一隻又死又活的薛定諤的貓

第十四章 沙堆模型的啟示

　　一般來講，世界上存在的各種係統可以分為兩大類：簡單係統和複雜係統。在簡單係統中，局部的微小變化隻會引起整個係統的微小變化，所以是可預測的。複雜係統則不同，其主要特點是：從內部看，它是由相互關聯的部分所組成；從整體看，它可以展現出一種或多種特性，而這種特性是組成係統的每個單獨部分所不具有的。複雜係統在計算機科學、生物學、經濟學、物理學等許多領域中都有廣泛的應用。複雜係統又可以分成很多不同的類型。一個典型的例子是混沌，對於混沌係統，初始條件的微小變化就可能導致整個係統進入完全不可預測的狀態。而沙堆模型研究的對象則是另一類稱為“自組織臨界係統”的複雜係統。這種係統的特點是能通過內部的自發演化而達到某種臨界狀態（比較不嚴格地講，可以把臨界狀態想象成為“量變引起質變”的轉折點）。

　　大概有不少人在小時候都玩過沙子。如果我們將沙子一把一把地往同一個地方撒，那裏就會逐漸形成一座小沙堆。開始的時候沙堆不斷增高，但到了一定的高度後，再撒上一把，沙堆不但不增高，反而會出現滑坡現象（在自組織臨界係統研究的“行話”裏，統稱這類現象為“雪崩”）。滑下來的沙子的數量沒有一定規律，可能是一大片，也可能隻有幾粒。我們雖然無法預測當一把沙子撒下去後會引起多大規模的滑坡，但可以肯定的是，出現小規模滑坡的可能性要比出現大規模滑坡的可能性大很多。如果重複很多次這種“造山-滑坡”實驗，我們就能對出現的不同規模的滑坡的數量進行統計。但是用真正的沙子來進行這項實驗是很難的，因為有許多外界因素無法控製。於是巴克（Per Bak，1948-2002）和他的兩名博士後湯超及維森菲約德（Kurt Wiesenfeld）一起構造了沙堆模型（1987年），從而開創了自組織臨界現象研究的新天地。

　　沙堆模型以一個類似於圍棋盤的二維格點（不必是18格乘18格）為基礎，棋子可被隨機放入任意一個格子裏，而且允許棋子上麵摞棋子。規則是一旦一個格子裏的棋子摞到4個，這4個棋子就自動移到與其相鄰的4個格子裏，每個格子得到一個棋子（我們姑且把這種重新分配叫做“坍塌”）。如果一個棋子正好被移出棋盤，它就算離開了這個係統，不再予以考慮。當棋盤很空的時候，新加入一個棋子不會引起什麽大的反應，基本上這個棋子落在哪兒就會呆在那裏，除非那裏正好已經有3個棋子，則新棋子的加入就會觸發一次“坍塌”。不過這個“坍塌”隻會對周圍很小的區域有所影響。但當棋盤已經相對比較滿時，情況就會大為不同。下圖展示了一個典型的例子（引自巴克的《自然界如何工作》）。第一張小圖是“開始”時的狀態，小格裏的數字表示裏麵已有的棋子數目。在中心的小格裏加入一個棋子會引起這個小格裏棋子的“坍塌”，而“坍塌”後4個分別移到相鄰格子裏的棋子又會引起其中兩個格子裏的棋子發生“坍塌”，這兩個“坍塌”又引發新的“坍塌”……一連串的“坍塌”最後終止於第九張小圖所示的狀態。最後的小圖標示出有8個格子（黑色區域）發生過“坍塌”（其中一個格子裏發生過兩次“坍塌”）。我們可以把“坍塌”的次數定義為“雪崩”的強度，在這個的例子裏，“雪崩”的強度就是9.如果不斷將棋子加到隨機選取的格子裏，並將每次引發的“雪崩”強度記錄下來，在進行很多次（比如說100萬次）之後，就能得到非常有意義的統計數據。經過對這些數據的分析，巴克等人發現不同“雪崩”強度出現的次數N與“雪崩”強度E之間的關係遵從冪數律N～E-a。沙堆模型的a大約為1.1.在物理學裏，當一個係統滿足冪數律時，通常意味著這個係統是處於某種臨界狀態。另一方麵，如果一個係統中某個內部單元的變化不局限於其周邊而能引起整個係統的重構，這樣的係統被定義為具有自組織的特性。沙堆模型這類具有自組織特性並能通過內部自發演化達到臨界狀態的係統就被稱為自組織臨界係統。

　　沙堆模型的結構極為簡單，任何一個具有一些編程知識的人都可以在自己的個人電腦上實驗它。這正是它的美妙之處，一個如此簡單的模型卻具備了複雜係統最本質的特性，簡單與複雜的辯證關係在這裏體現得淋漓盡致。如果把新加入一個棋子所引起的“雪崩”強度（即“坍塌”數目）等價於往沙堆上加一把沙子所引起的滑坡規模，抽象的沙堆模型就與真實的沙堆連在一起了。當然，要想最終證實沙堆模型能正確描述真實的沙堆，必須有物理實驗的支持。由於每粒沙子的形狀、大小、重量各異，再加上濕度對實驗結果也有很大影響，用沙子做這項實驗很困難。有關沙堆模型的一個很漂亮的實驗是由挪威奧斯陸大學的一個研究小組在1995年用大米做的。他們讓大米以均勻的速度落在圓形的平盤上，用高速攝像機監測“雪崩”在24小時內發生的次數和強度，得到的數據直接存入電腦。經過整整一年在不同大小的圓形平盤（相當於不同大小的係統）上重複進行實驗，他們獲得了足夠的數據，證實米堆的確會達到自組織臨界狀態，而且“雪崩”強度的分布真的遵從冪數律！

