是“授之以魚”還是“授之以漁” ? 自己教孩子，一是讓她掌握必備的知識，二是培養思維能力。掌握知識是必需的, 知識是思維的基礎。在實際生活中知識從來就是不完全的, 所以我們需要思維。學數學的過程正是在潛移默化中培養孩子的思維能力。
我把重心放在孩子學習的過程, 關鍵在於不是為做題目而做題目，也不是為學習而學習，更不是為考試而考試, 而是在學習的過程中培養孩子的思維能力和開發孩子的潛能。
問題是思維的起點，發問對於培養孩子是很重要的。孩子的天性中對這個奇妙世界原本有著無數個“為什麽”, 我有意識地引導她把被動學習轉化成主動學習，鼓勵她多問幾個為什麽, 鼓勵她積極思考, 鼓勵她帶著問題去學, 並與她一起去尋找答案。
舉個例子, 當她學 Divisibility and Remainder 時, 我問女兒下麵一係列問題:
為什麽一個數 12345, 如果數字和 1+2+3+4+5 是 3 的倍數，那麽它就是 3 的倍數 ?
接下來的問題: “ 同樣的道理由此得出 9 的倍數是什麽 ?”
再接下來的問題是: “ 能否一眼看出 12398671999999 和 77457932199999 ，這兩個數中哪個數是 3 的倍數？ ”
再進一步的問題是: “ 如何一眼看出 12398671999999/9 的餘數是什麽 ?”
更進一步的問題是: “ 為什麽上述問題計算餘數的方法如此簡單? 為什麽可以這樣做 ?”
對第一個問題 , 我先證明如下:
12345 = 1*10 4 + 2*10 3 + 3*10 2 + 4*10 + 5
= 1*(10 4 -1) +1 + 2*(10 3 -1) +2 + 3* (10 2 -1) +3 + 4 *(10-1) +4 +5
= 1*9999 + 2*999 + 3*99 + 4*9 +1+2 +3 +4 +5
因為 9999, 999, 99, 9 都是 3 的倍數,
所以 1*9999 + 2*999 + 3*99 + 4*9 是 3 的倍數。
因此, 如果 1+2+3+4+5 是 3 的倍數, 那麽12345 就是3 的倍數。
然後就接下來的問題: “ 由此得出 9 的倍數是什麽? ” 我讓女兒自己證明一下。因為同樣的道理 9999, 999, 99, 9 都是 9 的倍數 , 她馬上證明出來了。
再接下來的問題是: “ 能否一眼看出 12398671999999 和 77457932199999 ，這兩個數中哪個數是 3 的倍數？ ”
即如何快速得知數字和 7+7+4+5+7+9+3+2+1+9+9+9+9+9 是 3 的倍數 ?
是簡單地機械式將這些數字相加嗎? 不是的!
因為 7+7+4+5+7+9+3+2+1+9+9+9+9+9+9 = 7*3 + (4+5) +9 +3 +(2+1) +9+9+9+9+9+9
其中每一項 7* 3, (4+5) , 9, 3, (1+2) 都是 3 的倍數, 所以它就是 3 的倍數, 根本不需要計算和是多少。
再進一步的問題是: “ 如何一眼看出 12398671999999/9 的餘數是什麽 ? ”
方法非常簡單: 12398671999999/3 的餘數也就是 (1+2+3+9+8+6+7+1+9+9+9+9+9+9)/9 的餘數。
和上麵問題同樣的道理, 絕對不要機械式將這些數字相加 ,
因為 1+2+3+9+8+6+7+1+9+9+9+9+9+9=1 + (2+7) +(3+6) +9 +(8+1) +9+9+9+9+9+9
除了其中一項 1 以外, 其它每一項 (2+7), (3+6), 9, (8+1) 都是 9 的倍數, 所以一眼便知 12398671999999/9 的餘數是 1 。
對更進一步的問題: “ 為什麽上述問題計算餘數的方法如此簡單? 為什麽可以這樣做?”
我留給她去琢磨和思考, 問她你能證明出來嗎? 她馬上證明出來了。
我發現女兒在學校從來不做證明題。比如學數的整除和餘數時, 學校的要求是隻要知道規則就可以了。 為什麽我卻偏偏唱反調, 多此一舉去證明枯燥的數學定理和公式, 讓女兒搞得一清二楚呢 ? 我之所以如此重視數學定理和公式, 是為了啟發女兒積極思考問題, 要求她不僅要知其然還要知其所以然, 因為培養思維能力遠遠比灌輸知識重要得多！
僅僅死記“ 被 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, … 25 整除的數定理 ” 不僅 boring, 而且很難理解, 學過就忘記了。真因為證明了“為什麽一個數 12345, 如果數字和 1+2+3+4+5 是 3 的倍數，那麽它就是 3 的倍數 ?” 女兒才會觸類旁通, 同樣的道理由此顯而易見得出 9 的倍數是什麽。這樣一來不但容易理解, 而且不會忘記。一個朋友對我說: “ 真佩服你的記憶力, 怎麽這些定理和公式你還記得? ”其實我做過的題目全忘了，隻是我喜歡打破沙鍋問到底, 那時我也證明過, 所以二十多年後還記得清清楚楚。
正因為證明了什麽數是 3 的倍數後, 由此得到啟發 : “ 若一個算式中的每一項能被某一個數整除, 那麽其和就能被某一個數整除。” 所以運用此原理, 便能一眼看出 77457932199999 是 3 的倍數, 根本不需要計算和是多少。
正因為通過證明 3 的倍數定理, 知道了“若一個算式中的每一項能被某一個數整除, 那麽其和就能被某一個數整除。” 進一步運用此原理, 一眼便知 12398671999999 /9 的餘數是什麽, 大大簡化了餘數的運算。
學數學時, 將概念、定理和公式搞得清清楚楚之後, 一點就通, 數學也就越學越簡單, 越學越容易。上麵的 5 個例子說來說去, 翻來複去要搞清楚的就是“為什麽一個數 12345, 如果數字和 1+2+3+4+5 是 3 的倍數，那麽它就是 3 的倍數?” 以及反複運用“若一個算式中的每一項能被某一個數整除, 那麽其和就能被某一個數整除。” 就是如此簡單的兩句話學通了學透了之後, 就能觸類旁通, 舉一反三, 融會貫通上述一係列問題。
就學數學來講, 並不在於做過多少題目或者會解幾道難題, 因為題目永遠是做不完的。關鍵是不僅要知其然還要知其所以然, 能不能觸類旁通舉一反三, 將所學的東西真正變成自己的能力, 即融會貫通所學知識, 進一步培養和提高綜合邏輯思維的能力。
