一隻又死又活的薛定諤的貓

第十一章 閑話希爾伯特問題

　　1900年，在巴黎召開的第二屆國際數學家大會上，希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）作了題為《數學問題》的演講，提出了23個他認為會對20世紀數學發展起重大作用的問題，這就是著名的希爾伯特的23個問題。時至今日，110年已經過去了。這23個問題有些徹底解決了，有些得到了部分地解決，還有幾個沒有解決。無論如何，這些問題對最近100多年的數學研究確實是起了極大的推動作用的，為了解決其中的某些問題，甚至發展出了一些新的數學領域或分支。在尋求解決這些問題的過程中，那些作出過重要貢獻的人被數學界譽為“榮譽班”的成員。關於他們有不少挺有意思的故事，有悲劇，也有喜劇。而提出這23個問題的希爾伯特更是數學界的一代大宗師，大概應該算是這個“榮譽班”當之無愧的班主任吧。他的學生之一、諾貝爾物理學獎獲得者勞厄（Max von Laue，1879-1960）在回憶他時說“在我的記憶中，這個人可能是我所見過的最偉大的天才”。

　　希爾伯特出生的哥尼斯堡（K？nigsberg）是拓撲學的發祥地，著名的“七橋問題”中的七座橋就在那兒。哥尼斯堡也是大哲學家康德的故鄉，在那裏長大的孩子們（尤其是男孩）可以說都是浸泡在康德的思想裏成長起來的。每年4月22日（康德的誕生日），康德長眠的地窟會對公眾開放，希爾伯特的酷愛哲學的母親總會帶他去向這位偉大的哲學家致敬。也許正是由於這種哲學上的熏陶，使他一生對數學體係本身的完備性、相容性、確定性等等基本問題情有獨鍾。

　　希爾伯特8歲時才上學，比一般孩子晚了兩年。他上的是頗負盛名的馮檢基（Friedrichskolleg）書院。在他之前140年，康德就在那裏讀書。在這所既傳統又保守的名校裏，最受重視的是拉丁文和希臘文，數學次之，根本不教授其他科學課程。因而記憶力並不出眾的希爾伯特沒有太大的用武之地，表現平平，基本上處在疲於應付的狀態。數學對他來說毫不費力，可他也沒花多少精力在上麵。按他自己的話說“在學校裏，我沒怎麽在數學上下功夫，因為我知道以後會有機會去鑽研它”。直到中學的最後一年，希爾伯特轉學去了非常注重數學和科學的威廉（Wilhelm）書院，他才如魚得水，各科成績突飛猛進。尤其是數學，他不但獲得了最高的分數，還被破格免去了口試。畢業時得到的評語是“對於數學，他總是表現出濃厚的興趣和深刻的理解，他以令人激賞的方式掌握了學校裏教授的所有科目，並且能將其以令人信服和富有創造性的方式加以應用”。

　　中學畢業後，希爾伯特進了哥尼斯堡大學。這所大學以自由著稱，教授想教什麽就教什麽，學生想學什麽就學什麽，沒有任何限製。甚至每門課上後完連考試都沒有，隻在畢業時需要通過考試。希爾伯特沒有按照父親的願望去學法律（他父親是法官），而是選擇了數學。那時德國的大學允許學生到其他學校去遊學，希爾伯特曾到著名的洪堡大學就讀過一學期。但他沒有像大多數學生那樣，繼續前行去當時的學術中心柏林，而是返回了哥尼斯堡。1882年具有數學神童之稱的閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864-1909）也回到哥尼斯堡，兩人誌趣相投，從此結為終生的摯友。這個閔可夫斯基後來教過愛因斯坦數學，盡管他對愛因斯坦的數學才能評價很低，他引入的四維時空（閔可夫斯基空間）概念卻為相對論的後續發展奠定了關鍵的數學基礎。1884年，24歲的赫爾維茨（Adolf Hurwitz，1859-1919）來到哥尼斯堡大學當助理教授，他對希爾伯特的影響極大，可以說是他真正的老師。有相當長的一段時間，每天下午5點整，赫爾維茨、希爾伯特和閔可夫斯基3人都要聚在一起，散步到一棵蘋果樹下。以希爾伯特自己的說法，“在無休止的散步中，我們全神貫注於當時的各種數學問題，交流我們對這些問題的最新理解、想法和研究計劃。同時形成了終身的友誼”。

