秦漢史考訂文集

第五章 兩漢時期數學發展概略

　　在古代中國，數學發展成係統的、專門的學科，是在兩漢時期完成的。這一時期，產生了許多卓有成就的數學家，學校中普遍設置了數學課程，並且出現了不少數學專著。本文擬就這幾個方麵，對漢代數學的發展做一個初步的概述。

　　一、兩漢時期的數學家

　　在數學方麵，兩漢時期可以說人材輩出。並且，出現了一位知名的女數學家班昭，這也是難能可貴的。先秦時代，沒有專門以數學知名的人物[1]。比較起來，漢代數學家的大批湧現確是數學獲得飛躍發展的明證。下麵對這一時期的數學家逐一加以介紹。

　　西 漢

　　（1）張蒼：秦時為柱下禦史，後歸漢，是西漢的建國功臣，文帝時，官至丞相。“明習天下圖書計籍。蒼又善用算律曆”，[2]是漢初律曆製度的奠基人。晉劉徽認為張蒼在《九章算術》的形成過程中，曾經進行過整理：“周公製禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣。往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥後，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目，則與古或異，而所論者多近語也。”[3]

　　（2）落下閎：巴郡民間數學家。武帝時改革曆法，造漢《太初曆》，“乃選治曆鄧平及長樂司馬可、酒泉候宜君、侍郎尊及與民間治曆者，凡二十餘人，方士唐都、巴郡落下閎與焉。都分天部，而閎運算轉曆。”[4]

　　（3）桑弘羊：武帝時為治粟都尉，後升任禦史大夫。“平準”、“均輸”政策的製定者。“弘羊，洛陽賈人之子，以心計（師古曰：‘不用籌算’）。”[5]由於桑弘羊算法純熟，可以不用籌這種計算工具，而憑默算即可得出答案，這自古以來就被認為是高超的計算家。老子就說過：“善數不用籌策。”[6]桑弘羊製定過均輸法，《九章算術》第六章即講“均輸”。《漢書·公孫弘卜式兒寬傳讚》說：“運籌則桑弘羊”。可見，桑弘羊在核算、統計、運籌這方麵是一個專家。

　　（4）路溫舒：出身下層人民，自幼好學。“父為裏監門，使溫舒牧羊。溫舒取澤中蒲，截以為牒，編用寫書。”[7]宣帝時，官至臨淮太守。路溫舒曾經跟他的祖父學習過“曆數天文”。[8]

　　（5）耿壽昌：宣帝時為大司農中丞，在經濟政策方麵曾提出許多改革建議。“大司農中丞耿壽昌以善為算，能商功利，得幸於上。”[9]禦史大夫肖望之說：“壽昌習於商功分銖之事，其深計遠慮，誠未足任。”[10]雖然肖望之是耿壽昌的反對派，不讚成他的經濟政策，但也承認他“習於商功分銖之事”。《九章算術》第五章即講“商功”。

　　（6）許商：先後為河隄都尉、將作大匠。許商是當時著名的數學家、天文學家、治河專家，著《五行論曆》、[11]《許商算術》。[12]成帝建始元年（公元前32年）、河平三年（前26年）、鴻嘉四年（前17年），三次參加規劃黃河的治理工程，多見功效。

　　（7）杜忠：成帝時人，生平不詳。《漢書·藝文誌》有《杜忠算術》十六卷。杜忠和許商齊名，“《九章術》，漢許商杜忠、吳陳熾、魏王粲，並善之。”[13]

　　（8）尹鹹：官至大司農、太史令。“成帝時，以書頗散亡，使謁者陳農求遺書於天下。詔光祿大夫劉向校經傳諸子詩賦，步兵校尉任宏校兵書，太史令尹鹹校數術。[14]侍醫李柱國校方技。”[15]尹鹹負責審訂“數術”類圖書，其中，天文、曆法、數學等自然科學技術著作是最主要的部分。所以尹鹹必定也是一個數學內行。

　　（9）卓茂：西漢末東漢初人。“元帝時，學於長安，事博士江生，習《詩》、《禮》及曆算，究極師法，稱為通儒。”[16]

