中國曆史博覽 4

數學奇才

　　魏晉南北朝時期出了兩位數學奇才，一位是曹魏時期的劉徽（生於公元240年左右），另一位是南朝宋、齊時的祖衝之（公元429～500）。

　　劉徽是山東臨淄人，一生都沒有做官。出於對數學的熱愛，劉徽潛心鑽研學術，在數學理論方麵造詣很高。他的主要代表作有《九章算術注》、《重差》（到唐代改名為《海島算經》）以及《九章重差圖》等。可惜的是，《海島算經》和《九章重差圖》到宋代已經失傳，人們隻能從唯一傳世的《九章算術注》中，窺見其學術思想之一斑。

　　劉徽在數學方麵取得的最大成就，是建立了中國古代數學理論體係。在數係理論方麵，他闡述了通分、約分、四則運算、繁分數化簡等運算法則。在開方方麵，他論述了無理方根的存在，並引進了新數，創造了用十進分數無限逼近無理根的方法。在籌式演算理論方麵，他先給率以比較明確的定義，又以遍乘、通約、齊同等三種基本運算為基礎，建立了數與式運算的統一的理論基礎。並用“率”定義中國古代數學中的“方程”，也就是現代數學中線性方程組的增廣矩陣。在勾股理論方麵，他論證了勾股定理與解勾股形的計算原理，建立了相似勾股形理論，發展了勾股測量術，通過對“勾中容橫”與“股中容直”之類的典型圖形的論析，形成了中國特色的相似理論。在麵積與體積理論方麵，他用出入相補、以盈補虛的原理及“割圓術”的極限方法提出了劉徽原理，並解決了多種幾何形、幾何體的麵積、體積計算問題。

　　祖衝之像劉徽在總結前人的基礎上，又有所創見，最為突出的成就是得出了圓周率的計算方法。所謂圓周率是指平麵上圓的周長與直徑之比，用符號π表示。從先秦到漢代，人們一直沿用“徑一周三”的傳統觀點，將圓周率取值為3.這一數據十分不精確，往往不能滿足計算的需要。王莽時期，劉歆曾采用過31547的圓周率值，東漢張衡采用過31466，但都缺乏理論依據。劉徽通過精密的科學研究，得出了計算圓周率的科學方法和結論。他所運用的方法稱為“割圓術”，即先將一個圓的圓周六等分，作出一個圓內接正六邊形，這就叫做割圓。再用勾股法計算出這個六邊形的周長，然後繼續把圓進行等分，作成十二邊形、二十四邊形、四十八邊形等，一直算到一百九十二邊形，得出π=157／50=314，又算到3072邊形，得出π=3927／1250=31416，從而得出了精確到四位小數的π值，這一圓周率值被後人稱為“徽率”。劉徽所運用的初步極限概念和直曲轉化思想，在當時非常先進，在中國數學史乃至世界數學史上都占有極其重要的地位。

　　在劉徽之後，南朝宋、齊間的祖衝之又把中國古代數學的發展推到了另一個高峰。祖衝之（公元429～500），字文遠，祖籍範陽薊縣。西晉末年，為避戰亂，祖家南遷。祖衝之出身官宦世家，曾祖父祖台之在東晉任侍中，祖父祖昌仕劉宋為大匠卿，父親祖朔之曾任奉朝請。由於職業的緣故，祖家曆代子孫對天文曆法、數學、土木工程等都有所涉獵。祖衝之受家學影響，從小便接觸了一些天文、數學知識，逐漸培養起了這方麵的興趣。

　　祖衝之博學多才，進入仕途後，將自己的所學運用到工作實踐中，取得了傑出的成就。祖衝之的主要成就集中在數學、天文曆法和機械製造三個方麵。

　　在機械製造方麵，他曾製造過指南車。在天文曆法方麵取得的最大成就是他編製成了《大明曆》。劉宋在此之前使用的曆法，是宋文帝時期何承天編製的《元嘉曆》。祖衝之經過多年的觀測和推算，發現《元嘉曆》有許多缺陷，鑒於此，祖衝之準備製定一部新的曆法。至宋孝武帝大明六年（公元462），新法編製完成，以當時的年號定名為《大明曆》。由於遭到權臣的反對，《大明曆》在祖衝之生前始終沒有被采用，直到梁武帝天監九年（公元510）才正式頒布施行。

　　祖衝之的數學功力很深，曾著《綴術》。這部書匯集了祖衝之的數學研究成果，內容深奧，被稱為“算氏之最”。唐代還將《綴術》定為算學必修書目，但在宋以後失傳。

　　祖衝之在數學方麵的成就，是進一步得出了圓周率的精確數值。祖衝之在肯定劉徽所取得的成就的基礎上，認為圓周率還有進一步精確的可能。他運用的計算方法是產生於春秋戰國時期的“籌算法”。“籌算”是小竹棍，籌算法是通過橫式和縱式擺放小竹棍來表示數字，從而進行加減乘除運算。祖衝之運用這種方法，也是從圓的內接正六邊形開始，將邊數成倍增加，每一次增加都要運算11次。除去加減法，還有兩次乘方和兩次開方。這種運算方法十分複雜，工作量相當大。經過精密推算，祖衝之進一步得出圓周率的值在31415926和31415927兩個數值之間，將圓周率值精確到小數點後7位。同時，他還得出了兩個近似分數值，即約率22／7和密率355／113，這在當時世界數學史上還是第一次。在祖衝之後的1000年間，全世界竟無一人能夠超越祖衝之的結論。在西方，直到1573年才由德國人奧托得出了密率。此後，全世界的數學家都在孜孜不倦地探求圓周率的精確數值，並取得了可喜的進展。而這一切成績的取得，劉徽與祖衝之功不可沒。