　　與閔可夫斯基和赫爾維茨相比，希爾伯特應該算是大器晚成的那種（當然不是以我們今天的標準）。閔可夫斯基18歲還在上大學時就贏得了國際知名度很高的巴黎科學院科學數學大獎賽的大獎（1883年）。赫爾維茨則年紀輕輕就已經發表了多篇重量級的數學論文，並獲得了令人羨慕的職位。

　　希爾伯特之所以後來在許多領域裏取得了重大成果，與他做學問的方法密切相關。一般人開始研究一個新課題時，通常是以前人的結果為起點接著往前走。希爾伯特卻不是這樣，他總是要從問題的起源開始，將它的來龍去脈徹底梳理一遍。這往往能讓他站在新的製高點上，從與前人不同的角度重新審視問題，發現意想不到的新方法來攻克難題。一個典型的例子就是在他剛出道時解決的不變量理論中的戈爾丹問題。戈爾丹（Paul Gordan，1837-1912）在1868年使用構造性方法給出了二元型係統的證明。此後20年間，很多數學家花了大量的時間想將其推廣到更多元的係統，都以失敗告終。希爾伯特仔細分析了戈爾丹問題，斷定沿著老路走下去是沒有希望的。他於是從一個全新的視角重新審視這個問題，在1888年利用反證法一舉給出了任意多元係統的證明。

　　到1900年，希爾伯特已經成為可以和龐加萊（Henri Poincare，1854-1912）比肩的頂尖數學家了。第二屆國際數學家大會邀請他作一個專題演講，題目自選。希爾伯特認為，如果能歸納出對新世紀的數學發展具有重要影響的一批問題將會比僅僅講一個他自己的研究成果更有意義。為此，他寫信征求了閔可夫斯基和赫爾維茨的意見，並在其後多次與他們通信商定問題的取舍。應該說在最後確定的這23個問題中，也有閔可夫斯基和赫爾維茨不少的心血。

　　由於時間限製，希爾伯特在大會上隻來得及講了23個問題中的10個，其餘的13個被列在會議的通報中。這些問題大體上可以分成四大類：數學的基礎問題及特定數學領域的基礎問題（第1-6），數論問題（第7-12），代數與幾何問題（第13-18）和數學分析問題（第19-23）。

　　巴黎數學家大會之後，這23個問題成了20世紀數學界的指路燈。希爾伯特所在的哥廷根大學則被很多人視為數學的聖地，成百名青年學生從世界各地雲集到那裏。在鼎盛時期（第一次世界大戰為這一時期畫上了句號），希爾伯特講課時經常連走道上和窗戶外都站著學生。他的很多學生和助手後來都成為數學界或物理學界的重要人物，說他桃李滿天下一點也不為過。

　　1950年，美國數學學會要求當時最有影響的數學家之一外爾（Hermann Weyl，1885-1955）總結一下過去50年數學的進展，他寫道，要不是因為“巴黎問題”所用術語太過專業，則隻需直接將已經解決和部分解決的希爾伯特問題開列下來就已經可以完成任務了，“（希爾伯特問題）就是數學家們經常用來衡量自己進展的進度表”。

　　希爾伯特第二問題

　　希爾伯特第二問題是關於“公理係統相容性的問題”（即判定一個公理係統內的所有命題是彼此相容無矛盾的），希爾伯特希望能以嚴格的方式來證明任意公理係統內命題的相容性。公理係統的一個簡單例子，是我們大家上中學時都學過的歐氏幾何學，歐幾裏德列出了10條公理，所有別的幾何定理都可以從這些公理出發推導出來。

