一隻又死又活的薛定諤的貓

第十二章 古往今來話紐結

　　紐結就是我們日常生活中經常碰到的在繩子上打的結，北方人管它叫疙瘩。結在我國有很長的曆史，最早的文字記載見於《係辭》下：“上古結繩而治，後世聖人易之以書契”（鄭玄《周易注》稱，“事大，大結其繩；事小，小結其繩”）。那時的結是記事的工具。後來出現的比較複雜的結，像蝴蝶結（出現在唐代永泰公主墓的壁畫中）、同心結（最早記錄於梁武帝詩詞中：“腰間雙綺帶，夢為同心結”）、如意結和吉祥結等等，則都是作為裝飾物的。到了清代，繩結已儼然被視為一門藝術，樣式既多，花樣也巧，結構當然也變得越來越複雜。

　　古希臘有“難解之結”（Gordian Knot）的故事：弗裏吉亞的老百姓決定讓第一個駕牛車進入首都的人當下一任的國王，結果一個名叫哥迪阿斯（Gordius）的老農成了國王。他受寵若驚之餘，把牛車係在一根柱子上。而他打的這個結相當複雜，很久都沒人解得開。於是就得了“難解之結”的名頭。後來人們又決定，如果誰能解開這個結，誰就可以成為新的國王。最後解開此結的人是曆史上著名的亞曆山大大帝（在公元前333年）。不過他的辦法是個賴皮的辦法--用寶劍把“難解之結”給削斷了。

　　在西方，紐結的發展經曆了一條與我國非常不同的過程。他們也有各種各樣的結，像漁人結、祖母結、吊人結等等。不過，這些結都沒有達到同心結那樣的複雜程度。在他們那裏，結之所以引起重視是與航海事業的發展密切相關的。為了方便，人們開始把那些在船上有所應用的結加以分類並記錄下來。早在17世紀，英國就出版過若幹本有關結的書，其中之一是探險家約翰史密斯（John Smith，1580-1631）所著。此君為後人所知，倒不是因為寫了這本書，而是因為他在美洲新大陸與印第安公主寶嘉康蒂（Pocahontas）有過一段交往。寶嘉康蒂是迪士尼動畫電影“風中奇緣”的主角，她的故事在歐、美可說是家喻戶曉。

　　從數學上對抽象的紐結進行研究，始於法國數學家範德蒙（Alexandre-Theophile Vandermonde，1735-1796）在1771年發表的一篇論文。他首先發現了可以用位置幾何學的方法來研究紐結，也就是說紐結的性質是由構成它的線的相對位置決定的，而與其大小無關。之後德國的“數學王子”高斯（Gauss，1777-1855）也在此領域裏做過一些工作。數學上研究的紐結都是封閉的，即沒頭沒尾。最簡單的紐結就是圓，構成它的線沒有交叉點，所以它其實是“無結”。稍微複雜一點的是三葉結，它有三個交叉點。

　　和很多其他數學理論一樣，紐結理論開始受到重視，也是拜物理學之賜。1860年代，熱力學之父威廉湯姆森（William Thompson，1824-1907，也就是開爾文勳爵）提出了一個大膽的設想：原子的結構可以用紐結來描述，越複雜的原子對應於越複雜的紐結。為了能解釋元素周期表，就需要對紐結進行分類，以期發現原子與紐結之間的內在聯係。首先需要回答的問題是如何界定紐結實質意義上的同與不同。在不把紐結的線“剪”斷的前提下，如果僅通過將一個紐結的線揪來揪去而變成了另一個紐結，這兩個紐結就被定義為是等價的。所以有很多看似完全不同的紐結（在此意義下）其實是一回事。最初等的分類方法是以交叉點的個數為基準，把具有相同交叉點數的紐結算作一組，看看每組裏麵有多少是獨立（互不等價）的。湯姆森的朋友塔特（Peter G。Tait，1831-1901）用的就是這種辦法。這是件極為繁瑣的工作，比如有8個交叉點的紐結就有256種需要分析。1885年塔特完成了對10個交叉點的所有紐結的分析，他決定到此為止，因為那時物理學的發展已經證明湯姆森的原子模型完全錯了。不過對紐結的研究並沒有因此而停止，隻是又重新回到了純數學的道路上。

　　要判斷兩個紐結是否等價絕非易事。一個有趣的例子是，1899年公布的紐結分類表中，列出的10個交叉點的獨立紐結有43個。然而在75年之後，紐約的一個律師（兼數學家？）卻發現其中有兩個實際上是等價的！而他所用的方法極為原始--在地板上擺弄以真繩子做成的圖形。其實這也並不奇怪，試想把一個根本沒打結的圓圈揉成一團，它看上去可以很複雜，如果不動手去解，單憑觀察，怎麽能判斷它到底有沒有打結？為了徹底解決這類問題，人們開始著手從數學上對紐結的“不變量”進行研究。所謂“不變量”說白了就是想找到一個可以被用來描述紐結內在性質的“量”，如果兩個紐結的這個“量”不同，就可以斷定它們是不等價的。第一個紐結“不變量”是由美國數學家亞曆山大（James W。Alexander，1888-1971）在1928年發現的，這是紐結研究中的一次重大突破，這個“不變量”後來就被稱為亞曆山大多項式。其後很多年，數學家們都以為亞曆山大多項式是唯一的紐結“不變量”。直到1984年，一個偶然的機會讓新西蘭裔數學家瓊斯（Vaughan Jones）發現了一個新的“不變量”--瓊斯多項式。