　　（10）劉歆：劉向之子，西漢成帝時，為黃門郎。“河平中，受詔與父向領校秘書，講六藝傳記，諸子、詩賦、數術、方技，無所不究。”[17]劉歆助王莽奪取政權，新朝建立後，封為國師、嘉新公。劉歆整理過曆法史，著《三統曆譜》。

　　東 漢

　　（1）杜詩：光武建武七年，為南陽太守。“善於計略，[18]省愛民役，造作水排，鑄為農器，用力少，見功多，百姓便之。又修治陂池，廣拓土田，郡內比室殷足。”[19]

　　（2）郅惲：光武時，官至長沙太守。“理《韓詩》、《嚴氏春秋》，明天文曆數。”[20]

　　（3）許楊：“少好術數。”[21]“汝南舊有鴻卻陂，成帝時，丞相翟方進奏毀敗之。建武中，太守鄧晨欲修複其功，聞楊曉水脈，召與議之……因署楊為都水掾，使典其事。楊因高下形勢，起塘四百餘裏，數年乃立。百姓得其便，累歲大稔。”[22]

　　（4）馮勤：官至司徒。“八歲善計。”[23]

　　（5）王景：“景少學《易》，遂廣窺眾書，又好天文術數之事，沈深多伎藝。辟司空伏恭府。時有薦景能理水者，顯宗詔與將作謁者王吳共修作浚儀渠。吳用景墕流法，水乃不複為害。”[24]

　　（6）班昭：班彪之女，班固之妹，扶風曹世叔妻，習稱曹大家。“博學高才。世叔早卒，有節行法度。兄固著《漢書》，其八表及《天文誌》未及竟而卒。和帝詔昭就東觀藏書閣踵而成之。帝數召入宮，令皇後諸貴人師事焉。”[25]“（和帝鄧後）自入宮掖，從曹大家受經書，兼天文、算數。”[26]

　　（7）馬續：“續字季則，七歲能通《論語》，十三明《尚書》，十六治《詩》，博觀群籍，善《九章算術》。”[27]

　　（8）張衡：漢代著名的科學技術專家。“衡善機巧，尤致思於天文、陰陽、曆算……安帝雅聞衡善術學，公車特征拜郎中，再遷為太史令。遂乃研核陰陽，妙盡璿機之正，作渾天儀，著《靈憲》、《算罔論》，言甚詳明。”[28]順帝陽嘉元年（公元132年），複造候風地動儀，可以測知地震發生的方向，靈敏度很高，“驗之以事，合契若神。”[29]張衡死於順帝永和四年（公元139年），年六十二。他的好友也善數學的崔瑗撰碑文，稱讚他“數術窮天地，製作侔造化。”[30]可見時人推許之高。

　　（9）崔瑗：“年十八，至京師，從侍中賈逵質正大義，逵善待之。瑗因留遊學，遂明天官、曆數、《京房易傳》、六日七分。”[31]

　　（10）郎宗：“學《京氏易》，善風角、星算、六日七分，能望氣占候吉凶，常賣卜自奉。”[32]

　　（11）翟酺：“酺好《老子》，尤善圖緯、天文、曆算。以報舅仇，當徙日南，亡於長安，為卜相工。”[33]

　　（12）樊英：“少受業三輔，習《京氏易》，兼明《五經》，又善風角、星算、《河洛》、《七緯》，推步災異。”[34]

　　（13）王延壽：字文考，一字子山。“有雋才，少遊魯國，作《靈光殿賦》……後溺水死，時年二十餘。”[35]李賢《後漢書》注引晉張華《博物誌》：“王子山與父叔師到泰山從鮑子真學算，到魯賦靈光殿，歸度湘水溺死。”[36]

　　（14）劉瑜：“瑜少好經學，尤善圖讖、天文、曆算之術。”[37]

　　（15）徐稚：出身下層人民。“家貧，常自耕稼，非其力不食。”[38]李賢《後漢書》注引《謝承書》曰：“稚少為諸生，學《嚴氏春秋》、《京氏易》、《歐陽尚書》，兼綜風角、星官、算曆、《河圖》、《七緯》、推步、變易。”

