-*-紫色王家思絮絮-*-
我思無邪、我行無悔
正文
Topic 1) 引力的本質是彎曲的時空嗎？(續)
好，前麵咱們對狹義相對論簡略地做了個鋪墊，接下來咱們來看老愛的引力理論，也就是廣義相對論。我們來看看廣義相對論到底是不是時空彎曲。先從上次回答胡魯的留言、以及嘎拉哈同學的一則評論開始：
胡魯：嗯。結論：物理是哲學問題。
紫荊棘鳥：算一半靠譜了，(物理和哲學) 表述上都有主觀色彩 (盡管受製於exiting 表述方式，特別是 math)，但哲學隻要求邏輯上自洽，不要求回歸到現實世界裏接受檢驗。本質上，俺就是要忽悠出這樣個結果，讓大家明白：
1) 狹義相對論是本質的，是物理的；
2) 廣義相對論是非物理的，它隻是一種表達。
嘎拉哈：(留言部分，因為原留言太長)
愛因斯坦確實聰明，但同時也必須承認，他也是 一個老滑頭。以時空彎曲為例，他把萬有引力用幾何方法同空間捏在一起的做法，其實是在踢皮球。問題在於，人家這一腳踢得漂亮，至少人家這一腳，又被觀測所 證實了（比如引力透鏡的存在）。光線確實在大星體附近彎曲了。人類可能要等上數百年甚至更久，才可能搞清其中的奧秘。
有的同學可能會納悶甚至生氣，因為你前麵不是說了麽，老愛江湖地位能比肩牛頓，憑的就是廣義 相對論，這裏你居然敢說“廣義相對論是非物理的”，這不是蠢話、糊塗話麽，這不是找罵麽？其實不是。作為老愛的一名粉絲，俺斷不會故意說貶低他老人家的 話。其實這話可以這麽看：既然廣義相對論是非物理的，所以它就是可以不存在的；如果它存在並且還能極大地影響著物理本身，那就很能說明它的 creator 智慧上的卓爾不群。閑話少說，我們從直觀上看廣義相對論到底是怎麽回事情。
作為題外話，我們從“大範圍”看看廣義相對論在物理學中大體上是個什麽“地位”。沒錯，廣義 相對論比狹義相對論複雜很多 (狹義相對論除了對大家腦袋裏根深蒂固的經典物理概念和圖像的衝擊外，本質上是很簡單的)，但是它卻不如狹義相對論那麽重要。狹義相對論是有物理上本質意 義的 (因為這個自然界存在個最大的速度)，它對物理的影響是全方位的。廣義相對論主要是影響著天體物理和宇宙學；並且，因為本質上它是非物理的，所以即使它不 對，本質上它不會動搖物理的根基，盡管實際上現代宇宙學得重新改寫，但是這種改寫是表述上的改寫，盡管是工程浩大的改寫，而且很可能因為技術上的困難而改 寫不了。
現在的 cosmology 最成型的，可能還是基於 Friedmann-Robertson-Walker 度規 (是廣義相對論有物理意義的幾個解析解之一) 下的宇宙學，可以稱得上是宇宙學的 standard model，它不考慮量子效應。炸藥獎得主溫伯格等合寫的專著 Gravity & Cosmology 可能是這方麵最權威的著作。當然還有一些別的解析解和它們所對應的物理模型，這裏就從略了。若考慮量子效應，那五花八門的理論就更多了，除了 big bang theory 得到很多人的認同外，其餘的似乎都是一家之言。這些理論在處理量子效應時因為必須兼顧廣義相對論，所用的假設和技巧一般都是 semi-classical 的。有的理論出發點很是匪夷所思，至少俺對其 validation 充滿疑惑，比如說暴脹模型，海森堡不確定性原理居然是其賴以立足的根本之一，因為大爆炸最初巨大的能量來源，是來自於時間的不確定性。
扯遠了，我們來看廣義相對論本身。我們知道，從 Hilbert “公理化物理”的角度而言，狹義相對論是其兩個假設/公理基礎上的演繹定理。廣義相對論也是類似的，事實上它應該是到目前為止最完美的“公理化物理”的範 例。我們看看廣義相對論所依賴的一些假設，最經常提到的有兩個：
1) 廣義相對性原理：物理定律的形式在所有的觀察者看來都是相同的；
2) 慣性質量和引力質量等效。
其實除此之外還有一個 (無論從物理還是曲麵幾何來考慮都應該包括)：
3) 局域的平直幾何空間是閔可夫斯基空間，其時空變換遵循洛倫茲變換。
