閑聊代數幾何

 

有人認為代數幾何是很難理解的數學。本文想通俗地介紹它的一些基本概念。在平麵上有一單位圓, x^2 + y^2 = 1. 設 圓上的點 的座標為 (1/√ 2, 1/√ 2),  (1/√ 2, -1/√ 2)  。 對應在座標軸上可表示如下：這就構成座標環（Ring）。

—---------( -1/√ 2)-----------------(1/√ 2)-----------(3/√ 2 )-----

在單位圓上取值的函數 f1(x, y) = y  －－－  [(1/√ 2, 1/√ 2),  (1/√ 2, -1/√ 2)]  —---->  (1/√ 2 )

函數 f2(x, y) = x + 2y —----- [(1/√ 2, 1/√ 2),  (1/√ 2, -1/√ 2)]  —---->  (3/√ 2 )

函數 g1(x, y) = x + 2y + x^2 + y^2 - 1，與 f2(x, y) 相同。 

函數 g2(x, y) = x + 2y + y*(x^2 + y^2 - 1)，與  f2(x, y) 相同。

 函數 g3(x, y) = x + 2y + h(x, y)*(x^2 + y^2 - 1)，與  f2(x, y) 相同。

函數 g1(x, y) ，函數 g2(x, y)，函數 g3(x, y) 都是R 的成員。R 是圓的座標環，圓的幾何特性encode 成座標環的代數特性。

對於多項式也是一樣，也可構成一個環R 。現有代數曲線(1) y^2-x^2 = (y - x)(y + x) = 0 ;  (2) x + y^2 = 0 (拋物線)。設 R 是 (1)  (y - x)(y + x) = 0 的環;   G 是 (2)  x + y^2 = 0 的環 .  在（1）中，因為 (y - x) 和 (y + x) 不能同時為零，隻有(x, y) = (0, 0) 才有可能 , 也就是說原點是一奇異點。（1）曲線是可約簡的；而 （2）曲線是不可約簡的。

又有 代數曲線(3) y^2-x^2*(x + 1) = 0 .  （3）可以分解為（4）(y - x* √ (x + 1))*(y+ x*√ (x + 1)) ,  而 √ (x + 1) = 1 + x/2 - x^2/8 + …. 屬於多項式環R。  R 改寫為 冪級數環。 在接近原點處 （4）近似等於 （1）(y - x)(y + x) = 0，所以原點是（3）的 一奇異點

最後說說環的代數特性怎樣（反過來）轉成“幾何空間”的幾何特性。設有一整數環Z 轉成 Spec Z,  環的譜, 概型 (Scheme) 。概型的 “圖像”如下

－（2）－（3）－－（5）－－（7）－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（0）－－

列出所有質數（2），（3）， 。。。 和（0）。而整數環中的整數，如 10，是 10－整數函數（把整數變成幾何空間函數），在各個質數上取值為：質數2 是 0(mod2），質數3 是 1(mod3),  質數5 是 0(mod5), 質數7(mod7) 是3，  。。。 ；在數 0  回來原數 10。

是有點不好理解 ？