　　（16）劉寬：李賢《後漢書》注引《謝承書》曰：“寬少學《歐陽尚書》、《京氏易》，尤明《韓詩外傳》。星官、風角、算曆，皆究極師法，稱為通儒。”[39]

　　（17）單颺：官太史令。“以孤特清苦自立，善明天官、算術。”[40]

　　（18）何休：東漢今文經學大師，撰《春秋公羊解詁》傳世，“休善曆算”。[41]

　　（19）劉洪：漢宗室，官穀城門候、會稽東部都尉，後領山陽太守。“洪篤信好學，觀乎六藝群書意，以為天文數術，探賾索隱，鉤深致遠，遂專心銳思。”[42]“洪善算，當世無偶，作《七曜術》。及在東觀，與蔡邕共述《律曆記》，考驗天官。及造《乾象術》，十餘年，考驗日月，與象相應，皆傳於世。”[43]劉洪是當時最優秀的數學家，蔡邕說他“密於用算”，[44]並非虛語。他的《乾象曆》也為後人所稱道。

　　（20）蔡邕：“少博學，師事太傅胡廣。好辭章、數術，妙操音律。”[45]

　　（21）鄭玄：著名的古文經學大師。鄭玄曾在太學受業，“師事京兆第五元先，始通《京氏易》、《公羊春秋》、《三統曆》、《九章算術》……以山東無足問者，乃西入關，因涿郡盧植，事扶風馬融……會融集諸生考論圖緯，聞玄善算，乃召見於樓上，玄因從質諸疑義，問畢辭歸。”[46]“（馬融）嚐算渾天不合，諸弟子莫能解，或言玄能者。融召令算，一轉便決，眾鹹駭服。”[47]鄭玄除經學外也擅長數學，聞名後世。晉皇甫謐說他兼通“《九章算術》”，[48]梁劉孝標說他“博極群書”，“兼精算術。”[49]

　　（22）徐嶽：“東萊徐先生素習《九章》，能為計數”，[50]著《數術記遺》。

　　二、數學家對社會的貢獻

　　上文介紹了兩漢時期以數學知名的人物，共三十二人。他們掌握了數學知識，並應用於社會實踐之中。根據數學家們的主要活動來看，可以分作四種情況。一是用於經濟理財，二是用於天文曆法，三是用於工程機械，四是用於占卜讖緯。

　　兩漢時期，中國脫離了春秋戰國數百年的混戰局麵，建立了統一的大帝國，社會經濟有很大的發展。到西漢平帝元始二年（公元2年），“凡郡國一百三，縣邑千三百一十四，道三十二，侯國二百四十一。地東西九千三百二裏，南北萬三千三百六十八裏。提封田一萬萬四千五百一十三萬六千四百五頃，其一萬萬二百五十二萬八千八百八十九頃，邑居道路，山川林澤，群不可墾，其三千二百二十九萬九百四十七頃，可墾不可墾，定墾田八百二十七萬五百三十六頃。居戶千二百二十三萬三千六十二，口五千九百五十九萬四千九百七十八。”[51]東漢時，皇室的開支“經用歲且二萬萬。”[52]象這樣一個規模空前的統一的大國，管理政府的財政、稅收、軍費、貿易等等，必須具備相當高的數學知識。甚至民間富商大賈要發家致富，也需要善於籌算，如西漢冶鐵致富的蜀卓氏，“即鐵山鼓鑄，運籌算，賈滇、蜀民，富至童八百人。”[53]總之，經濟的發展對數學是一個巨大的促進。西漢桑弘羊、耿壽昌就是精通數學的理財家。

　　漢代的天文曆法學在總結先秦成果的基礎上，達到了新的高度。天文曆法的發展必須借助於數學。很多數學家同時也是天文家和曆法家。張蒼、落下閎、劉歆、班昭、張衡、劉洪、蔡邕等都是這方麵的代表人物。

