一隻又死又活的薛定諤的貓

第十六章 解決孿生素數問題的一線曙光

　　數論在數學裏可能算是最難、卻又“最沒用”的領域，可它同時又具有相當崇高的地位。人們甚至把是否在數論中有過重要貢獻作為衡量一位數學家是不是數學全才的標準。常說的三個半數學全才：高斯，龐卡萊，希爾伯特和馮諾依曼，前三個都對數論研究有過巨大的貢獻，唯獨馮諾依曼沒有，所以隻能算半個。數論另一個引人入勝的地方，是它所提出的不少問題非常簡明、易懂，即使沒研讀過多少高深數學的人也能知其所雲，因而業餘愛好者頗多。比如，著名的哥德巴赫猜想，說起來確實很簡單：任何一個大於2的偶數，都可表示成兩個素數之和（素數就是隻能被它自己和1整除的自然數，例如：2，3，5，7）。又比如本文中要講的孿生素數猜想：孿生素數是指兩個相差為2的素數（例如3和5，17和19等素數對），古希臘數學家歐幾裏德猜測，存在無窮多的素數對。像這些問題，一般人都能明白，可要想證明卻又千難萬難。黎曼假說、哥德巴赫猜想及孿生素數猜想等素數問題，被同列為著名的希爾伯特第八問題--也是極少的幾個未被解決的希爾伯特問題之一。

　　孿生素數猜想看似簡單，誰都不難找出幾對來，3-5，5-7，11-13，17-19，29-31……如果繼續往下找，就會發現這種素數對出現的頻率越來越低，但也不會完全銷聲匿跡。近年來，人們利用大型計算機來尋找素數對，到目前為止，找到的最大素數對是3756801695685×2 666669±1.這對素數已經是十分巨大的天文數字了，而且隨著計算機功能的不斷加強，可以肯定今後還能發現更大的素數對。然而這都無助於證明孿生素數猜想，因為不管找到多少素數對，它們畢竟是有限多的，與存在無窮多的素數對有著本質的區別。

　　為了後麵敘述的方便，我們先來說一個簡單的數學名詞--下確界。給定一個數集，比如說{1、2、3}，如果能找到一個數（可以是這組數中的一個，也可在其外）小於或等於這組數中所有的數，這個數就是這組數的一個下界。在我們的例子裏，0和1都是下界。在所有的下界中如果有一個最大的下界，就稱為其為下確界。一個有界數集可以有無數個下界，但是下確界卻隻有一個。具體到{1、2、3}這個數集，1就是它的下確界。

　　兩個相鄰素數的差最小隻能是2，所以2永遠是兩個相鄰素數的差的下界，但不見得是最大的下界（下確界）。如果我們能夠證明當素數趨於無窮大時，兩個相鄰素數的差的下確界是2，就相當於證明了孿生素數問題。因為這就等於是說永遠可以找到要多大有多大並且差為2的素數對。幾百年來，許許多多的數學家和業餘數論愛好者花費了無數的心血想要證明孿生素數猜想，但沒人能取得任何實質性的進展。於是數學家們退而求其次，將注意力集中到一個相對容易一點的問題：當素數趨於無窮大時，兩個相鄰素數的差的下確界是有限的還是無限的？研究這個問題不光是解決孿生素數問題的第一步，同時也有它自身的意義，可以告訴我們當素數趨於無窮大時，兩個相鄰素數的差是否會無限擴大，從而對了解素數的分布有所助益。然而即便是這個問題，多年來仍然讓數論研究者們一籌莫展。直到今年5月，一位名不見經傳的華裔學者張益唐終於取得了決定性的突破。張益唐證明了當素數趨於無窮大時，兩個相鄰素數的差的下確界小於70000000，即永遠可以找到要多大有多大並且差為2、4、6、……、70000000之一的素數對。這個結論看似離證明孿生素數問題還差得很遠，不過我們必須認識到，在張益唐之前，人們甚至無法確知上麵所說的下確界究竟是有限的還是無限的。他的結論之所以重要，就在於明確給出了該下確界的一個有限邊界，從而在廣義的角度上確認了孿生素數猜想是可以被證明的。他的工作的另一層意義在於，其使用的方法具有相當的彈性，意味著這個邊界的數值很可能還可以大幅減小。張益唐在他的論文裏就指出，他所得到的結果可能並非最優的，其中一個關鍵參數的設定也是比較粗略的，因而存在著改進的空間。張益唐的論文出現沒幾天，素有數學神童之稱的菲爾茲獎獲得者陶哲軒（他9歲進入大學，10歲、11歲、12歲參加國際數學奧林匹克競賽，分獲銅牌、銀牌、金牌，16歲獲得學士學位，17歲獲得碩士學位，21歲獲得普林斯頓大學博士學位）就宣稱他已將70000000降到了5000000.互聯網上現在還有一個網站，專門登錄最新的進展，我剛剛查過的最新紀錄是60744（2013/6/16）。更有傳言說戈德斯頓（Goldston）等人甚至可以把這個“魔術數字”降到16！當然這些都需要數學界進一步地推敲和證實。

