什麽是公理體係？讀過高中的人，應該都知道公理體係。公理是無需證明而被認定為成立的命題。公理體係是指一組公理的集合。通過這些公理和基本的邏輯關係，可以推導出更多成立的命題，稱為定理。最常見的，莫過於在歐幾裏德五條公理的基礎上構建的整個歐式幾何公理係統。從這五條公理出發，可以推出歐式幾何的所有定理。
什麽樣的公理係統具有一致性？永遠不允許“矛盾”出現的係統，就是一致的。矛盾就是，比如在某算術係統中，如果不同時允許1 > 2 和 1<=2，就說明該算術係統是“一致”的。
為什麽需要一致性，或無矛盾的公理體係？設想一個公理體係，一會兒說“1+1=2”，一會兒又說“1+1不等2”，就不會有人把這個公理體係當回事。有矛盾的公理體係是無意義的。
什麽樣的公理係統具有完備性？如果一個係統中所有可以表達的命題，他們的真值都能被決定，要麽真，要麽假，那麽我們就說這個係統是完備的。這裏的完備，指的是“對於任何可在這個公理體係內描述的命題，都可以在這個公理體係內得到判定，要麽是正確的，要麽是錯誤的”。比如，在算術係統中，命題1>2 是假的，命題3>2是真的，命題1>3是假的。如果這樣使用二階邏輯，所有數字，和其比較符號構成的命題都能被決定真假，那麽算術係統就是完備的。
在現代科學形成的過程中，通過定義一組公理再加上合理的邏輯推演，可以證明很多命題或結論。公理體係是當今數學研究和科學研究的基礎，數學研究成果就是依賴於一組公理體係的推演，而其它科學研究除了依賴公理體係進行推演外，還需要通過係統的實驗來進行驗證。
以前數學家一直認為一個公理體係既是一致的，也是完備的。
哥德爾年僅25歲時發表的“哥德爾不完備定理”是針對公理體係的一項結論，它撼動了公理體係。這個定理說的是：一個足夠複雜的公理體係，如果它是一致的，那麽它就是不完備的。也就是說不可能同時具有“一致性”和“完備性”的公理係統。
通俗點說，一個沒有矛盾的公理體係內，存在一些說不清楚對錯的命題（這是指在這個體係內說不清楚，不是說永遠都說不清楚）或者說命題是不可判定的。
什麽命題具有如此神奇的性質呢？說白了就是悖論。我們可以輕易用自然語言構造出一個悖論，比如：“我說的話是假的。”如果這句話為真，那麽它的內容又說它是假，互相矛盾。如果這句話為假，那麽它的內容說明它不是假的，又互相矛盾。因此這句話既不真又不假，它是個悖論。這個著名的說謊者悖論其實已經觸碰到了哥德尓不完備定理。
哥德爾定理的言外之意，有些命題是真的，但無法證明。這些無法證明的真的命題，可以作為公理。於是我們永遠需要憑借直覺尋找新的公理。
隻要一個係統表達力強到可以自指，那麽就不可能是完備的，這對後來的人工智能領域產生了深遠影響。
在計算理論裏，哥德爾的發現啟發了圖靈證明停機問題：如果有一個程序P，P輸入一個會終止的程序代碼就無限循環，輸入一個會無限循環的程序代碼就終止；那麽把P的代碼輸入給P，會發生什麽？停機問題在圖靈機上是不可判定問題。這是智能領域最早提出的決定性問題之一。
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