　　和社會生產直接相關的是把數學應用於修建工程和製造機械。漢代搞過多次大規模的治河及其它水利工程、建築工程。每次大的工程都需要有“用算者”參與規劃。如漢武帝開辟皇家獵場上林苑，“乃使太中大夫吾丘壽王與待詔能用算者二人，舉籍阿城以南，周至以東，宜春以西，提封頃畝，及其賈直，欲除以為上林苑，屬之南山。”[54]新莽地皇元年（公元20年），修祖廟九所，大興土木，“博征天下工匠諸圖畫，以望法度算，及吏民以義入錢穀助作者，駱驛道路。”[55]這兩個例子談的是皇家工程，其它工程也同樣要有數學家參與其事，起到工程師和設計師的作用。西漢的許商就曾三次參加過治理黃河的規劃。東漢的許楊主持過修建鴻卻陂水庫，王景主持過修建浚儀渠水利工程。另外，一些數學家把他們的知識用於機械製造方麵，東漢的杜詩造水排（水力鼓風機）以鑄農器，開發了廉價的動力資源，節省了勞力，提高了社會生產。張衡設計製造了著名的渾天儀和候風地動儀，在世界科學技術史上，占有極為重要的地位。

　　當然，也有一些懂得數學的人，把他們的知識用於進行占卜，解說讖緯等方麵，宣揚迷信思想和天命觀，特別是在東漢時期，更為突出，如崔瑗、郎宗、翟酺、樊英、劉瑜、徐稚等。在這一部分數學家那裏，則是糟粕多於精華了。

　　三、數 學 教 育

　　漢代的數學很發達，產生了很多數學家，這是和當時的數學教育分不開的。

　　在漢代，自然村稱為裏，若幹裏組成一鄉。裏和鄉設有學校，稱為庠序，所謂“裏有序而鄉有庠。”[56]庠序在漢代也叫做小學，是初級學校，一般入學年齡為八歲（虛歲），開始學習的課程有六甲、五方、書計三門。書計就是算術，是一門必修課。《白虎通》“八歲毀齒，始有識知，入學，學書計。”[57]為了便於學習和使用，國家規定了統一的計量單位。“度長短者不失豪氂，量多少者不失圭撮，權輕重者不失黍累。紀於一，協於十，長於百，大於千，衍於萬，其法在算術。宣於天下，小學是則。”[58]

　　由於民間重視數學，有一些數學家就是從民間而來，經過進一步的深造，達到了很高的水平，例如落下閎、路溫舒、徐稚等人就是如此。西漢武帝時，改革曆法，甚至連專管星曆天文的官員都表示對新曆法的數據“不能為算”，後來從民間聘請了落下閎等高手，才解決了運算的問題。由此可見，民間數學教育是很發達的。

　　在上層社會中，皇室貴族更需要學習數學。“《禮》製，人君之子年八歲，為置少傅，教之書計，以開其明。”[59]甚至皇帝的後妃也有通數學的，上文提到和帝鄧後曾經跟班昭學過天文算數，此外，靈帝王美人“聰敏有才明，能書會計”，[60]也是一個例證。武帝的兒子燕王旦則“好星曆、數術、倡優、射獵之事，招致遊士。”[61]武帝姑母館陶公主寵幸董偃，“始偃與母以賣珠為事，偃年十三，隨母出入主家。左右言其姣好，主召見，曰：‘吾為母養之。’因留第中，教書計、相馬、禦射，頗讀傳記。”[62]董偃擠入貴族階層，必須學習文化，數學也成為科目之一。東漢權戚梁冀也是“口吟舌言，裁能書計。”[63]

　　如果要進行深造和研究，取得更高深的數學知識，僅僅在庠序一類小學中學習書計，當然是不夠的。兩漢時期，官學和私學並盛。最高等的官學是設在首都的太學，太學有專門的博士授業。但太學沒有數學科目，進修數學則要投入私人的學校。漢代，私人講學之風盛行，特別是在東漢，著名學者往往有數百甚至上千的學生。在這些學者當中，師徒相傳。許多有成就的數學家都在私學中經過名師的指教。例如，“孝武時，夏侯始昌通《五經》，善推《五行傳》，以傳族子夏侯勝，下及許商，皆以教所賢弟子。”[64]再如，鄭玄、徐嶽都是劉洪的學生，三國吳闞澤又從徐嶽學習天文曆法和數學。總之，高等的數學知識的學習是要有師承的。