　　張益唐的成果也並不是閉門造車、僅靠自己單打獨鬥得來的。戈德斯頓等人近年來在孿生素數方麵的工作已經很接近於能夠證明該下確界是有限的，但最終還是差了臨門一腳。張益唐的突破可以說是在戈德斯頓等人奠定的基礎上，完成了這臨門一腳。據行家們講，他使用的方法是經過改進的解析數論中的篩法，這是一種比較經典的方法，在當下的數學界屬於不太時髦的東西。多年前陳景潤在哥德巴赫猜想上取得的成果（證明了任何大偶數都可寫成一個質數加不超過兩個質數的乘積，即1+2）用的就是經過改良的篩法（陳氏定理）。很多搞數論的人都認為陳景潤已經把篩法發揮得淋漓盡致，要想再往前走最終證明哥德巴赫猜想（1+1），必須另辟蹊徑，采用新的方法。35年來，沒人在哥德巴赫猜想上取得什麽實質性的新進展，似乎印證了這一說法。有趣的是，篩法似乎總是能重新煥發青春。2004年，陶哲軒在證明存在任意長的素數等差數列（格林-陶定理，這是他的成名作之一）時就用到了陳氏定理。這次張益唐在孿生素數方麵的突破又借助了篩法。張益唐的方法究竟是會引領到徹底證明孿生素數猜想，抑或是像陳氏定理對哥德巴赫猜想那樣，最終可望而不可即，大家都拭目以待。

　　說起張益唐，他的學術道路可以說是相當的艱辛，一路走來真是很不容易。1985年初，他赴美國普度大學攻讀博士學位，師從莫宗堅。他自己選了一個很大的論文題目--雅可比猜想。博士畢業前夕，他本以為已經證明了這個著名的猜想，然而最後關頭卻發現是錯的。這對他此後在學術界的發展顯然十分不利，以致在1991年獲得博士學位後，有七八年的時間他甚至不得不在餐館之類的地方打零工。即使在那樣的環境裏，他的數學研究卻一直沒撂下，而且還專攻像黎曼假說那樣的頂尖難題。1998年，在北大數學係的學弟葛力明的鼎力相助下，他才在美國新罕布什爾大學數學係當了講師。美國大學裏的講師地位不高，工資比助理教授要低不少，好在每年4門課的教學量還不算太大，作研究的時間基本能得到保證。在美國，隻要有點能力，找一份收入不錯的工作並非難事。能夠像張益唐這樣甘願清貧、潛心學問的人實屬鳳毛麟角。

　　身在數學圈之外的人也許會問，花費畢生精力來鑽研孿生素數猜想這類問題究竟有什麽實際意義？數學大師龐卡萊有一段名言可以作為回答：“科學家研究自然界，不是因為它有用；他研究自然界是因為熱愛它，而熱愛它是由於它的美。如果自然界不美，就不值得去認識它，生命也就沒有價值了。”其實，在人類文明發展的漫長歲月裏，數學家們就像一群不知疲倦的工匠，不斷“製造”出各種各樣的數學“工具”。這些“工具”有的時候是為其他科學領域“量身定製”的，因而具有直接的可應用性。但在大多數時候，這些存放於數學殿堂中的“工具”則是數學家們自得其樂閉門造車的成果。不過有些在當時看似沒用的“工具”，幾十年甚至幾百年後卻會大放異彩，成為科學上重大突破的關鍵一環。一個最為人們津津樂道的例子，就是非歐幾何學為愛因斯坦廣義相對論所奠定的基礎。至於孿生素數猜想等與素數分布有關的數論問題，如今已經具有了很重要的潛在應用價值。由於互聯網的安全幾乎完全取決於加密技術，而在公鑰加密和電子商業中被廣泛使用的RSA加密算法所依仗的，正是對極大整數做因數分解（即將該整數寫成多個素數的乘積）的困難程度，這與素數的分布有著緊密的關聯。

　　張益唐的研究成果為解決孿生素數問題帶來了一線曙光。他開啟了一扇門，至於這扇門之後的路還有多長，現在無法知曉。也許隻剩一步之遙，也可能十分曲折、漫長，甚至此路不通。