　　解決希爾伯特第二問題的，是被譽為亞裏士多德之後最偉大的邏輯學家的哥德爾（Kurt Godel，1906-1978）。除了希爾伯特第二問題，哥德爾對希爾伯特第一問題的解決也起了關鍵性的作用，若不是他的興趣突然莫名其妙地轉移了，第一問題很可能也會成為他的囊中物。

　　哥德爾出生在摩拉維亞省的布爾諾（當時屬奧匈帝國，現屬捷克）。他天資聰穎，隻用了4年時間就完成了一般需要8年的初等教育。1918年上高中後，幾乎門門功課都得最高分，而唯一沒拿到最高分的課竟是數學！在進入維也納大學之初，他是準備搞物理的。後來他的導師、數學家哈恩（Hans Hahn，1879-1934）介紹他加入了當時非常有名的Vienna Circle（一個以探討數學和物理學的哲學基礎為目標的、由科學家和哲學家組成的小團體），使他的興趣一下子從物理學轉向了邏輯學。

　　1930年2月，哥德爾獲得博士學位，他的博士論文是證明數理邏輯中最基本的形式係統--謂詞演算（又稱一階邏輯）的完備性和相容性。這一年稍後，他證明了他的最著名的兩個關於公理係統的不完備性定理（發表於1931年3月）。哥德爾的論證與古希臘哲學家埃庇米尼得斯（Epimenides，公元前6世紀）的克裏特悖論（身為克裏特人的埃庇米尼得斯宣稱“所有的克裏特人都是騙子”）有點類似。其大意是說，對於任何一個公理係統，必定存在一個用形式語言表述的語句（statement）無法用形式語言的推理來證實或證偽，即這個語句是不確定的，因而隻能靠增加一個新的公理來對付它。換句話說，為了堵住公理係統的一個漏洞，就需要引入新的公理，而新公理的引入又導致新漏洞的出現--魚總是比網大！正是這個不完備性定理從完全出乎預料的、相反的方向解決了希爾伯特第二問題。比較準確的說法可能應該是：不完備性定理證明了公理係統相容性的不可證明（也就是說，希爾伯特想要的，是根本不可能被證明的）。這個消息剛剛傳到希爾伯特那裏時，他的最初反應是難以置信，甚至還有些憤怒。後來在他的助手伯內斯（Paul Bernays）的說服之下，他仔細研究了哥德爾的證明，很快意識到其正確性和重要性。當時希爾伯特正在哥廷根大學講授一門關於公理係統的課，看了哥德爾的論文後，他馬上把剩餘課程全部取消了。

　　哥德爾是數學界公認的天才，也是眾所周知的大怪物。他生性怕羞，據說他第一次講課時整整一節課全都是麵對黑板，沒朝學生看一眼。有人認為這也許與他那時就已經患了某種程度的抑鬱症或狂想症有關。早在學生時代，醫生就懷疑哥德爾可能患有抑鬱症或精神病，而他的一大樂趣就是與他的一個朋友共同策劃如何誤導醫生，以使其無法判斷他到底有什麽病。也許正是這種諱疾忌醫的態度要了他自己的命。到了晚年，他的狂想症最終發展到拒絕進食（因為懷疑食物裏有毒），以致由於器官功能衰竭而死。

　　哥德爾還有過被誤認為是德國間諜的經曆。1942年夏天，他到緬因州的濱海小鎮藍山（Blue Hill）度假。那時他正致力於選擇公理的獨立性的研究，為了不受幹擾，他總在晚上去海灘邊散步邊思考。散步就散步，卻還要自言自語，而且還用德文。那時第二次世界大戰正打得如火如荼，德國潛艇曾經在美國大西洋沿岸出沒過，哥德爾的長相恐怕也有點容易令人起疑。所有這些因素加在一起，讓當地的居民很難不疑心他是前來接應德國潛艇的間諜。當局不時接到舉報電話，好在他們並不糊塗，從未把哥德爾弄到警察局去。

