數學的核心之一：唯一性分解

數學的核心之一：唯一性分解

許秋雨，2026.1.16

 

大家都熟知，每個正整數都可以唯一地分解成幾個素數的乘積。這可能在數學裏是最重要的結論之一，幾乎在所有的數學領域裏都起著關建的作用。在有了群環域的近代數學後，數學家們把這個結論做了很多推廣，如在代數數論裏的素理想分解定理，即一個數域的整數環裏任何一個真理想都可以唯一分解成素理想的乘積。這是代數數論裏的一個基本定理。

 

所謂分解就是，把元素 x分解成 x=x₁o x₂ o o o 這裏 x_i 為某些更基本的元素。當分解公式裏的運算號 o 為乘法時，它就是上麵所說的因子分解，研究這樣的分解是代數裏最基本的任務。當分解公式裏的運算號 o 為加法時，它就成了展開，如傅裏葉級數展開，研究這樣的展開是分析裏最重要的任務。下麵我們就加法分解多加探討一下。如果隻考慮固定有限個和的展開（或者叫表示），這等價於線性代數，否則就是泛函分析，即對無窮維空間的研究，如對函數空間的研究。

 

展開的維一性讓數學家們有了線性獨立性和正交性。那麽人們為什麽對展開的唯一性這麽感興趣呢？因為這與問題的解的唯一性有關，而求解永遠是數學裏最重要的工作。在很多應用或者求解的過程中，往往會求其展開後的元素，它們往往是問題的本質，也可認為是把問題先簡化。如本來的元素x是對某個物體的觀察值，任務是要從這觀察值來決定該物體屬什麽類。如果用它的不唯一展開來求解的話，那麽其解就不唯一，這時就很難確定物體的類別。所以展開的唯一性在信號處理裏至關重要。

 

很多自然和機械產生的信號在較短的一段時間內都可以被平穩信號很好地逼近，這樣的信號有，如，各種電磁波。這些信號大多是來自少許單頻率信號源。數學家說了，任意有限時間段上的信號都有唯一的傅裏葉級數展開，其唯一性來自其展開中的單頻基元素的正交性。其實不光有展開的唯一性，它還有快速算法，所以傅裏葉展開特別有用，在信號處理裏起著最重要的作用，現在人們的每部手機裏，每部手提電腦裏，都有其處理芯片。

 

盡管自然界有很多信號是平穩信號，但也有很多信號不是平穩信號，比如信號的頻率是時變的，最典型的例子就是鳥叫聲，即Chirp信號。這時，盡管在有限時間區間內還有唯一的傅裏葉級數展開，但展開後有非常多的單頻元素，不會比時域裏的信號簡單多少。這時時頻聯合變換（也是展開）可能就是一個更好的選擇。一個時頻聯合變換就是把一個一維的時域信號變換到一個時域和頻域的兩維聯合域上的信號，其宗旨是在每個時間都可以看到信號不同的頻率，叫瞬時頻率。

 

這個想法和說法都非常好（與人工智能的說法類似地好），但是遺憾的是這僅僅隻是一個說法，到現在還沒有一個理想的時頻變換。其實這並不奇怪，因為，首先頻率就沒有嚴格的數學定義，其次瞬時頻率在數學上可以人為地定義（如信號相位的導數），但在物理上很難對上。從物理上講，頻率必須要有一段時間來定義，即一段時間內發生了幾次（如轉了幾圈），是個整體概念，就像積分，而瞬時頻率是指每個時刻的頻率，是個局部慨念，如微分，所以這兩者間有矛盾。

 

另外，現有的時頻聯合表示大都不是唯一的，即一個時域信號可以表示成多個時頻聯合信號。也就是說，時頻聯合基不是線性無關的，或者說有冗餘。這就帶來時頻聯合域處理上的困難，如在去噪上的應用，即濾波。盡管這樣，時頻聯合分析在某些信號處理裏（如檢測/預警）也很有用，如一些信號不管在時域還是頻域都沒法看出特別之處，但在時頻聯合域上就可能有明顯的峰值，一個這樣的例子就是低信噪比下的chirp信號。

 

不管是乘法還是加法的分解唯一性，對小樣本問題的求解唯一性有重要作用。而在大數據的今天，即使沒有了唯一性，多來回迭代數次，解出個幻影也可以交差！