本質上，廣義相對論是這三個前提下的數學定理，盡管具體到物理學，特別是宇宙學上，出於對天文觀測結論的考慮 (例如宇宙是膨脹的而非靜態的)，愛因斯坦引力場方程也可以加入一項宇宙學常數，但是這是另一回事情。
就個人理解而言，公設 1) 是和廣義相對論的張量表述形式是對應的，很可能，張量表述形式是廣義相對性原理數學表述的充分條件 (盡管看起來不會是必要條件)。盡管 1) 是狹義相對論原理 (以及牛頓第一運動定律) 的自然延伸，但是愛因斯坦將它 generalize 出來作為廣義相對論表述上的公設提出來，不可否認地 (盡管也許是不可避免的 --- 參見下麵俺準備簡介的“希爾伯特廣義相對論”)，它包含了老愛對物理表述形式化、對稱化的偏愛。在我個人看來，如若廣義相對論以後會有不同程度上的修正， 那麽三個公設中 1) 是最不可能被舍棄、修正的。這是一種美學上的信念。
公設 2) 應該就是引力恰好能用(偽) Riemann 曲麵表述的本質原因。就物理而言，2) 在相當高的精度範圍內得到了實驗的支持 (廢話，否則廣義相對論早就被改寫了，是不是)，但是這個公設本質上是物理的，而不像 1) 那樣屬於表述意義上的，所以它存在不對、需要修正的可能，反正我想不明白為啥引力質量非得等效於慣性質量。當年老愛和數學大師外爾折騰經典統一場論均以不 了了之告終，他們為啥失敗，俺不清楚，但是直覺上 2) 可能會帶來重大障礙 (如果不是主要障礙的話)：因為引力質量完全等效於慣性質量了，所以局域微分幾何就恰好能描述引力；如果誰將額外的物理對象 (在經典統一場論裏，眾所周知，主要是電磁相互作用) 納入這個框架，傳統的局域微分幾何就難以簡潔地將兩者統一描述，除非你能將電磁相互作用和局域微分幾何既定的幾何概念 (例如撓率 ---- 當然這裏隻是舉個例子) 對等起來。特別聲明一下：外爾的統一場論是啥，我沒看過，這裏評論幾句，很可能是不靠譜的，盡管我自認自己的直覺判斷多少會有點道理。有懂行的評評看？
公設 3) 中的閔可夫斯基空間/洛倫茲變換 (本質上就是狹義相對論) 是和 1)、2) 完全獨立的，也就是說，從描述引力的幾何角度而言，比如說，這裏的閔可夫斯基空間/洛倫茲變換可以被歐幾裏得空間/迦利略變換所取代 (亦即廣義相對論所要求的局域範圍內必須保證狹義相對論的有效性是可以被取代的，例如被牛頓經典力學取代)，從而得到一套並行的引力理論，盡管事實上沒有 人這麽做，因為大家都知道牛頓力學應該被狹義相對論取代。上次我在某留言裏這麽說，有的同學表示驚訝，這也讓我感到驚訝。這難道不明顯麽，如果你真明白 GR 的結構的話。可以預期的是，用歐幾裏得幾何取代閔氏幾何作為 GR 局域上的平直空間所得到的引力理論，在計算水星近日點進動的結果，數值隻會有老愛的引力理論的一半。
所以，看到了麽？公設 1) 是表述上的，公設 2) 是曆史上本來就如此的 (隻不過這裏成了能用局域微分幾何描述引力的關鍵)，公設 3) 雖然是物理，但那是狹義相對論帶來的。所以本質上，“彎曲的時空”，亦即微分幾何，隻是引力的幾何描述，而沒有回答引力到底是什麽這樣更 physical、更 fundamental 的問題。
好了，閑侃 (2) 暫時到此，以後俺可能會接著閑侃別的話題，例如可變光速問題、物理構架上時間的特殊性等 (沒打算具體先說哪個，到時有時間的話，滑到哪算哪)。這裏剩餘的篇幅，我們看看和 GR 以及 Einstein 有關的一則“野史”，我覺得這是比較有趣的。
(D. Hilbert & A. Einstein)
眾所周知，上世紀聲望最卓絕的兩位數學大拿，一個是龐加萊，一個是希爾伯特，盡管老俄一般會將他們的科爾莫哥洛夫 (將概率論公理化的那位大拿) 排在榜首。當然，這裏所提到的普林斯頓高等研究院的外爾 (Weyl)，也足以列入前十。有意思的是，龐加萊和狹義相對論有不解之緣，希爾伯特則和廣義相對論結下了不解之緣。狹義相對論好說，簡單，一般認為，即 使老愛不橫空出世，狹義相對論也很快會被別人例如龐加萊等人完成，這裏略去不說，單說希爾伯特。作為“公理化物理”這一信念的主人，希爾伯特本人也對引力 作出了研究，取得了一係列重大的結果，甚至有可能還在老愛之前得到了引力場方程，盡管他的引力場方程和老愛的並不完全一樣。
