3。14 紀念圓周率

圓周率的幾何意義很直觀，它其實就是圓的周長與其直徑的比值，也可以理解為圓的麵積和以該圓的半徑為邊長的正方形的麵積之比。我們都熟知，在數學上，圓周率是個無理數與超越數，即它不可能用常規的數表達出來，也不能用圓規和直尺給畫出來。

如果說圓為曲，徑為直的話，那麽圓周率就是能使“曲”“直”互通互達的一座橋梁，或可使”曲”“直”互轉互化的一種媒介，貌似無理，卻在其中蘊藏著不可言盡的道理，無論在我們日常生活當中，還是在科學發展的過程中，這個在曲直之間的橋梁與媒介都起著舉足輕重，不可或缺的作用。

據載，早在四千多年前的夏朝，在今天山東省滕州官橋鎮的地方，有個叫做奚仲的工匠發明了馬車，後來春秋戰國的管子在他的書中這樣記載了奚仲的發明：“奚仲之為車也，方圜曲直（圜：讀作圓），皆中規矩準繩，故機旋相得，用之牢利，成器堅固。”這句話的意思大致是，奚仲製車的大致過程是，他用規尺與準繩準確地量出木頭的長度，然後把直木彎曲成圓形，並裝在方形的車轂上，這樣製成的車堅固而輕巧，可使旋轉運動變成象射箭一樣的直線運動（注：機在古代指弓弩上的發射裝置）。

輪子與車輛的發明無疑是人類發展史上一個重大的突破與創舉，顯然在這一發明中，人類已經明白並掌握了直線與圓的關係，不然方圜曲直與機旋相得是不可能的。這在中國至少是四千年前的事情了。據說，更早之前的地中海人已經發明了用輪子來製陶器了，那大約是在六千年前的新石器時代末期。

碾過商殷的繁榮，穿過周朝的風雨，又越過了秦朝統一的車轍之後，這時曆史的車輪就駛進了漢朝。這時，馬車的製造已經是很成熟的技術了。製造車輪中方圜曲直的道理深入人心，”曲直“一詞也被人們引申到社會中來，那時候，人們將無理之事稱為“曲”，而有道理的事情則被稱為“直”。例如漢代的大家王允在他的《論衡》中就有這樣一段話：”二論各有所見，故是非曲直未有所定。”在這裏，所謂二論是指當時有人說太陽在早晨的時候離大地較近，依據是早晨的太陽看起來比較大，而另一種觀點認為太陽在中午的時候離大地更近，依據是中午的時候人們感覺太陽更加溫暖。因此“是非曲直”未有所定。

如果說車輪中的方圜曲直與機旋相得更多地是個技術概念的話，那麽“天圓地方”可就是一個宇宙觀的表達了。《周髀算經》中這樣說：“天圓如張蓋，地方如棋局。”天地雖異，但“天地感而遂通萬物”，就是說雖然“天圓地方”，但是天地之間卻是彼此相通的。這有點象圓周率將方圜曲直聯係在一起一樣，因此其中蘊含著和而不同的大美。這種和諧美有機地體現在古代中國的文化當中，比如在建築上，在青銅器裏，在古錢幣中到處可見。

如此看來，無論圓周與直徑之間的曲直，還是天地之間的方圓，其聯接的關鍵都是圓周率了。因此人們對圓周率的計算一直都在不舍地追求。到了漢代之後的魏晉時期，人們對圓周率的準確計算開始有了突破性的進展。首先是劉徽發明了割圓術，即利用內接正多邊形來無限近似它的外接圓，表明人們對“方”與“圓”之間的關係有了本質的認識。大約二百年之後，南北朝的祖衝之利用劉徽的割圓術，得出了人類有史以來對圓周率最為精確而簡潔的計算，即著名的圓周約率22/7 和圓周密率355/113。（注：對密率有個簡便的記法：把分母與分子的數排起來就是11，33，55 這三個連續的奇數；約率也可記為3+1/7。）。這兩種對圓周率的近似計算即使在今天的工程計算中都有足夠的精度，約率的計算精度為萬分之四而密率可達千萬分之一。

到了近代，特別是微積分發明之後，人們更是發現了根據無窮級數來計算圓周率的方法，例如較早的萊布尼茨公式與瓦利斯公式，不過，這些早期的公式缺點是收斂太慢，例如要想達到祖衝之的密率精度的話，需要上千萬次的運算。於是後來又出現了馬金（Machin）公式與高斯-勒讓德迭代法以增加迭代速度。這在計算機時代是非常有用的，因為這些公式可以使人們對圓周率的計算達到任何所需要的精度。據說，有人已經算出具有206億位小數的圓周率，並從中得出一些規律來，例如著名的費曼點，即在某個小數點位上開始出現連續的重複數字。比如在第206位的小數後有6個連續的9。

人們對圓周率的認識並沒有停留在數字的計算上，隨著科技的不斷發展，人們越來越認識到這個無理數總是出現在很多描述自然界規律的各種方程裏。例如在著名的海森堡的測不準原理中，在正態分布的概率計算中，在描述波動的方程中，以及在傅立葉變換中等，圓周率都理所當然地出現在它們中間。