblb,bbrb} 39:{bbbl,bbbr}
然後再從每一個等價類中取出一個軌跡，使得每次都有13個l，13個r和13個b。如何作到這一點？因為排除了llll，rrrr和bbbb，每個軌跡都有至少一次變化。定義l->r->b->l為順時針變化，並將各個等價類中第一次變化為順時針變化的取出來歸為一類，叫重球類。我們的重球類如下：
1:{lllr} 2:{rrrb} 3:{llrl} 4:{llrr} 5:{llrb} 6:{rrbr} 7:{rrbl}
8:{rrbb} 9:{lrll} 10:{lrlr} 11:{lrlb} 12:{lrrl} 13:{lrrr} 14:{lrrb}
15:{lrbl}16:{lrbr} 17:{lrbb} 18:{rbrr} 19:{rbrl} 20:{rbrb} 21:{rblr}
22:{rbll} 23:{rblb} 24:{rbbr} 25:{rbbl} 26:{rbbb} 27:{blll} 28:{bllr}
29:{bllb} 30:{blrl} 31:{blrr} 32:{blrb} 33:{blbl} 34:{blbr} 35:{blbb}
36:{bbll} 37:{bblr} 38:{bblb} 39:{bbbl}
接下來，我們根據重球類軌跡安排稱球方案如下：
天平左邊 天平右邊
----------------------------------------------- -------------------------------------------------
1,3,4,5,9,10,11,12,13,14,15,16,17 2,6,7,8,18,19,20,21,22,23,24,25,26
1,3,4,5,27,28,29,30,31,32,33,34,35 2,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17
1,9,10,11,21,22,23,27,28,29,36,37,38 2,3,4,5,12,13,14,18,19,20,30,31,32
3,7,9,12,15,19,22,25,27,30,33,36,39 1,4,6,10,13,16,18,21,24,28,31,34,37
現在是收獲果實的時候了。將四次稱球的結果依次記下；並將R變為r，L變為l，B變為b，就得出相對應的軌跡類。軌跡類所對應的球，就是壞球；軌跡如在重球類，壞球為重，否則為輕。
試舉兩例：
如結果為RRLL，對應軌跡為rrll，對應4號球，不在重球類，所以4號球是壞球並且輕。
再看結果為LRRB,對應軌跡為lrrb，對應14號球，在重球類，所以14號球是壞球並且重。
哈哈，我已經弄糊塗了，頭腦還清楚的同學可繼續試試其它結果。