　　瓊斯的發現引發了一波研究“不變量”的熱潮，越來越多新的“不變量”被相繼發現。更為意想不到的是，瓊斯多項式又揭示了若幹個數學領域與一些物理學領域之間的內在聯係。特別是在1987年前後，考夫曼（L。H。Kauffman）等人找到了紐結與物理學中的一類模型之間的對應關係，這激發了人們對紐結的新興趣。在真實世界中，物理學研究的對象大多過於複雜，所以物理學家們構造了很多各種各樣的模型，它們既能反映研究對象的主要特點，又能把複雜性盡可能降到最低。為了研究水在0度時會結冰而在100度時會沸騰這類“臨界”現象，在物理學中產生了一批相應的模型，其中有一類可以得到數學上的完整解答，這就是所謂的精確可解模型。紐結理論正是與它們連在了一起。在這類模型的研究中占核心地位的楊-巴克斯特方程從而一下子成了研究紐結的利器。這次紐結與物理學的結合跟上一次很不相同，上次是物理學的需要為紐結研究提供了動力，這次則是物理學的方法直接應用到了紐結的研究之中。楊-巴克斯特方程裏的楊就是大名鼎鼎的楊振寧先生，這個方程也是他最重大的三項成就之一（另外兩項是楊-米爾斯規範場理論和證明宇稱不守恒）。巴克斯特（Rodney Baxter）也是統計物理學領域裏泰山北鬥級的人物。他們兩人有一個共同的特點--數學極棒，不但能駕馭非常複雜的運算，而且能透過現象抓住實質性的東西。與這兩位大師我多少還有過一些接觸。我的博士學位是在楊先生主持的石溪紐約州立大學理論物理所讀的，與楊先生抬頭不見低頭見，自不必說。而我的博士論文則與巴克斯特取得的兩項非常重要的成果直接相關（我們提出的兩個猜想後來被他證明）。在與巴克斯特不多的幾次接觸中，我還鬧過一個小笑話。那是在石溪讀書的時候，有一次他來訪問，我的導師在家裏設宴招待，我也恭陪末座。巴克斯特很能喝酒，喝完伏特加又喝威士忌。酒足飯飽之餘，他問起什麽地方可以喝到奶昔，我隨口說“漢堡王就有”，沒想到幾位在座的教授都哈哈大笑。轉念一想，漢堡王是我們這些窮學生去的地方，哪好推薦給他們這些成名人物。

　　紐結理論自誕生之日起，其研究的對象一直是數學上抽象的結。從基本的物理原理出發來研究真實的繩子在何種情況下會纏繞並打結，則遲至2007年才開始。很多人可能都有這樣的經驗：當打開提包拿出手提電腦時，它的電源線有時會“自動”打上煩人的結。大多數人麵對這種情況隻能自認倒黴，把結解開了事。可美國加州大學的物理學家史密斯（Doug Smith）卻動了徹底搞清這個問題的念頭。他首先設計了一個簡單的實驗裝置--一個可以自動搖晃的盒子，然後把不同長度及不同軟硬度的繩子放在裏麵搖。從常識上我們知道繩子越長、越軟就越容易打結，如果繩子太短或太硬則不管搖晃多久也打不成結。史密斯用他的裝置不但驗證了由常識得出的結論，同時還能給出很多有意義的定量的結果。比如，一定軟硬度的繩子最少需要多長才有可能自動打結。這個長度就對應於一個“臨界”長度，長度小於它，打結這個物理現象就不會發生。僅用盒子裝置，史密斯覺得還不過癮，因為每測試一根繩子就得搖晃幾千次，效率太低，而且也不容易觀察到繩結究竟是如何形成的。於是他又搞了一個計算機模擬係統，可以在很短的時間裏得到許多不同軟硬度的繩子在不同大小的盒子裏形成結的具體過程。接著他又從基本的物理原理出發，解釋了繩結形成的原因。他的這些成果發表在《美國國家科學院院刊》上，引起不少人的興趣。

　　一直以來，無論是從數學上還是從物理上對紐結進行的研究，基本都是為了滿足人們的好奇心。而最終使紐結理論成為大熱門的，卻是生物科學。我們都知道生物生長的過程就是細胞不斷分裂、產生新細胞的過程，細胞分裂的第一步則是對作為生命基石的DNA進行複製。DNA為了保護自己所儲存的信息，在一般情況下是緊緊纏作一團的。在複製過程中必須先由酶把它“解開”，這樣RNA才能將DNA裏儲存的“密碼”分段抄錄下來。從拓撲學的角度看，DNA就是一個很複雜的紐結，而酶所起的作用就是解結。用紐結理論去計算解開DNA這個紐結的困難程度，就可以研究對應的酶的特性。這真像是冥冥中自有天意，讓一門純數學理論埋頭發展數百年，在其逐漸成熟時，突然向它打開一扇大門，展現出一個具有廣闊應用前景的新天地。

　　比較一下紐結在中國和在西方發展的曆史也挺有意思的。在中國，從遠古時代以繩結記事開始，之後結被用來作為紐扣，又演化成裝飾品和藝術品，有些還被賦予了象征性的意義。比如，同心結取“永結同心”之意，常被用在男婚女嫁的儀式當中。又如，吉祥結代表大吉大利，吉人天相，祥瑞、美好，等等。在西方，人們則更注意繩結的實用價值（如在航海中），同時又有一些人對它們的歸類（哪些結實質上是相同的）感興趣，從而對結作了分類、歸納，並以此為基礎進一步進行了數學上的高度抽象，最終產生了純數學領域裏的紐結理論。我們也許可以這樣說：中國人對紐結給予了人文意義上的抽象，而西方人則對紐結進行了科學意義上的抽象。