一個數學家能知多少? 今天的數學分為十幾個大方向，每個方向又有若幹分支，每個分支又都相當複雜，進入其中任何一個領域都要花費三五年的功夫，要像一百年前的 Hilbert 那樣通曉數學的所有領域 , 現在可以說是不可能的了。要像更早期的歐拉那樣通曉數學和物理更是是天人說夢。 一般來說，數學分為兩大部分：基礎數學和應用數學。但看看世界上一流的數學大獎項，幾乎清一般地頒給了“純數學”。何況要想在這裏再加上一個大部分：“數學史記和數學哲學”那在如今的數學界,更是上不得大多數數學係的殿堂的。 我們來看看這稱為基礎數學的”純”數學領域到底有多少分支. 但願你看了以後能理解數學”家”的痛苦---他們多數窮其一生,也隻能在其中一個小小的領域內做一點小小的事情.如果他再鑽到那小小的領域裏一個小小的難題上--- 而這難題對別人對別的分支來說又沒多大的影響和作用,幹了一輩子,又無所結果,那才叫冤哪. 好在多數數學”家”隻是一位教書匠,主觀上不誤人子弟,客觀上有溫飽日子,不會STICK在某一個對老婆孩子來說都極其無聊的”難題”上,也算是人生一大樂事. I.基礎數學： 1. 數論：古典數論 解析數論，代數數論，超越數論, 模型/模函數論. ( 陳景潤 , 楊樂 , 張廣厚 , 王元 ,… 都是做這個領域以及下麵的函數論的 ) 2. 函數論： 函數逼近論. 3.代數學： 線性代數 群論, 群表示論, 李群, 李代數, 代數群, 典型群, 同調代數, 代數K理論, Kac-Moody代數, 環論, 域論和多項式, 體, 格, 序結構. 拓撲群 矩陣論 向量代數 張量代數 4. 幾何學： ( 整體，局部）微分幾何, 代數幾何, 流形上的分析, 黎曼流形與洛侖茲流形, 齊性空間與對稱空間, 調和映照, 子流形理論, 楊振寧--米爾斯場 纖維叢理論, 辛流形. 凸幾何與離散幾何, 歐氏幾何, 非歐幾何, 解析幾何 5. 拓撲學： 微分拓撲, 代數拓撲, 低維流形, 同倫論, 奇點與突變理論, 點集拓撲, 同調論, 微分拓撲, 流形和胞腔複形 大範圍分析, 複流形 6. 泛函分析：線性非線性泛函分析, 算子理論, 算子代數, 廣義函數論, 差分與泛函方程, 變分法，積分變換 積分方程 7. 微分方程：泛函微分方程, 特征與譜理論及其反問題, 定性理論, 常微分方程, 穩定性理論、分支理論,混沌理論, 奇攝動理論, 動力係統, 非線性橢圓(和拋物)方程, 偏微分方程, 微局部分析, 一般偏微分算子理論, 調混合型及其它帶奇性的方程, 非線性發展方程和無窮維動力係統. 8. 數學物理：規範場論, 引力場論, 經典力學理論, 電動力學, 量子理論, 孤立子理論. 9. 概率論：馬氏過程, 隨機過程, 隨機分析, 隨機場, 鞅論, 極限理論, 平穩過程, 概率論, 統計學; 10. 數理邏輯：遞歸論(遞歸過程論, 遞歸函數論), 模型論, 證明論, 公理集合論, 數理邏輯 範疇論 算法論, 可計算性, 複雜性分析 11. 組合數學：組合論, 圖論(代數圖論.解析圖論), 數據結構, 算法論, 算法分析 12. 數學分析：序列、級數、可求和性微積分 實變函數 抽象測度論 逼近與展開 特殊函數, 複變函數論, 調和分析, Fourier分析 你看了這一大列, 服了吧? 這純數學就像一片大洋, 你隻是這滄海一粟, 當今沒有一個數學家敢誑論整個”數學”, 就是這個道理---沒有一個人能了解其所有的領域. 一般能兼顧兩個方向的就實在了不得了,要是兩個領域都接觸,那就是熊貓類了----少之又少的希奇動物! 再來看看第二部分 , II.應用數學：
13. 數學邊緣學科：係統論; 控製論, 運籌學(包括華老的優選法), 位勢論 14。計算數學：偏微分方程數值計算，初邊值問題數值解法，非線性微分方程及其數值解法，邊值問題數值解法，有限元、邊界元數值方法，變分不等式的數值方法，辛幾何差分方法，數理方程反問題的數值解法，常微分方程數值解法及其應用，二點邊值問題, STIFF問題研究, 奇異性問題, 代數微分方程, 不確定性的數學理論, 分形論, 大型稀疏矩陣求解, 代數特征值及其反問題, 非線性代數方程, 一般線性代數方程組求解, 15。數學算法: 快速算法, 並行計算, 算法分析 16。函數逼近：多元樣條, 多元逼近, 曲麵擬合, 有理逼近, 散亂數據插值. 你可能會說, 這應用數學原來也是一堆理論. 是的, 不過它強調的是提供一套實用的理論和工具, 沒那麽”抽象”罷了. 第三大部分, “數學史記和數學哲學”其實是曆史最悠久的。讀史明人,活躍你的思維，開闊你的視野，啟迪你的人生， 成就你的事業，都是大有裨益的。
我老在想，改革開放以來，有四件事推動了中國科學技術的進展，尤其象數學這些純理科性的方麵在中國得以進步。
一是老鄧的三個發展綱要:工業發展綱要, 農業發展綱要,和科技發展綱要.(後來又加了國防發展綱要和教育發展綱要)；
二是王梓坤的“科學發現縱橫談“
三是徐遲的“歌德巴赫猜想”
四是全國召開的科學技術大會，老鄧說的“科學技術是第一生產力”。
你會發現，兩個是政策方麵的，兩個是“史記,人物,發展史"方麵的, 它們的作用是如此的大,決不亞於任何一個"難題"的求解.從而本人一直認為數學史記和數學哲學的教育是極為必要的.隻是某些數學"家"沒有意識到罷了----當年陳省身在南開所成立時,一再強調讀數學史對數學大學生的重要性---知道別人在做什麽,是你研究的第一步.---那時候,作為一個"旁聽生",我感觸良多,一生難忘, 也一生受惠.
我們能知道多少? 連數學家都知之不了多少,何況我們這些泛泛之輩?! 懂一點已經心滿意足了.....如有一點點成就, 那更是沾沾自喜,光宗耀祖,甚感榮焉.
數學就像詩歌,沒事時,稍有撥弄,也嚐嚐數學詩的味....
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