　　作為邏輯學家，哥德爾一生認死理、愛鑽牛角尖，凡事都以邏輯推理為準。有時候讓人覺得他好像是個不食人間煙火異類。他為數不多的朋友之一，對策論的奠基人、經濟學家摩根斯坦（Oskar Morgenstern，1902-1977）講過一個很有趣的故事，頗能反映哥德爾的這一特點。1948年4月，哥德爾準備加入美國籍。入籍前必須通過一個例行的簡單考試。他花了極大的精力認真進行準備，尤其深入地鑽研了美國憲法。考試前不久，哥德爾十分興奮地跑來對摩根斯坦說“我發現了一個使美國能在邏輯上合法轉化為獨裁政權的可能性”。摩根斯坦當然知道不管哥德爾的論證多麽精辟，這項發現對入籍考試來說都是災難性的。所以他特別叮囑哥德爾在考試時一定不要提這項新發現。考試那天，愛因斯坦和摩根斯坦兩人作為證人陪同哥德爾來到移民局。入籍考試通常隻允許申請人一人進入移民官的辦公室。可能是出於對愛因斯坦的尊重，移民官把他們3個人一起請了進去。移民官開場說道，“到目前為止，你持有德國國籍……”，哥德爾馬上糾正說是奧地利國籍。移民官接著說“不管怎樣，它是在邪惡的獨裁統治之下……幸運的是，這在美國是不可能發生的……”這下可捅了馬蜂窩，哥德爾立刻高聲打斷道，“正相反，我知道這是可能發生的！”摩根斯坦等3人費了九牛二虎之力才總算阻止住他繼續深入闡述他的重要發現，讓考試回歸正軌。

　　愛因斯坦與哥德爾的交情匪淺，兩人經常一起從普林斯頓高等研究所散步回家。一路上他們會討論涵蓋範圍極廣的各種各樣的問題。哥德爾是為數不多的願意挑戰愛因斯坦想法的人，比如，他曾直言對統一場論持懷疑態度。在晚年時，愛因斯坦有一次跟摩根斯坦說，他自己的工作對其本身已經沒有多大意義，他之所以仍然每天去研究所，僅僅是為了“能獲得與哥德爾一起散步回家的特權”。哥德爾也把愛因斯坦視為知己。1949年，為了慶祝愛因斯坦的70大壽，《在世哲學家文庫》準備出一本專輯《阿爾伯特愛因斯坦：哲學家-科學家》。主編希歐普（P。A。Schilpp）邀請哥德爾也貢獻一篇文章。哥德爾突發奇想，決定要為專輯寫一篇關於廣義相對論的論文。於是重操物理舊業，開始認真研究廣義相對論。讓人不得不服氣的是，他還真發現了愛因斯坦場方程的一個不為人知的新解--這個解對應於一個“沒有時間的世界”（有興趣的讀者可以去看Palle Yourgrau的《A World Without Time》）。

　　希爾伯特第八問題

　　希爾伯特第八問題是黎曼假說和其他質數問題（質數就是隻能被它自己和1整除的自然數，例如：2，3，5，7）。黎曼假說（即關於ζ函數零點的分布的猜想）：ζ函數的所有非平凡零點的實數部分都是1/2.“其他質數問題”的代表之一就是哥德巴赫猜想：任何一個大於2的偶數，都可表示成兩個質數之和（數學圈裏稱其為1+1，就是說可表示成一個質數加另一個質數）。