愛因斯坦本人的切入點我們在上麵說了，主要是那三個公設。希爾伯特的切入點和老愛的不一樣，主要是立足於以下兩個：
1) 廣義相對性原理：物理定律的形式在所有的觀察者看來都是相同的；
2) Mie's axiom of the world function。這裏的 Mie 是一位德國物理學家 (希爾伯特是哪個國家的？嗬嗬)，Mie 這裏和希爾伯特相關的理論，是假定咱們這個世界的物質，其實起源於電磁相互作用這樣一個現在看起來匪夷所思的理論。這裏所謂的 Mie's axiom of the world function，本質上就是 Mie 這個理論下的哈密頓量 H。
顯然，1) 和老愛的 1) 是一回事情。曆史上這兩位偉人有過交往，有惺惺惜惺惺的味道。Hilbert 這裏的 1) 是不是受了老愛的影響，就不得而知了，但是這和他本人的“公理化物理”的思想是吻合的。Hilbert 的引力理論包含了一係列重要結果，這裏舉幾個重要的如下：
1) 關於 Ricci 張量的畢安其 (Bianchi) 恒等式；
2) 諾特定理 (Noether Theorem) 的原始雛形；
3) 和愛因斯坦的引力場方程某些類似的引力場方程。
Bianchi Identity 可能不算啥，但是諾特定理卻是非同小可的。這個定理是物理學上最重要、最核心、最本質的定理之一，因為現代物理大家基本上都在研究對稱性，而對稱性和守恒 流是對應的；而 Hilbert 引力場方程，因為他和老愛一樣從廣義相對性原理、用張量記號表述他的理論，裏麵和老愛的場方程一樣，出現了像 Ricci 張量這樣的幾何/物理量。
好，前麵咱們對狹義相對論簡略地做了個鋪墊，接下來咱們來看老愛的引力理論，也就是廣義相對論。我們來看看廣義相對論到底是不是時空彎曲。先從上次回答胡魯的留言、以及嘎拉哈同學的一則評論開始：
胡魯：嗯。結論：物理是哲學問題。
紫荊棘鳥：算一半靠譜了，(物理和哲學) 表述上都有主觀色彩 (盡管受製於exiting 表述方式，特別是 math)，但哲學隻要求邏輯上自洽，不要求回歸到現實世界裏接受檢驗。本質上，俺就是要忽悠出這樣個結果，讓大家明白：
1) 狹義相對論是本質的，是物理的；
2) 廣義相對論是非物理的，它隻是一種表達。
嘎拉哈：(留言部分，因為原留言太長)
愛因斯坦確實聰明，但同時也必須承認，他也是 一個老滑頭。以時空彎曲為例，他把萬有引力用幾何方法同空間捏在一起的做法，其實是在踢皮球。問題在於，人家這一腳踢得漂亮，至少人家這一腳，又被觀測所 證實了（比如引力透鏡的存在）。光線確實在大星體附近彎曲了。人類可能要等上數百年甚至更久，才可能搞清其中的奧秘。
有的同學可能會納悶甚至生氣，因為你前麵不是說了麽，老愛江湖地位能比肩牛頓，憑的就是廣義 相對論，這裏你居然敢說“廣義相對論是非物理的”，這不是蠢話、糊塗話麽，這不是找罵麽？其實不是。作為老愛的一名粉絲，俺斷不會故意說貶低他老人家的 話。其實這話可以這麽看：既然廣義相對論是非物理的，所以它就是可以不存在的；如果它存在並且還能極大地影響著物理本身，那就很能說明它的 creator 智慧上的卓爾不群。閑話少說，我們從直觀上看廣義相對論到底是怎麽回事情。
作為題外話，我們從“大範圍”看看廣義相對論在物理學中大體上是個什麽“地位”。沒錯，廣義 相對論比狹義相對論複雜很多 (狹義相對論除了對大家腦袋裏根深蒂固的經典物理概念和圖像的衝擊外，本質上是很簡單的)，但是它卻不如狹義相對論那麽重要。狹義相對論是有物理上本質意 義的 (因為這個自然界存在個最大的速度)，它對物理的影響是全方位的。廣義相對論主要是影響著天體物理和宇宙學；並且，因為本質上它是非物理的，所以即使它不 對，本質上它不會動搖物理的根基，盡管實際上現代宇宙學得重新改寫，但是這種改寫是表述上的改寫，盡管是工程浩大的改寫，而且很可能因為技術上的困難而改 寫不了。
