稀少而有趣的完美數

已知自然數a和b，如果b能夠整除a，就說b是a的一個因數，也稱為約數。顯然，任何自然數a，總有因數1和a。我們把小於a的因數叫做a的真因數。

　　例如6，12，14這三個數的所有真因數：

　　6: 1, 2, 3; 1 + 2 + 3 = 6

　　12: 1, 2, 3, 4, 6; 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12

　　14: 1, 2, 7; 1 + 2 + 7 = 10 < 14

　　像12這樣小於它的真因數之和的叫做虧數(不足數)；大於真因數之和的(如14)叫做盈數或過剩數；恰好相等的(如6)叫做完全數，也稱為完美數。

　　古希臘人非常重視完全數。大約在公元100年，尼哥馬修斯寫了第一本專門研究數論的書《算術入門》，其中寫道：也許是這樣：正如美的、卓絕的東西是罕有的，是容易計數的，而醜的、壞的東西卻滋蔓不已；所以盈數和虧數非常之多，而且紊亂無章，它們的發現也毫無係統。但是完全數則易於計數，而且又順理成章……，它們具有一致的特性；尾數都是6或8，而且永遠是偶數。

　　現在數學家已發現，完全數非常稀少，至今人們隻發現29個，而且都是偶完全數。前5個分別是：6，28，496，8128，33550336。 　　完全數有許多有趣的性質，例如：

　　1. 它們都能寫成連續自然數之和：

　　　　6=1+2+3,

　　　　28=1+2+3+4+5+6+7,

　　　　496=1+2+3+4+……+31,

　　　　8128=1+2+3+4+……+127；

　　2. 它們的全部因數的倒數之和都是2。

　　　　1/1+1/2+1/3+1/6=2

　　　　1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2

　　　　1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2