　　哥德巴赫猜想看上去真是很簡單，對任何一個比較小的偶數，似乎都不難把它寫成兩個質數之和。比如，偶數8可表示成3+5，3和5是質數；又如偶數12可表示成5+7，5和7是質數，等等。可要證明對任何一個大於2的偶數都能成立，卻比登天還難。對哥德巴赫猜想以及和它連在一起的一個名字--陳景潤（1933-1996），很多人可能並不陌生。在文化大革命剛剛結束的1978年，陳景潤可以說是家喻戶曉的超級明星，這在很大程度上是著名作家徐遲的一篇報告文學《哥德巴赫猜想》（《人民文學》1978年1月號）所賜。文章發表後，一時間洛陽紙貴，各大報刊爭相轉載。陳景潤成為科學與獻身的代名詞，至於他究竟在哥德巴赫猜想上證明的是什麽反而成了次要問題。其實陳景潤的這項工作在1966年5月就已經完成了，隻是由於文革正好在那年開始，沒辦法拿出來發表。他所證明的是（陳氏定理）：任何充分大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者最多僅僅是兩個質數的乘積（即他證明了任何大偶數都可寫成一個質數加不超過兩個質數的乘積，所以稱為1+2）。陳氏定理看上去離證明哥德巴赫猜想隻有一步之遙，可這最後一道坎時至今日也沒人能跨得過去。

　　有人將哥德巴赫猜想比作數學皇冠上的一顆明珠，但與黎曼假說相比，它的重要性終究還是略遜一籌。這主要是因為ζ函數與質數的分布緊密相關，而質數的分布不但在數論的研究中至關重要，在實際應用上也意義重大。特別是在密碼的加密與解密方麵，比如，公開金鑰加密的RSA算法就是以大質數為基礎的。

　　黎曼（G。F。B。Riemann，1826-1866）在數學史上占有極重要的地位，是黎曼幾何學創始人及複變函數論創始人之一，對數學分析、微分幾何和微分方程有都有重要貢獻。黎曼自上小學開始就被視為數學天才，校長專門派了一位老師教他數學。但是很快老師就發現，他從黎曼那兒學到的東西比他能教給黎曼的要多得多！在中學裏，校長幹脆讓黎曼到他的私人圖書室（那裏有很多高深的數學專著）去自己找書看。有一次黎曼要求校長給他推薦一本難一點的書，為了試試黎曼的潛力，校長建議他去讀勒讓德（A。Legendre）的859頁的巨著《數論》。一星期後，黎曼把書還了回來，校長問他書是否太難，他回答說，非常高興校長給了一本能讓他讀了一星期之久的書。兩年後，黎曼請求學校以勒讓德的《數論》作為他畢業考試的一部分。盡管兩年來他從未再摸過這本書，對所有的問題卻全能對答如流。毫無疑問，《數論》對黎曼具有很大影響，使他對研究質數的分布產生了濃厚的興趣。

　　提出黎曼假說的論文發表於1859年。為了闡述和解釋這篇僅僅8頁長的論文，愛德華茲（H。M。Edwards）寫了一部300頁的專著《黎曼的ζ函數》（1974）。ζ函數本身其實並不複雜，學過初等數學的人大概都能看懂：

　　黎曼斷言ζ函數的所有非平凡零點的實數部分都是1/2.到目前為止，所有已知的15億個非平凡零點（絕大部分是用計算機得到的）全部都與黎曼的猜想相吻合。

　　在希爾伯特眼裏，黎曼假說應該算是這23個問題中的重中之重。巴黎會議之後不久，有人問過他在這些問題中哪一個最重要，他以不容置疑的口氣答道“黎曼假說”。多年以後，在希爾伯特晚年，又曾經有人問他，假如死後500年又複活了的話，問的第一個問題會是什麽？他毫不猶豫地答道“是否有人證明了黎曼假說？”

　　關於希爾伯特和黎曼假說還有一個傳說：某天，他的一個學生拿了一篇證明黎曼假說的論文給他看。希爾伯特仔細研究了這篇論文，對文中的精辟論證留下深刻的印象。隻可惜他發現其中有一處錯誤，而且想盡辦法也無法克服。一年之後這個學生突然去世了。在下葬時，希爾伯特要求致悼詞。在蒙蒙細雨中，他驅前幾步，麵對哭哭啼啼的親友開始演講。他首先說，如此才華橫溢的一個年輕人在其能有所作為之前就死去了，真是個悲劇。盡管這個年輕人對黎曼假說的證明存在一處錯誤，但是可能有一天，這個著名問題的解答也許就是沿著死者所指出的方向而被得到。然後話鋒一轉，“事實上，讓我們來考慮一個複變量的函數……”，接著就是天馬行空的長篇大論。