現在的 cosmology 最成型的，可能還是基於 Friedmann-Robertson-Walker 度規 (是廣義相對論有物理意義的幾個解析解之一) 下的宇宙學，可以稱得上是宇宙學的 standard model，它不考慮量子效應。炸藥獎得主溫伯格等合寫的專著 Gravity & Cosmology 可能是這方麵最權威的著作。當然還有一些別的解析解和它們所對應的物理模型，這裏就從略了。若考慮量子效應，那五花八門的理論就更多了，除了 big bang theory 得到很多人的認同外，其餘的似乎都是一家之言。這些理論在處理量子效應時因為必須兼顧廣義相對論，所用的假設和技巧一般都是 semi-classical 的。有的理論出發點很是匪夷所思，至少俺對其 validation 充滿疑惑，比如說暴脹模型，海森堡不確定性原理居然是其賴以立足的根本之一，因為大爆炸最初巨大的能量來源，是來自於時間的不確定性。
扯遠了，我們來看廣義相對論本身。我們知道，從 Hilbert “公理化物理”的角度而言，狹義相對論是其兩個假設/公理基礎上的演繹定理。廣義相對論也是類似的，事實上它應該是到目前為止最完美的“公理化物理”的範 例。我們看看廣義相對論所依賴的一些假設，最經常提到的有兩個：
1) 廣義相對性原理：物理定律的形式在所有的觀察者看來都是相同的；
2) 慣性質量和引力質量等效。
其實除此之外還有一個 (無論從物理還是曲麵幾何來考慮都應該包括)：
3) 局域的平直幾何空間是閔可夫斯基空間，其時空變換遵循洛倫茲變換。
本質上，廣義相對論是這三個前提下的數學定理，盡管具體到物理學，特別是宇宙學上，出於對天文觀測結論的考慮 (例如宇宙是膨脹的而非靜態的)，愛因斯坦引力場方程也可以加入一項宇宙學常數，但是這是另一回事情。
就個人理解而言，公設 1) 是和廣義相對論的張量表述形式是對應的，很可能，張量表述形式是廣義相對性原理數學表述的充分條件 (盡管看起來不會是必要條件)。盡管 1) 是狹義相對論原理 (以及牛頓第一運動定律) 的自然延伸，但是愛因斯坦將它 generalize 出來作為廣義相對論表述上的公設提出來，不可否認地 (盡管也許是不可避免的 --- 參見下麵俺準備簡介的“希爾伯特廣義相對論”)，它包含了老愛對物理表述形式化、對稱化的偏愛。在我個人看來，如若廣義相對論以後會有不同程度上的修正， 那麽三個公設中 1) 是最不可能被舍棄、修正的。這是一種美學上的信念。
公設 2) 應該就是引力恰好能用(偽) Riemann 曲麵表述的本質原因。就物理而言，2) 在相當高的精度範圍內得到了實驗的支持 (廢話，否則廣義相對論早就被改寫了，是不是)，但是這個公設本質上是物理的，而不像 1) 那樣屬於表述意義上的，所以它存在不對、需要修正的可能，反正我想不明白為啥引力質量非得等效於慣性質量。當年老愛和數學大師外爾折騰經典統一場論均以不 了了之告終，他們為啥失敗，俺不清楚，但是直覺上 2) 可能會帶來重大障礙 (如果不是主要障礙的話)：因為引力質量完全等效於慣性質量了，所以局域微分幾何就恰好能描述引力；如果誰將額外的物理對象 (在經典統一場論裏，眾所周知，主要是電磁相互作用) 納入這個框架，傳統的局域微分幾何就難以簡潔地將兩者統一描述，除非你能將電磁相互作用和局域微分幾何既定的幾何概念 (例如撓率 ---- 當然這裏隻是舉個例子) 對等起來。特別聲明一下：外爾的統一場論是啥，我沒看過，這裏評論幾句，很可能是不靠譜的，盡管我自認自己的直覺判斷多少會有點道理。有懂行的評評看？
