正文
星星還是那顆星星，月亮還是那個月亮，問題也還是那個問題：有12個外表一模一樣的球，其中有一個壞球重量不同於其他11個。隻允許使用三次天平，如何找出壞球並弄清輕重？
為敘述方便，先給球用數字1，2，3，。。。，12標上號。
每用一次天平，就會有一個結果：左重，右重，或左右平衡。左重用L表示，右重用R表示，左右平衡就用B（BALANCED）表示。從左到右依次寫下三次結果。比方說，LBR表示第一次左重，第二次左右平衡和第三次右重。我們的目標是設計一種三次稱球的方案，使得從稱球的結果可以簡單判斷哪一個是壞球，是輕還是重。如何做到這一點呢？
我們知道，三次稱球，有27種可能的結果，因為每稱一次有三種可能結果。其中有三種結果，我們可設法排除。哪三種呢？就是LLL，RRR和BBB。結果BBB說明什麽？它說明壞球三次都沒有上天平。是騾子是馬，得牽出來溜溜。不上天平稱稱，如何能知道是輕還是重呢？所以每個球至少得用一次天平。另外，LLL和RRR表示壞球始終在天平的同一邊，我們也排除掉。排除了這三種情況，還剩24種可能的結果。
另一方麵，壞球可以是12個中的任何一個，又有輕重兩種可能，所以也是24種可能。如果能夠找到一種方案，使得24種可能的結果分別對應24種可能，那就萬事大吉了。
有這樣的方案嗎？
如果三次結果為LRB，它說明了什麽呢？分兩種情況看。如果壞球為重，就表示壞球依次在左邊，右邊和不在天平上；反之，壞球為輕就表示壞球依次在右邊，左邊和不在天平上。在天平使用中，某球在左就用l表示，在右就用r表示，不在天平上就用b表示。依次寫下某球每次的天平使用情況，我們稱之為該球的軌跡。比如，如果某球的軌跡為rrb，就是說該球前兩次在右邊，第三次不在天平上。這樣，如果三次結果為LRB，就說明壞球的軌跡是lrb或是rlb。如壞球為重就是lrb，為輕則是rlb。換句話說，同一個結果對應兩種可能的軌跡。同樣，如果三次結果為RLB，也對應lrb和rlb兩種可能的軌跡。
我們稱球，其實就是給每個球設計一個軌跡。好的設計方案，應該是不同的球有不同的軌跡。如果球甲和球乙的軌跡分別是lrb和rlb，這有什麽缺陷呢？如前所述，假如結果是LRB或RLB，壞球的軌跡就是lrb或rlb，這樣，我們還是不能確認哪一個是壞球。所以好的設計應該避免這種情況，就是說lrb或rlb隻有一個被賦予使用的軌跡。如果lrb已經是某球的軌跡了，rlb就不該用了。我們說lrb和rlb是辯識混淆的軌跡。當然，還有很多其它辯識混淆的軌跡，比如llb和rrb，rbl和lbr，等等，一共有十二類辯識混淆的軌跡，列舉如下：lbb，rbb；lbl，rbr；lbr，rbl；llb，rrb；rlb，lrb；rll，lrr；rlr，lrl；rrl，llr；brb，blb；brl，blr；brr，bll；bbr，bbl。所以我們希望從每個混淆類中挑一個出來作為可用軌跡。那麽，到底選哪一個呢？隨便選一個都行嗎？
隨便選不行。我們希望每次稱球，天平左邊，天平右邊和不在天平上的球一樣多，因為這樣獲取的信息量最大。如何做到這一點呢？
既然排除了lll，rrr和bbb，每個軌跡就至少有一個變化，我們用第一次的變化來代表該軌跡的變化。比如，llb的第一次變化是從l變到b即lb，rbl的第一次變化是rb。
接下來我們給變化一個定向：如lr，rb，bl分別為順時針定向，則rl，br，lb分別為逆時針定向。我們將每個類中變化為順時針定向的軌跡當作使用軌跡取出來並分配給十二個球。不難證明，按這樣的軌跡使用天平，可以滿足天平左邊，天平右邊和不在天平上的球一樣多。
按這種方法稱球，我們很容易找出壞球並判斷輕重了。
三次稱球的結果得出來之後，分別將L換成l，R換成r，B換成b就得到一個軌跡，這樣就得到一個相應的軌跡。如果該軌跡是使用軌跡，就表示壞球為重並且所對應的球為壞球。如果該軌跡不是使用軌跡，就表示壞球為輕。哪個球是壞球呢？該軌跡的混淆軌跡必為使用軌跡，它所對應的球就是壞球。
接下來我們就給出具體方案。先隨便給12個使用軌跡分派球號。比如：
球號 使用軌跡 混淆軌跡
------- -------------- ---------------
1 llr rrl
2 lrb rlb
3 lrl rlr
4 lrr rll
5 rrb llb
6 rbl lbr
7 rbb lbb
8 rbr lbl
9 bbl bbr
10 bll brr
11 blb brb
12 blr brl
然後再根據球號所對應的使用軌跡製定稱球方案如下：
天平左邊 天平右邊
----------------- -----------------
1，2， 3， 4 5，6，7，8
1，10，11，12 2，3，4，5
3，6， 9， 10 1，4，8，12
這樣一來，就很容易根據結果找出答案了。將結果中的L變成l，R變成r以及B變成b，也即將結果變成軌跡。如果軌跡是使用軌跡，則壞球為重，否則為輕。它所對應的球號就是壞球。比如結果是RRL，其軌跡為rrl，屬非使用軌跡，對應1號球，所以壞球為1號球並且輕。