　　希爾伯特在1920年的一次演講時說，他認為演講廳裏沒人能活到看見希爾伯特第七問題的解決，而他自己應該能活著看到黎曼假說被證明，大廳裏最年輕的人則可能看到費爾馬大定理被證明。事實是，隻有他對費爾馬大定理的預言是大體正確的--它於1994年被證明。其餘兩個問題則和他的預言正好相反，他活著看到了第七問題的解決，而黎曼假說時至今日還是沒能被證明。

　　希爾伯特第十三問題

　　一般的七次方程式x7+ax3+bx2+cx+1=0的七個解，是係數a，b，c的（三變量）函數。第十三問題是：此三變量的函數是否可用有限個雙變量的函數來建構。希爾伯特真正關心的當然不是僅限於這個七次方程的解，他感興趣的大概是一個多變量的函數是否能用有限個雙變量的函數來建構。

　　俄國最偉大的數學奇才柯爾莫哥洛夫（A。N。Kolmogorov，1903-1987）奠定了解決這個問題的基礎，他在1956年證明任意具有多個變量的函數均可用有限個三變量的函數來建構。第十三問題的最終證明，則是由他的學生、當時年僅19歲的阿諾爾德（V。I。Arnold，1937-2010）於1957年給出的--任意具有多個變量的函數均可用有限個雙變量的函數建構。柯爾莫哥洛夫和阿諾爾德所研究的是一個更廣義的問題，第十三問題隻是其特例。

　　柯爾莫哥洛夫出生在俄國最動蕩的年代，一生頗富傳奇色彩。他父親是個革命者，在被流放時結識了出身於貴族家庭的柯爾莫哥洛娃（柯爾莫哥洛夫的母親），之後上演了一出貴族小姐與流亡革命者私訂終身的戲碼。不幸的是柯爾莫哥洛夫的母親在生他時死了，而父親雖然偶爾來看看他，卻從來就沒和他在一起生活過。柯爾莫哥洛夫是由姨媽撫養長大的，這也是他隨母姓的原因。他的這位姨媽也幹過革命，還曾經被軟禁過。據說柯爾莫哥洛夫3個月大的時候，他家遭到搜查，違禁品就藏在他的搖籃下麵。後來為了照顧柯爾莫哥洛夫，他的姨媽放棄了革命活動。

　　柯爾莫哥洛夫在很小的時候就顯露出超常的數學天賦。他的第一篇論文是在五六歲時發表於他們學校的校刊上的，內容是報告他發現1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，等等。他14歲就已經自學了高等數學，不過按他自己所說，在中學時其實對生物和曆史其實更有興趣。他剛入莫斯科大學的時候，在學習數學的同時也學曆史。而且他在大學裏寫的第一篇論文還是與曆史有關的：運用概率論的方法分析15和16世紀諾夫哥羅德省的土地注冊問題。盡管那時統計學還遠沒有成為一個成熟的學科，他仍然得到了一些很有意義的結果。他把論文拿給一位曆史教授看，教授認為文章不錯，但不能發表，原因是“你隻發現了一個證據，對曆史學家來說這遠遠不夠，你需要至少5個證據”。柯爾莫哥洛夫從此徹底打消了搞曆史的念頭，決定去搞科學，因為“在那裏，對於一項結論，一個證明就夠了”。（柯爾莫哥洛夫）。由此，俄羅斯可能少了一位曆史學家，而世界上則多了一位偉大的數學家。

