閑侃(3)：為什麽空間是三維的

這幾天碼了兩個閑侃帖，盡管沒有一 個公式符號，但是內容都比較“物理”，所以留給諸位物理學家和蒙古物理學家們海闊天空的餘地就不大。光從論壇的回帖看，靠譜的評論幾乎是沒有，倒是博克這 一塊能見到幾個閃光點，嗬嗬。不過俺注意到了，就回帖的內容看，最受廣大物理學家和蒙古物理學家們關注的話題之一就是空間和時間。相比之下，時間更 subtle，所以這裏我們先談談空間。盡管若問“什麽是空間”、“空間是如何來的”這樣的問題，大家的回答會五花八門，但是我想大部分人都會覺得“空 間”這個概念比“時間”這個概念“簡單”些，對不對。這裏俺起草個不那麽“物理”的話題：為啥空間是三維的。這樣的話題，和前麵幾個閑侃相比，肯定比較 “哲學化”一些，所以留給大家胡掰的餘地就大很多 (這裏俺們先不談什麽是空間這樣看起來更模糊、更哲學甚至更文學更藝術的話題)。

為啥空間是三維的？算是這樣一個看上去比較具體的問題，science/physics 裏也沒有解答，至少沒有公認的解答。須知咱們的數學和物理學就描述形式而言，並沒有要求空間必須是三維，而是可以任意維的 (其實無論是經典物理學還是量子力學，拉格朗日/哈密頓量還不止容納幾維空間這樣的宏觀物理量，而且還能容納廣義坐標以及內秉物理量等多得多的自由度，例 如電荷、自旋、色荷等)，但為啥空間偏偏是三維而不是別的維數呢？你可以說出很多五花八門的解釋，例如我們人類智慧有限、或者觀測手段有限，感知不到、觀 測不到四位空間啦，或者我們這個宇宙就是三維空間、但是別的宇宙是多維空間 (例如四維、九維甚至二維) 啦，甚至你還可以和耶和華、佛學扯上聯係。這些解釋，即使對，總是給人遙遠而不得要領的感覺。

有沒有比較令人信服一些的解釋呢？有。這裏我們介紹兩個。
1) 超弦理論 & Related。關於超弦理論，俺不敢胡掰什麽，因為俺隻有科普意義上的了解。眾所周知，SuperString Theory 的空間是 9 維的 (共十維時空)。基於SuperString Theory 的M理論要求空間的維數更多，例如 11 維、26 維時空。但是無論怎麽樣，在超對稱最終破缺後，所有額外的空間維數都必須坍縮到普朗克尺度 (大約是 10 的負 33 次方厘米。普朗克尺度相對電子的經典直徑，比一顆塵埃相對於太陽，可小多了)，隻剩下三維。這是因為，物理是 science，必須和咱們的世界合拍。

有的同學可能很快就會反問：你 (其實是那些研究超弦的數學家和物理學家) 這不等於啥也沒說麽？為啥大爆炸開始時你的時空是十維 (or more)？就算暫且承認十維有理，那為啥超對稱破缺後空間不能坍縮到隻剩下四維、而隻能是三維？

根本不能令你信服是不？很可能。但是如果有人證明過，例如用計算機模擬，計算結果顯示，大 爆炸開始後宇宙從10維 (1+9)時空演化到位4 (1+3)維時空 (亦即我們現在這個宇宙) 的 probability 最大，那你是不是認為這個解釋合理不少？(這方麵，有興趣的同學可以參閱這篇 PDF 格式的綜述：The Dimension of Decompactified Spacetime from String Theory：http://arxiv.org/pdf/hep-th/9406102v1)

2) From Bertrand's Theorem (伯特蘭定理)
SuperString Theory 給出的解釋還是有些牽強附會，對不對？我也覺得是，何況 SuperString Theory 是不是 valid physics，都還是疑問。還有沒有更令人信服的解釋？有。這就是從經典物理學中著名的  Bertrand's Theorem 出發給出的解釋。 Bertrand's Theorem 是啥，大家可以參見 wiki 百科的解釋：http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_theorem。這個定理在說，對所有被束縛的質 點，隻有兩種位勢 V 可以給出閉合軌道：
a) 位勢和半徑成反比的向心勢；或者說，作用力是向心力而且大小和距離成反比 (最著名的例子自然就是萬有引力、正電荷和負電荷之間的庫侖力)；
b) 位勢和距離的平方成正比的簡諧振子勢；例如遵循虎克定律的彈簧。

好，咱們以約束天體運動的主要作用力：萬有引力為例來說明空間為啥必須是三維。假設是四 維，那麽萬有引力的強度會和半徑的三次方成反比 (而三維空間萬有引力的強度和半徑的平方成反比)，Bertrand 定理告訴你，這樣的天體運動 (例如地球繞太陽轉動) 不能形成閉合的軌道，不能形成閉合軌道的直接後果就是地球上沒有生命賴以形成的穩定環境，於是生命不會出現，自然就更談不上 human being 了。

所以，盡管我們不能肯定所有的宇宙必須是三維的，但是我們這個宇宙必須是三維的，否則我們就不會存在，自己就談不上在這裏討論咱們這個宇宙為啥是三維了。

用 Bertrand 定理解釋我們這個宇宙為啥是三維的，很有說服力，是不是？我覺得是的。

說到這裏，本來應該打住了。現在突發奇想，俺也來忽悠一個可能的解釋看看。昨天俺說到了著名的諾特定理。這個定理大致的意思是，物理學上基於哈密頓體係的表述中，每一種對稱性對應於一個守恒流。用大家熟悉的例子來說，咱們的經典物理存在七個宏觀意義上的守恒：
a) 能量守恒 (對應時間平移對稱)，一個守恒量，因為你隻有一維時間；
b) 動量守恒 (對應空間平移對稱)，三個守恒量，因為你有三維空間；
c) 角動量守恒 (對應空間轉動對稱)，三個守恒量，因為你有三個歐拉角。

略去 a) 不談 (因為和我們的話題沒關係)，仔細研究 b) & c)，你發現了什麽？對三維空間，你有三個自由度的平移，也有三個自由度的轉動，它們剛好相等，而對非三維空間，這個 claim 是不成立的，例如對二維空間，你有兩個自由度的平移，但是很明顯隻有一個自由度的轉動；對四維空間，你有四個自由度的平移，卻有六個自由度的轉動 (用代數的語言說，就是 SO(n) 群有 n(n-1)/2 個生成元)。這可能不是巧合，可能有某種原因要求咱們這個空間的平移的自由度等於轉動的自由度 (從而必須是三維)。當然，在想出這個可能存在的原因前，俺這隻能算海闊天空般的忽悠了。

[紫色王家]

謝謝兩位

[洋洋日記]

因為地球的速度，其他維度都可以近似為勻速運動，隻有三維是非勻速的。比如，當在光速運動時，時間的維度產生彎曲，那就是4維空間了，也就是說時間維度可感知是在光速下的。

[四則舍]

建議樓主同學去找一本“宇宙的創生”（方勵之/李淑嫻，1987）讀一讀。寫得很清楚。