　　由於數學教育的發展，究竟怎樣提高和深造也是人們所關心的問題。《周髀算經》上有一個故事，敘述陳子和他的學生榮方的一段對話，很具有啟發性。榮方向陳子請教數學問題，陳子讓他反複思考，榮方仍不能明暸，最後陳子說：“夫道術言約而用博者，智類之明；問一類而以萬事達者謂之知道。今子所學算數之術，是用智矣，而尚有所難，是子之智類單。夫道術所以難通者，即學矣，患其不博；即博矣，患其不習；即習矣，患其不能知。”[65]陳子的話說明要學好數學必須先打好堅實廣博的基礎，然後反複鑽研，最後才能掌握規律，才能“知道”，即“問一類而以萬事達”，而在整個學習過程中，又必須進行艱苦的思考，才能不斷進步。這個見解，現在看來也是很有道理的。

　　當然，漢代的學校，無論小學或太學，也無論官學和私學，其所傳授的內容是以儒家經典為主的綱常教化。但是，數學科目能夠占有一定的比重，並產生一批促進了社會生產發展的數學人材，這也是值得大書特書的了。

　　四、計算工具和數學專著

　　漢代的計算工具叫算籌。《漢書·律曆誌》記載：“其算法用竹，徑一分，長六寸，二百七十一枚而成六觚，為一握。”《說文·竹部》：“筭長六寸，計曆數者，從竹從弄，言常弄乃不誤也。”二者記載長度相同。漢尺長23公分，六寸合13.8公分。算籌實際就是十多公分長的小竹棍，二百七十一根為一組。[66]它的樣子很象吃飯用的筷子。一次劉邦正在吃飯，張良和他研究軍事策略，就用筷子比作籌，說：“臣請藉前箸為大王籌之。”[67]1971年在陝西千陽縣發掘了一座西漢墓，出土了三十一根骨質算籌。[68]1975年在湖北江陵發掘鳳凰山一六八號漢墓時，和書寫工具一起，也出土了一些“竹棍”，[69]實即算籌。這兩次發現使我們具體地看到了算籌的形製。算籌的創設由來已久，開始使用的年代今已無考，但到了漢代確是很普遍地流行了。

　　算籌使用的方法很簡單，和後來的珠算大體相同。用算籌代表數字分縱式和橫式二種，擺法如下：

　　1234 5678 9

　　縱式

　　橫式

　　為使進位不易弄混，表示數字時，縱橫兩式間錯排列，如4872 擺成。加減乘除都可以用算籌的擺法以及位置的變動來進行運算。[70]

　　古代書寫的材料主要用竹簡和縑帛。解一道複雜的數學題，要進行大量的運算，一旦得到答案，運算的底搞就廢棄無用。因此，使用竹簡縑帛做底稿即浪費又不便。用算籌作計算工具，可以節省書寫材料，而且簡單準確，不易發生錯誤。在世界數學史上，算籌是我國獨特的發明。

　　另外，九九表在當時社會上也很流行。敦煌和居延都發現過漢代九九表的殘簡。[71]漢代的九九表和現在的乘法口訣大體是一樣的，不同的地方是漢代九九表從九九八十一開始，其順序和現在相反。在漢代的史籍中，多次提到九九表，也可以證明它使用的廣泛。

　　九九表當然不是真正的數學著作。專門的數學著作在我國曆史上也是從漢代開始才有的，但可惜的是許多重要著作已經失傳了。《漢書·藝文誌》記載的《許商算術》和《杜忠算術》以及張衡的《算罔論》，今已不存。徐嶽有《數術記遺》之作，今存《算經十書》中的《數術記遺》一卷，顯係偽作。

　　然而，漢代有一部講天文和數學的著作《周髀算經》和一部數學方麵的綜合著作《九章算術》，卻流傳下來。根據這兩部書，特別是《九章算術》，我們可以知道當時數學所達到的高度。