　　19歲時，柯爾莫哥洛夫發現了勒貝格可積函數的傅立葉級數的發散性（傅立葉級數在物理學中有重要應用），這一結果對傅立葉級數的研究意義極大，使他一下成為國際數學界矚目的新星。柯爾莫哥洛夫一生發表過500多篇學術論文，涵蓋了許多不同的數學和物理領域。在涉足的每個領域裏，他所取得的成就都是一般的數學家或物理學家很難望其項背的。在概率論方麵，他首創了一套以測度論為基礎的公理係統（1929-1933），整個近代概率理論就是在它上麵建立起來的。這也與希爾伯特第六問題息息相關，起碼可以算是它的一個子問題。他在隨機過程，特別是馬爾可夫鏈和布朗運動的研究中取得了極為重要的成果，為現代統計學奠定了基礎。在湍流理論、混沌理論、相空間理論、三體問題、拓撲學等許多數學、物理領域中他都做過非常了不起的工作。柯爾莫哥洛夫在希爾伯特第十三問題上的貢獻足以使任何一位數學家躋身於世界頂尖數學家的行列，但與他一係列“開天辟地”的成果相比，這大概也隻能算是他的一項“普通”的成就。

　　柯爾莫哥洛夫的興趣相當廣泛，數學、物理、生物、曆史之外，他還愛好古典音樂和古典文學。對俄羅斯詩歌更是情有獨鍾，甚至還發表過11篇用統計學方法研究俄羅斯詩歌韻律結構的論文。他對戶外活動也十分著迷，一有機會就出去遠足、露營。有一年，他和另一位頂尖數學家、拓撲學大師亞曆山德羅夫（P。S。Alexandrov，1896-1982）一起，既不帶地圖也不帶旅遊手冊，隨身隻帶了一本荷馬史詩，劃一艘小船沿伏爾加河漂流而下。“我們通常把帳篷支在沙洲的頂端，在那裏對水流會有一種特殊的感覺。在旅程的開頭幾天，我們經常在夜裏去遊泳；在白色的夏夜裏，河岸邊飄拂著茂密的柳條，空氣中充溢著鳥兒的歡叫。這些都給我們留下了不可磨滅的印象。真希望能這樣永遠繼續下去……”（柯爾莫哥洛夫）。這次沒有任何既定目的地的旅行曆時21天，漂流了1300公裏，也使他和亞曆山德羅夫成為了終身的摯友。

　　除了在數學和物理學領域中的輝煌成就，柯爾莫哥洛夫對前蘇聯的初等教育也有重大貢獻。從1963年起，他的主要精力就放在了創建和指導第十八數學和物理中學之上（該校因而經常被人們稱為柯爾莫哥洛夫學校）。這所精英學校從全國各地招收在數學和科學上具有超常才華的學生，為蘇聯/俄國造就了很多數學和科學方麵的優秀人才。柯爾莫哥洛夫為第十八中學無償工作了15年，他不但親自給高年級學生教授數學、參與高中數學教材的編寫，而且也給孩子們講音樂和文學，還經常帶他們去露營。在他的帶動下，有一大批知名的數學家（其中很多是他的學生）在那裏授課，使學校的教學一直處於極高的水平。

　　從希爾伯特提出他的23個問題到今天，100多年已經過去了。這些問題中有16個得到了解決（1，2，3，4，5，7，9，10，11，13，14，15，17，18，21，22），另外4個（6，12，19，20，23）不是精確意義下的“問題”，而是屬於研究領域或研究方向的問題，它們對相關領域的發展起了很大的推動作用。剩下第八和第十六兩個問題至今都沒能解決。第十六問題在50年代末本以為被蘇聯科學院院士彼得羅夫斯基（I。G。Petrovsky，1901-1973）和蘭迪斯（E。M。Landis，1921-1997）解決了，但後來卻發現他們的證明有漏洞。1980年，當時還是中國科技大學研究生的史鬆齡更舉出了一個反例，徹底推翻了彼得羅夫斯基和蘭迪斯的證明。

　　2000年，仿照100年前的國際數學家大會，美國克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）邀請了世界上的一些頂級數學家聚集巴黎，在會議上公布了7個對新世紀的數學發展具有重大意義的難題（千禧年大獎難題），並為每個難題的解決設定了100萬美元的獎金。希爾伯特第八問題--黎曼假說又被列入其中。不知何年何月黎曼假說才能被最終證明，以慰希爾伯特在天之靈。