有興趣的朋友不妨試試其它結果。HAVE FUN！
為敘述方便，先給球用數字1，2，3，。。。，12標上號。
每用一次天平，就會有一個結果：左重，右重，或左右平衡。左重用L表示，右重用R表示，左右平衡就用B（BALANCED）表示。從左到右依次寫下三次結果。比方說，LBR表示第一次左重，第二次左右平衡和第三次右重。我們的目標是設計一種三次稱球的方案，使得從稱球的結果可以簡單判斷哪一個是壞球，是輕還是重。如何做到這一點呢？
我們知道，三次稱球，有27種可能的結果，因為每稱一次有三種可能結果。其中有三種結果，我們可設法排除。哪三種呢？就是LLL，RRR和BBB。結果BBB說明什麽？它說明壞球三次都沒有上天平。是騾子是馬，得牽出來溜溜。不上天平稱稱，如何能知道是輕還是重呢？所以每個球至少得用一次天平。另外，LLL和RRR表示壞球始終在天平的同一邊，我們也排除掉。排除了這三種情況，還剩24種可能的結果。
另一方麵，壞球可以是12個中的任何一個，又有輕重兩種可能，所以也是24種可能。如果能夠找到一種方案，使得24種可能的結果分別對應24種可能，那就萬事大吉了。
有這樣的方案嗎？
如果三次結果為LRB，它說明了什麽呢？分兩種情況看。如果壞球為重，就表示壞球依次在左邊，右邊和不在天平上；反之，壞球為輕就表示壞球依次在右邊，左邊和不在天平上。在天平使用中，某球在左就用l表示，在右就用r表示，不在天平上就用b表示。依次寫下某球每次的天平使用情況，我們稱之為該球的軌跡。比如，如果某球的軌跡為rrb，就是說該球前兩次在右邊，第三次不在天平上。這樣，如果三次結果為LRB，就說明壞球的軌跡是lrb或是rlb。如壞球為重就是lrb，為輕則是rlb。換句話說，同一個結果對應兩種可能的軌跡。同樣，如果三次結果為RLB，也對應lrb和rlb兩種可能的軌跡。
我們稱球，其實就是給每個球設計一個軌跡。好的設計方案，應該是不同的球有不同的軌跡。如果球甲和球乙的軌跡分別是lrb和rlb，這有什麽缺陷呢？如前所述，假如結果是LRB或RLB，壞球的軌跡就是lrb或rlb，這樣，我們還是不能確認哪一個是壞球。所以好的設計應該避免這種情況，就是說lrb或rlb隻有一個被賦予使用的軌跡。如果lrb已經是某球的軌跡了，rlb就不該用了。我們說lrb和rlb是辯識混淆的軌跡。當然，還有很多其它辯識混淆的軌跡，比如llb和rrb，rbl和lbr，等等，一共有十二類辯識混淆的軌跡，列舉如下：lbb，rbb；lbl，rbr；lbr，rbl；llb，rrb；rlb，lrb；rll，lrr；rlr，lrl；rrl，llr；brb，blb；brl，blr；brr，bll；bbr，bbl。所以我們希望從每個混淆類中挑一個出來作為可用軌跡。那麽，到底選哪一個呢？隨便選一個都行嗎？
隨便選不行。我們希望每次稱球，天平左邊，天平右邊和不在天平上的球一樣多，因為這樣獲取的信息量最大。如何做到這一點呢？
既然排除了lll，rrr和bbb，每個軌跡就至少有一個變化，我們用第一次的變化來代表該軌跡的變化。比如，llb的第一次變化是從l變到b即lb，rbl的第一次變化是rb。
接下來我們給變化一個定向：如lr，rb，bl分別為順時針定向，則rl，br，lb分別為逆時針定向。我們將每個類中變化為順時針定向的軌跡當作使用軌跡取出來並分配給十二個球。不難證明，按這樣的軌跡使用天平，可以滿足天平左邊，天平右邊和不在天平上的球一樣多。
按這種方法稱球，我們很容易找出壞球並判斷輕重了。
三次稱球的結果得出來之後，分別將L換成l，R換成r，B換成b就得到一個軌跡，這樣就得到一個相應的軌跡。如果該軌跡是使用軌跡，就表示壞球為重並且所對應的球為壞球。如果該軌跡不是使用軌跡，就表示壞球為輕。哪個球是壞球呢？該軌跡的混淆軌跡必為使用軌跡，它所對應的球就是壞球。
接下來我們就給出具體方案。先隨便給12個使用軌跡分派球號。比如：
球號 使用軌跡 混淆軌跡
------- -------------- ---------------
1 llr rrl
2 lrb rlb
3 lrl rlr
4 lrr rll
5 rrb llb
6 rbl lbr
7 rbb lbb
8 rbr lbl
9 bbl bbr
10 bll brr
11 blb brb
12 blr brl
然後再根據球號所對應的使用軌跡製定稱球方案如下：
天平左邊 天平右邊
----------------- -----------------
1，2， 3， 4 5，6，7，8
1，10，11，12 2，3，4，5
3，6， 9， 10 1，4，8，12
這樣一來，就很容易根據結果找出答案了。將結果中的L變成l，R變成r以及B變成b，也即將結果變成軌跡。如果軌跡是使用軌跡，則壞球為重，否則為輕。它所對應的球號就是壞球。比如結果是RRL，其軌跡為rrl，屬非使用軌跡，對應1號球，所以壞球為1號球並且輕。
有興趣的朋友不妨試試其它結果。HAVE FUN！
評論
目前還沒有任何評論
登錄後才可評論.