　　《周髀算經》大約成書在公元前一世紀，即西漢末期，采用問答體。書分上下兩卷，上卷主要講數學。全書以周公和商高的對話開篇，實際上是解說勾股定理和用勾股定理進行測量大地的運算。勾股定理在中國舊稱商高定理，來源於此。下卷更多地講天文，闡述蓋天說的理論。

　　《九章算術》大約在東漢初期編寫成書，[72]采用習題集的形式，共有二百四十六個應用問題，分九章來敘述。其中絕大多數的問題是和生產直接有關的。勞動人民從生產實踐中提出來許多需要數學解決的問題，這些問題逐步完善和提高，才形成了《九章算術》的體係。

　　《九章算術》的內容涉及的方麵是非常廣泛的。其中有各種形狀的土地麵積的計算、各種糧食的比例關係、破壞青苗的賠償辦法、日用商品的價格計算、共同狩獵時獵獲物的分配、手工勞動的產品耗工率、各種土石工程的用工量、雇工勞動的工錢折算、運輸物品的裏程和工價、國家稅收和勞役分配的比例等等。由此可見，數學和社會生產的關係是非常密切的。

　　《九章算術》在中國數學發展史上占有很重要的地位，它是直到漢代以前中國數學成就的一個總結。在算術、幾何、代數等方麵，《九章算術》都表述了很多基本定理，采用了很多簡明的計算步驟。在算術方麵，包括了複雜的分數運算，並提出以最小公倍通分母的方法，闡述了各種比例關係，提出了“盈不足”問題。在幾何方麵，有關於正方形、矩形、三角形、梯形、圓形、弓形、球麵等平麵幾何學和球麵幾何學的問題，也有關於立方體、長方體、平截角錐體、圓錐體、方台、各種楔體、圓柱體、球體等立體幾何學的問題。在代數方麵，有多元聯立方程、開平方、開立方和多次方程的計算方法，並且，已經引入了正負數的概念。《九章算術·方程》卷八中說：“正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”《九章算術》的成就在代數學方麵是更為突出的。

　　《九章算術》為中國古代數學的發展打下了基礎。此後直到唐代，數學的各分支雖然在不斷地發展和提高，但總的體係沒有超出《九章算術》的範圍。

　　兩漢時期，在數學方麵，出過許多專家，達到過很高的水平，留下了寶貴的遺產。當時中國的數學完全可以加入世界最先進的行列，某些方麵還超過了世界先進水平。可以說，當時中國的數學應用在世界上是遙遙領先的。

　　中華民族是一個偉大的民族。我們的祖先曾經對人類做出過較大的貢獻。我們的祖先曾經爭得的光榮，我們今天一定能夠使之發揚光大！

　　注釋：

　　[1]今存《孫子算經》一書，相傳為春秋末孫武所著，要為後人依托，未可據信。

　　[2]《史記·張丞相列傳》卷九六。

　　[3]劉徽《九章算術原序》。

　　[4]《漢書·律曆誌》卷二一。

　　[5]《漢書·食貨誌》卷二四。

　　[6]《老子·第二十七章》。

　　[7][8]《漢書·路溫舒傳》卷五一。

　　[9][10]《漢書·食貨誌》卷二四。

　　[11]《漢書·儒林傳》：“（許）商善為算，著《五行論曆》。”

　　[12]《漢書·藝文誌》有《許商算術》二十六卷。

　　[13]《廣韻》卷四，算字條。

　　[14]顏師古注數術為“占卜之書”，但《藝文誌·數術略》包括天文二十一家，曆譜十八家（其中即有《許商算術》和《杜忠算術》）、五行三十一家、蓍龜十五家、雜占十八家、形法六家。師古以占卜解數術，得少而失多。

　　[15]《漢書·藝文誌》卷三十。

　　[16]《後漢書·卓茂傳》卷二五。卓茂曆西漢元、成、哀、平四帝，王莽居攝，為門下掾祭酒，東漢立，為太傅，死於光武建武四年。卓茂研習數學及其主要政治活動在西漢，故列於此。