　　如果自組織臨界現象僅與沙堆或米堆有聯係，大概並不會引起人們太多的關注。然而它卻出現於許多令人意想不到的領域中。地震就是一個絕好的例子。如果把地殼某處出現斷層等價於某個格子裏發生“坍塌”，再把地震的級數等價於“雪崩”的規模，地震就和沙堆模型連在一起了。在地震研究中，古滕堡-芮希特定律具有很重要的意義，它告訴我們在給定時間內不同強度的地震平均發生的次數，而且次數與強度之間的關係恰恰滿足冪數律（這也正是沙堆模型得到的一個重要結果）。必須特別注意的是，這裏所說的地震強度與次數的關係是統計平均意義下的關係。比如，從上圖中可以看到，大約平均每年會發生10次2.5級左右的地震和一次4級左右的地震，但這絕不意味著每發生10次2.5級左右的地震就會發生一次4級左右的地震。換句話說，即使一個地方已經很久沒發生過大震，下次地震是大震的可能性也並不會因此而增高。

　　從沙堆模型可以得到一個重要的啟示：對於自組織臨界係統，除非知道每一處細節部分的狀態，否則不可能從局部的變化預測整體的變化。以前麵的例子來說，必須知道每個格子裏已經有幾粒棋子，才有可能預測在某個特定格子裏新加入一粒棋子會不會引起“雪崩”以及“雪崩”的規模會有多大。再加上對於真實的係統（比如地震），我們甚至連下一粒棋子會落入哪個格子裏都不確定，要想對係統進行預測就幾乎是不可能的了。地震預測就有點類似於這種情況。地殼運動造成斷層是引發地震的原因之一，人們可以選定一些地方對地層變化（比如應力）進行監測。但是即使測到某處已達到發生斷裂的臨界狀態，仍然不能斷定什麽時候會真的發生斷裂，就像不知道“下一個棋子會落入哪裏”一樣。而且就算這裏真的斷裂了，如果不知道其他所有相關地方的狀態，人們還是無法預知被引發的地震的強度。這大概就是為什麽地震預測一直是個老大難問題的根本原因。

　　除了地震，地貌形成、山體滑坡、河流分支、太陽黑子活動、1/f噪音、商品及股票市場價格的漲落、交通堵塞、生物進化及大規模物種滅絕等等許多問題都與自組織臨界現象有著密切的關聯。沙堆模型及其“變種”被廣泛應用於這些領域，獲得了大量很有意義的成果。更有意思的是，這些模型往往能把兩個看似風馬牛不相及的係統聯係在一起，從而凸顯出它們的內在共性和可類比性。這方麵一個很好的例子是日本學者伊藤發現可以把用來模擬間斷平衡理論（一種有關生物進化的理論）的模型，原封不動地照搬到地震發生機製的研究中去。

　　近年來，還有人把自組織臨界現象的概念應用到大腦可塑性和腦神經元網絡的研究上，也取得了不少令人鼓舞的進展。在神經元活動的過程中，一個神經元會收到來自成千的其他神經元傳輸過來的“訊息”。當輸入量超過一個臨界值時，這個神經元就會將積累起來的“訊息”發送回神經元網絡而使自己“變空”。這種機製與上麵所講的沙堆模型頗為相像--當某個格子裏的棋子數達到4時，這4個棋子就會重新分配到相鄰的格子裏去。用來研究大腦可塑性的實際模型（比如2006年Arcangelis、Perrone-Capano和Herrmann提出的模型）比沙堆模型要複雜一點，但原理是一樣的。2009年，劍橋大學的Kitzbichler等人利用核磁共振成像和腦磁圖等技術對處於睡眠狀態下的人的大腦活動進行觀測，得到的數據顯示腦功能係統很可能是一個自組織臨界係統。他們不但觀察到某種類似於神經元“雪崩”的現象，而且證實相關的概率分布滿足冪數律。

　　在經濟學領域，巴克等人曾經論證經濟體係也屬於自組織臨界係統，並由此推斷不論是格林斯潘（美國第十三任聯邦儲備委員會主席）的貨幣杠杆還是馬克思主義的計劃經濟都無法防止類似於金融風暴那樣的“雪崩”出現。因為即使做得最好，充其量也就是讓前麵講的模型中的每個格子裏的棋子數盡可能地平均，但最終當所有格子裏的棋子數都達到3時，無論在哪個格子裏再加一個棋子，都必將引起超級大“雪崩”--就像蘇聯的崩潰。不過我覺得他們把經濟體係過於簡化了。別的不說，除了加入棋子（相當於經濟增長），棋盤有時也會增大（比如新技術的出現或市場的拓展），至於出不出現大規模“雪崩”就要看兩者誰快誰慢了。

　　自從1987年巴克、湯超和維森菲約德的論文發表以來，自組織臨界係統研究的疆域一直在不斷擴展，頗有些無孔不入的架勢。我們身邊發生的很多現象都可能與自組織臨界現象沾邊。甚至從國際社會裏不斷發生的大事、小事中似乎也能看到一點自組織臨界現象的影子。大多數時候一個國家內部發生的事件僅限於其自身，但有時也會波及周邊地區甚至影響全球。像最近發生在埃及的茉莉花革命（一個格子裏發生“坍塌”），導致中東及北非地區很多國家發生類似的革命（係統中出現“雪崩”）。人們很自然地會問：也許我們生活的世界本身就是一個自組織臨界係統？2009年，Thomas Kron和Thorsten Grund就寫過一篇文章專門討論這方麵的問題及應對之道（“Society as a Selforganized Critical System”。Cybernetics and Human Knowing 16：65-82），有興趣的讀者不妨找來看看。