一隻又死又活的薛定諤的貓

第十三章 樣式雷的屋頂與懸鏈線

　　從康熙到光緒，在長達200多年的時間內，江西建昌（今江西永修）人雷發達一家七代人因長期掌管樣式房（清代承辦內廷工程建築的機構）而得名“樣式雷”。經“樣式雷”設計、承辦的大型工程有：故宮三大殿、頤和園、萬壽山、玉泉山、香山園庭、熱河避暑山莊、昌陵、圓明園東路工程、定陵、惠陵、隆恩殿等建築。2007年6月20日，聯合國教科文組織公布，“樣式雷圖檔”入選《世界記憶遺產名錄》。中國目前入選“世界記憶遺產”的項目僅5項，“樣式雷圖檔”便是其中的一項。

　　這個清朝禦用的皇家建築設計世家，為後世留下了許多輝煌的建築，也留下了許多營建方麵的寶貴資料，至今仍被建築界使用和研究。其中有關皇宮屋頂規製的資料，不但詳細說明了這類屋頂的等級、結構形式、材料和工藝等等，還特別指出，之所以必須做成規定的坡度和形狀，是為了達到一種功能：在下雨時使雨水會流得最快，並在離開屋簷之後能射得最遠。這種屋頂的形狀就是在數學上稱為懸鏈線的一類曲線。

　　早在“樣式雷”之前上百年，懸鏈線就已經在我國的橋梁建築中出現過。據明朝萬曆《新昌縣誌》所載，位於浙江省新昌縣桃沅鄉劉門塢附近的惆悵溪之上的迎仙橋（橋長29米，寬4.6米，淨跨15.6米。清代道光時重修）就是具有近似於懸鏈線拱的古石拱橋。

　　“樣式雷”實際上解決的是一個動力學問題，就是要尋找一種曲線，如果讓一個小球沿著這條曲線滾落，滾下來的小球將得到最大的速度，亦即使小球滾落所需的時間最短。迎仙橋則是一個靜力學問題。兩者均需要運用微分方程來解決，而結果則途同歸，都是懸鏈線。當然，不管是“樣式雷”還是迎仙橋的設計者，他們都不知道懸鏈線這種數學曲線，更不會微積分。他們的結果完全是從實踐中反複摸索、總結出來的。

　　在西方，懸鏈線的出現與在中國非常不同。它是作為一個抽象的問題由達芬奇（1452-1519）首先提出來的：一條兩端固定、自然下垂的鏈子，其形狀是什麽（圖1）？懸鏈線這個名稱也是由此而來。這是個類似於迎仙橋拱的靜力學問題。巧合的是，達芬奇生活的年代正好也是明朝。達芬奇雖然提出了問題，卻沒得出結論。曾經有人把這個問題給過集哲學家、物理學家和數學家於一身的笛卡爾（1596-1650），他也沒能解決。大物理學家伽利略（1564-1642）認為它是拋物線，不過無法證明。此後很多年大家都相信伽利略的猜想是對的，不少數學家千方百計設法證明懸鏈線就是拋物線，直到法國的帕爾迪（Pardies，1636-1673）證明了伽利略其實是錯的。帕爾迪的功勞是把大家從錯誤路線上拉了回來，然而他並沒能得到正確的表達式。直到牛頓（1643-1727）和萊布尼茲（1645-1716）發明了微積分，才使最終解決懸鏈線的問題成為可能。萊布尼茲最先在1690年的一篇文章中提到他解決了懸鏈線問題，但不知因為什麽原因萊布尼茲沒有立即發表他的結果。若幹年之後，約翰伯努利（1667-1748）公布了他利用微分方程得到的懸鏈線表達式。同時，荷蘭數學物理學家惠更斯（Huygens，1629-1695）也解決了這一問題。不過他的方法不如約翰伯努利的漂亮。