公設 3) 中的閔可夫斯基空間/洛倫茲變換 (本質上就是狹義相對論) 是和 1)、2) 完全獨立的，也就是說，從描述引力的幾何角度而言，比如說，這裏的閔可夫斯基空間/洛倫茲變換可以被歐幾裏得空間/迦利略變換所取代 (亦即廣義相對論所要求的局域範圍內必須保證狹義相對論的有效性是可以被取代的，例如被牛頓經典力學取代)，從而得到一套並行的引力理論，盡管事實上沒有 人這麽做，因為大家都知道牛頓力學應該被狹義相對論取代。上次我在某留言裏這麽說，有的同學表示驚訝，這也讓我感到驚訝。這難道不明顯麽，如果你真明白 GR 的結構的話。可以預期的是，用歐幾裏得幾何取代閔氏幾何作為 GR 局域上的平直空間所得到的引力理論，在計算水星近日點進動的結果，數值隻會有老愛的引力理論的一半。
所以，看到了麽？公設 1) 是表述上的，公設 2) 是曆史上本來就如此的 (隻不過這裏成了能用局域微分幾何描述引力的關鍵)，公設 3) 雖然是物理，但那是狹義相對論帶來的。所以本質上，“彎曲的時空”，亦即微分幾何，隻是引力的幾何描述，而沒有回答引力到底是什麽這樣更 physical、更 fundamental 的問題。
好了，閑侃 (2) 暫時到此，以後俺可能會接著閑侃別的話題，例如可變光速問題、物理構架上時間的特殊性等 (沒打算具體先說哪個，到時有時間的話，滑到哪算哪)。這裏剩餘的篇幅，我們看看和 GR 以及 Einstein 有關的一則“野史”，我覺得這是比較有趣的。
(D. Hilbert & A. Einstein)
眾所周知，上世紀聲望最卓絕的兩位數學大拿，一個是龐加萊，一個是希爾伯特，盡管老俄一般會將他們的科爾莫哥洛夫 (將概率論公理化的那位大拿) 排在榜首。當然，這裏所提到的普林斯頓高等研究院的外爾 (Weyl)，也足以列入前十。有意思的是，龐加萊和狹義相對論有不解之緣，希爾伯特則和廣義相對論結下了不解之緣。狹義相對論好說，簡單，一般認為，即 使老愛不橫空出世，狹義相對論也很快會被別人例如龐加萊等人完成，這裏略去不說，單說希爾伯特。作為“公理化物理”這一信念的主人，希爾伯特本人也對引力 作出了研究，取得了一係列重大的結果，甚至有可能還在老愛之前得到了引力場方程，盡管他的引力場方程和老愛的並不完全一樣。
愛因斯坦本人的切入點我們在上麵說了，主要是那三個公設。希爾伯特的切入點和老愛的不一樣，主要是立足於以下兩個：
1) 廣義相對性原理：物理定律的形式在所有的觀察者看來都是相同的；
2) Mie's axiom of the world function。這裏的 Mie 是一位德國物理學家 (希爾伯特是哪個國家的？嗬嗬)，Mie 這裏和希爾伯特相關的理論，是假定咱們這個世界的物質，其實起源於電磁相互作用這樣一個現在看起來匪夷所思的理論。這裏所謂的 Mie's axiom of the world function，本質上就是 Mie 這個理論下的哈密頓量 H。
顯然，1) 和老愛的 1) 是一回事情。曆史上這兩位偉人有過交往，有惺惺惜惺惺的味道。Hilbert 這裏的 1) 是不是受了老愛的影響，就不得而知了，但是這和他本人的“公理化物理”的思想是吻合的。Hilbert 的引力理論包含了一係列重要結果，這裏舉幾個重要的如下：
1) 關於 Ricci 張量的畢安其 (Bianchi) 恒等式；
2) 諾特定理 (Noether Theorem) 的原始雛形；
3) 和愛因斯坦的引力場方程某些類似的引力場方程。
Bianchi Identity 可能不算啥，但是諾特定理卻是非同小可的。這個定理是物理學上最重要、最核心、最本質的定理之一，因為現代物理大家基本上都在研究對稱性，而對稱性和守恒 流是對應的；而 Hilbert 引力場方程，因為他和老愛一樣從廣義相對性原理、用張量記號表述他的理論，裏麵和老愛的場方程一樣，出現了像 Ricci 張量這樣的幾何/物理量。
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