台灣退役少將於北辰在2022年8月參加島內的一檔電視政論節目時，做出了如下“計算”：
“通常天弓一發的攔截率是70%，這樣的攔截率已經很高。但是為了以防萬一，我們三發一起攔截，攔截率就是210%！”
當時有台灣網友回應：“照這邏輯，四杯25℃的水倒在一起，直接就沸騰了！”
原以為隻是個別官員愚蠢，“肉食者鄙，未能遠謀”。最近發現同胞中有很多人缺乏基本的概率知識，所以作個說明。
發三枚導彈打靶，有四個事件可能發生：1）三發三中，2）三發兩中，3）三發一中，4）三發零中。相對於這四種事件的概率由以下的二項分布函數決定：
(p + q)^3 = p^3 + 3*p^2*q + 3*p*q^2 + q^3
上麵的二項式展開有四項，分別對應上麵四個事件的概率。
1）三發三中：p^3
2）三發兩中：3*p^2*q
3）三發一中：3*p*q^2
4）三發零中：q^3
p是天弓每發的攔截率（= 0.7），q = 1 – p = 0.3，所以
1）三枚都打中：p^3 = 0.343
2）三發兩中：3*p^2*q = 0.441
3）三發一中：3*p*q^2 = 0.189
4）三發都不中：q^3 = 0.027
至少有一枚擊中的概率是 1 – 0.027 = 0.973
據說最先進的反導導彈可以達到平均85%的攔截率。這樣的導彈，隻要兩枚就可以達到97.75%的成功攔截率。美國和以色列現在基本上是兩枚攔截導彈打一枚進攻導彈。
概率論的近代祖師爺是俄羅斯的安德烈·柯爾莫哥洛夫。他將一切概率推導都歸納於概率空間之內。這個概率空間有三部分。第一是由實驗所決定的抽樣空間（sample space），即基本事件的集合。如果實驗是打靶，其抽樣空間就隻有兩個基本事件：中靶和脫靶。第二是事件空間（event space），包括基本事件和複合事件。“三發兩中”就是一個複合事件。第三就是概率函數，給各不同事件提供概率，如上麵的二項分布就給上麵的四個複合事件提供了相應的概率。從此以後，概率論就規範化了。
如5個人3副牌打紅桃勾，總共是162張牌。主牌是6個王12個勾加上其他3*12張紅桃總共54張主。所以每人預期可以抓到54/5 張主牌（約11張主牌）。底牌7張，每人抓31張牌。每抓一張牌，是主牌還是副牌構成兩個基本事件，概率分別為p = 54/162 和 q = 1 – p。抓到多少張主牌由如下的二項分布式決定：
(p + q)^31
如果你不是莊家而抓到了14張主牌，是不是可以連著出主牌而打得莊家沒主了讓你用勾扣底呢？你抓到14張或更多主牌的概率隻有0.1152，所以機會難得。因為你抓到了14張主牌，其他人就總共隻有40張主牌，所以他們抓到一張主牌的概率是p = 40/(162-31) 。莊家連底牌一起有38張牌，所以他的主牌數由如下的二項分布式決定：
(p + q)^38
他有14張或更多主牌的概率是0.2482。如果有四次這樣的牌，你平均會有三次打得莊家沒主，讓你的勾扣底。當然你還得有其他考慮。如果其他三個人愁眉苦臉，那莊家有14張或更多主牌的概率很可能大於0.2482；如果其他三個人喜形於色，那莊家有14張或更多主牌的概率很可能少於0.2482。
當然也有德高望重的老者，隻求娛樂，不求輸贏。看到其他人麵紅耳赤，心中暗喜，知道自己心如止水，成佛在即。
導彈攔截率
ShiMaQian (2026-03-17 13:52:22) 評論 (10)台灣退役少將於北辰在2022年8月參加島內的一檔電視政論節目時，做出了如下“計算”：
“通常天弓一發的攔截率是70%，這樣的攔截率已經很高。但是為了以防萬一，我們三發一起攔截，攔截率就是210%！”
當時有台灣網友回應：“照這邏輯，四杯25℃的水倒在一起，直接就沸騰了！”
原以為隻是個別官員愚蠢，“肉食者鄙，未能遠謀”。最近發現同胞中有很多人缺乏基本的概率知識，所以作個說明。
發三枚導彈打靶，有四個事件可能發生：1）三發三中，2）三發兩中，3）三發一中，4）三發零中。相對於這四種事件的概率由以下的二項分布函數決定：
(p + q)^3 = p^3 + 3*p^2*q + 3*p*q^2 + q^3
上麵的二項式展開有四項，分別對應上麵四個事件的概率。
1）三發三中：p^3
2）三發兩中：3*p^2*q
3）三發一中：3*p*q^2
4）三發零中：q^3
p是天弓每發的攔截率（= 0.7），q = 1 – p = 0.3，所以
1）三枚都打中：p^3 = 0.343
2）三發兩中：3*p^2*q = 0.441
3）三發一中：3*p*q^2 = 0.189
4）三發都不中：q^3 = 0.027
至少有一枚擊中的概率是 1 – 0.027 = 0.973
據說最先進的反導導彈可以達到平均85%的攔截率。這樣的導彈，隻要兩枚就可以達到97.75%的成功攔截率。美國和以色列現在基本上是兩枚攔截導彈打一枚進攻導彈。
概率論的近代祖師爺是俄羅斯的安德烈·柯爾莫哥洛夫。他將一切概率推導都歸納於概率空間之內。這個概率空間有三部分。第一是由實驗所決定的抽樣空間（sample space），即基本事件的集合。如果實驗是打靶，其抽樣空間就隻有兩個基本事件：中靶和脫靶。第二是事件空間（event space），包括基本事件和複合事件。“三發兩中”就是一個複合事件。第三就是概率函數，給各不同事件提供概率，如上麵的二項分布就給上麵的四個複合事件提供了相應的概率。從此以後，概率論就規範化了。
如5個人3副牌打紅桃勾，總共是162張牌。主牌是6個王12個勾加上其他3*12張紅桃總共54張主。所以每人預期可以抓到54/5 張主牌（約11張主牌）。底牌7張，每人抓31張牌。每抓一張牌，是主牌還是副牌構成兩個基本事件，概率分別為p = 54/162 和 q = 1 – p。抓到多少張主牌由如下的二項分布式決定：
(p + q)^31
如果你不是莊家而抓到了14張主牌，是不是可以連著出主牌而打得莊家沒主了讓你用勾扣底呢？你抓到14張或更多主牌的概率隻有0.1152，所以機會難得。因為你抓到了14張主牌，其他人就總共隻有40張主牌，所以他們抓到一張主牌的概率是p = 40/(162-31) 。莊家連底牌一起有38張牌，所以他的主牌數由如下的二項分布式決定：
(p + q)^38
他有14張或更多主牌的概率是0.2482。如果有四次這樣的牌，你平均會有三次打得莊家沒主，讓你的勾扣底。當然你還得有其他考慮。如果其他三個人愁眉苦臉，那莊家有14張或更多主牌的概率很可能大於0.2482；如果其他三個人喜形於色，那莊家有14張或更多主牌的概率很可能少於0.2482。
當然也有德高望重的老者，隻求娛樂，不求輸贏。看到其他人麵紅耳赤，心中暗喜，知道自己心如止水，成佛在即。