　　說起伯努利，還有一段挺有趣的小故事。在我讀大學的時候，數學課程裏經常出現伯努利這個名字，而且是在多個不同的數學分支中，像伯努利數、伯努利分布、伯努利方程等等，不一而足。後來才知道數學家伯努利不止有一個。事實上，伯努利家族一共出了8個大數學家。其中最傑出的要算雅各布伯努利（1654-1705）和約翰伯努利。他們是親兄弟，排行第五和第十。約翰伯努利主修的本來是物理和醫學，博士論文也是關於醫學的，但他最大的貢獻卻是在數學領域。他的數學是在雅各布指導下自學的，所以雅各布應該算是約翰的老師。不過，兄弟倆到後來卻成為了競爭對手，並且以經常爭吵而聞名。兩人曾同時致力於懸鏈線的研究。盡管建議對這個問題進行研究的是雅各布，首先得到懸鏈線的正確解的卻是約翰。這件事一直讓約翰非常得意，覺得這是他在他們兄弟之爭中的一大勝利。甚至在他哥哥去世10多年之後，在一封給朋友的信裏他仍以頗為自得的口吻講到這段往事：“你說我哥哥提出了這個問題，這是事實。但這是否表示他有一個解決的方法呢？當然不是。當他在我的建議下提出這個問題（因為是我首先想起它來的）時，不論是他還是我都不知道如何解這個問題，我們絕望地認為它是不可解的。……我哥哥的努力毫無成果；而我則幸運得多，因為我發現了徹底解決這個問題的辦法。……當我滿懷喜悅地跑去找他時，他還在與這個難題痛苦地奮戰，隻是毫無進展，始終像伽利略一樣認為懸鏈線是拋物線。我對他說停下來、停下來，別再折磨你自己了，試圖證明懸鏈線等於拋物線根本就是錯的！”

　　在伯努利等人解決了懸鏈線問題之後，懸鏈線又出現於若幹個似乎互不相關的地方。其一為前麵提到過的小球滾落的動力學問題。其二為一類運動學問題，一個簡單的例子是一枚具有自動跟蹤功能的導彈追蹤沿直線飛行的飛機所走的軌跡。在西方，大概直到20世紀60年代懸鏈線才在工程中得到應用--懸鏈線吊橋（最早的設計是出自一位德國設計師之手）。

　　對比懸鏈線在中國和在西方的出現與發展的過程是很有意思的。在中國這是一個純粹的從實踐中來，到實踐中去的過程。所用的方法是歸納法，從來沒有人問過為什麽，當然也就不可能上升到理論的高度。在西方，在達芬奇提出這個問題後的最初幾百年裏，這基本上是一個抽象的純數學問題，完全沒有實際應用。所用的方法是演繹法，也沒人關心解決了這個問題到底有什麽用。當然，問題的提出還是來源於實際觀察，也算是從實踐中來。不同的是，他們對問題進行了深入的理論研究，得出了全麵的科學結論，並且在這個的基礎上才又應用到實際中去。

　　為什麽西方人會對這樣一個在當時看似並無實際應用的問題如此感興趣，並且鍥而不舍地研究了幾百年？為什麽同時代的中國人盡管在實際中令人不可思議地應用了這種曲線，卻對其“所以然”從未深究？這恐怕隻能從文化傳統中找原因了。正如人類學家萊斯利懷特（Leslie White，1900-1975）所說“如果讓牛頓一直呆在霍屯圖特（Hottentot，一個在南非的原始部落）文化中，他會像霍屯圖特人一樣進行計算”。這個題目太大，不是這篇短文所能論述清楚的。不過，有一點也許值得一提。西方文化根植於古希臘哲學，而古希臘哲學家們對幾何學一貫極為重視。據說在柏拉圖（公元前427-前347）擔任院長近40年的研究院的大門上掛著一塊牌子，上麵寫著“缺少幾何學知識者莫入”。柏拉圖甚至試圖用五種立體幾何圖形來解釋物質結構（圖2），四麵體對應於火、立方體對應於土、八麵體對應於氣、二十麵體對應於水，十二麵體則對應於整個宇宙。而在我國古代，幾何學乃至整個數學從來沒有取得過能與哲學並駕齊驅的地位。盡管我們的祖先也曾取得過不少輝煌的數學成果，像圓周率的計算，開平方、開立方的方法等等都比西方領先很多年。然而這些成果大都是以實際應用為目的，缺少更高層次的抽象內容。比如解二元一次方程組，我國數學家講的是形象的“雞兔同籠”，西方則是抽象的x和y。尤其像素數、黃金分割率、公理體係這類純抽象的概念從未出現在我國古代數學之中。古希臘的幾何學則是從公理出發，以嚴格的邏輯推導為根本的。從而奠定了西方數學重視演繹法的傳統。而演繹法正是通向近代數學乃至近代科學的不可或缺的思維方法。

　　長久以來，很多人都問過這樣一個問題：具有幾千年曆史的中國文化為什麽沒能孕育出近代科學？著名物理學家楊振寧曾經在一篇文章中歸納了五條（《曙光集》）：

　　第一，中國的傳統是入世的，不是出世的。換句話說就是比較注重實際，不注重抽象的理論架構。

　　第二，科舉製度。

　　第三，觀念上認為技術不重要，認為是“奇技淫巧”。

　　第四，中國傳統裏麵無推演式的思維方法。

　　第五，有“天人合一”的觀念。

　　懸鏈線的故事倒是為第一和第四條提供了一個頗具說服力的例子。