　　[17]《漢書·楚元王傳》卷三六。

　　[18]計略的計即“書計”的計，計略作計算，規劃解。

　　[19]《後漢書·杜詩傳》卷三一。

　　[20]《後漢書·郅惲傳》卷二九。

　　[21][22]《後漢書·方術許楊傳》卷八二。

　　[23]《後漢書·馮勤傳》卷二六。李賢注：“計，算術也。”

　　[24]《後漢書·循吏王景傳》卷七六。

　　[25]《後漢書·列女曹世叔妻傳》卷八四。

　　[26]《後漢書·皇後紀》卷十。

　　[27]《後漢書·馬援列傳》卷二四。

　　[28][29]《後漢書·張衡列傳》卷五九。《九章算術》卷五，劉徽注文引張衡《算》，或即《算罔論》佚文。

　　[30]《後漢書·張衡列傳論》卷二四。

　　[31]《後漢書·崔駰列傳》卷五二。

　　[32]《後漢書·郎顗傳》卷三十。

　　[33]《後漢書·翟酺傳》卷四八。

　　[34]《後漢書·方術樊英傳》卷八二。

　　[35]《後漢書·文苑王逸傳》卷八十。

　　[36]今本《博物誌》卷四：“餘友人下邳陳德龍謂餘言曰：《靈光殿賦》南郡宜城王子山所作。子山嚐之太山從鮑子真學算，過魯國而殿睹賦之，還歸本州，溺死湘水，時年二十也。”文字有異。

　　[37]《後漢書·劉瑜傳》卷五七。

　　[38]《後漢書·徐稚傳》卷五三。

　　[39]《後漢書·劉寬傳》卷二五。

　　[40]《後漢書·方術單颺傳》卷八二。

　　[41]《後漢書·儒林何休傳》卷七九。

　　[42]《續漢書·律曆誌》注引《博物記》。

　　[43]《續漢書·律曆誌》注引《袁山鬆書》。

　　[44]《蔡中郎集·上漢書十誌疏》。

　　[45]《後漢書·蔡邕列傳》卷六十。

　　[46]《後漢書·鄭玄傳》卷三五。

　　[47]劉義慶《世說新語》卷二。

　　[48]《太平禦覽》卷五〇九引皇甫謐《高士傳》。

　　[49]《世說新語》卷二劉孝標注引《（鄭）玄別傳》。

　　[50]《太平禦覽》卷七五四引魏王朗《塞勢》。

　　[51]《漢書·地理誌》卷二八。

　　[52]《後漢書·皇後紀》卷十。

　　[53]《漢書·貨殖傳》卷九一。

　　[54]《漢書·東方朔傳》卷六五。

　　[55]《漢書·王莽傳》卷九九。

　　[56]《漢書·食貨誌》卷二四。

　　[57]《白虎通·辟雍》卷二。

　　[58]《漢書·律曆誌》卷二一。

　　[59]《後漢書·楊終傳》卷四八。

　　[60]《後漢書·皇後紀》卷十。

　　[61]《漢書·武五子傳》卷六三。

　　[62]《漢書·東方朔傳》卷六五。

　　[63]《後漢書·梁統列傳》卷三四。

　　[64]《漢書·五行誌》卷二七。

　　[65]《周髀算經》卷上。

　　[66]周正權《漢書律曆誌補注訂誤》解釋“二百七十一枚而成六觚”一語，謂用算籌組成每邊十根的正六邊形，總數恰為二百七十一。

　　[67]《史記·留侯世家》卷五五。

　　[68]《千陽縣西漢墓中出土算籌》，見《考古》1976年第2期。

　　[69]《湖北江陵鳳凰山一六八號漢墓發掘簡報》，見《文物》1975年第9期。

　　[70]參見李儼、杜石然《中國古代數學簡史》（上冊），15頁。

　　[71]《流沙墜簡·小學術數方技書》、《居延漢簡考釋》卷四。

　　[72]《周髀算經》和《九章算術》成書的確實年代，不易考訂，這裏采用一般說法，參見錢寶琮主編《中國數學史》，29頁、32頁。

　　（原載《思想戰線》1977年第6期）